Questions de cours (7 points) Exercice (13 points)

Licence 3 économétrie – MASS
U NIVERSITÉ LYON I, II ET III
17 juin 2013
É CONOMIE DE LA DÉCISION – É PREUVE FINALE
Durée : 1h30 – sans document – calculatrice et portable interdits
Questions de cours (7 points)
1. Définir la notion de dominance.
2. Définir la dominance stochastique d’ordre 1. À quoi équivaut-elle dans la théorie de l’espérance d’utilité ? Quel est
son intérêt dans cette théorie ?
3. Compléter l’énoncé du théorème d’Arrow-Pratt : "Si les fonctions d’utilité uA et uB de deux décideurs sont de classe
C 2 , les assertions suivantes sont équivalentes (. . . )"
Exercice (13 points)
La probabilité que le cheval i gagne une course est notée pi . Cette probabilité est inconnue des joueurs.
Un joueur possède 1 unité monétaire qu’il utilise pour parier. S’il parie sur le cheval i et que celui-ci remporte la course,
il gagne xi unités monétaires. Un pari perdu ne rapporte rien.
Une proportion qi des joueurs parie sur le cheval i. Cette proportion peut s’interpréter comme la probabilité subjective
d’un joueur représentatif que le cheval i gagne la course.
Les organisateurs de la course prélèvent une fraction t sur le montant total utilisé pour parier. Ils redistribuent le reste
aux gagnants.
1. Soit n le nombre de joueurs. Montrer que xi =
1−t
qi .
2. La richesse finale s’écrit 1 + Yi où Yi est l’action de parier sur le cheval i. Ici, le risque est multiplicatif et Yi est aussi le
taux de rendement du pari précédent.
1−t
pi − 1
qi
La variance V ar(Yi ) doit être calculée par vos soins.
La moyenne E(Yi ) =
3
Le coefficient d’asymétrie (skewness) γ(Yi ) = E([Yi − E(Yi )] ) = pi (1 − pi )(1 − 2pi )
1−t
qi
3
Étudier le sens de variation de la variance du taux de rendement en fonction de pi lorsque les probabilités correspondent (qi = pi ).
Si qi = pi alors
2
dγ(Yi )
3pi − 2
(1 − t)3 < 0 à la condition que pi <
=
3
dpi
pi
3
3. Les joueurs ont tendance à trop miser sur les outsiders (qui ont de faibles chances de gagner) et pas assez sur les
favoris (qui ont de fortes chances de gagner). Ainsi, qi > pi si i est un outsider, et qi < pi si i est un favori.
Montrer que miser sur un outsider revient à choisir un placement risqué à faible rendement et à forte variance alors
que miser sur un favori revient à choisir un placement risqué à rendement élevé et à faible variance. Pour cela, partir
de la situation où qi = pi .
Expliquer en quoi ce comportement est une anomalie pour la théorie de l’espérance d’utilité si on fait l’hypothèse que
les joueurs sont des riscophobes dont les préférences sont représentables par une fonction de Markowitz.
4. On approxime la fonction d’utilité espérée du joueur représentatif 1 :
u00 (E(Yi ))V ar(Yi ) u(3) (E(Yi ))γ(Yi )
+
2
6
Expliquer l’anomalie de la question précédente. On rappelle que plus |γ(Yi )| est grand et plus la distribution est
asymétrique.
E(u(Yi )) ≈ u(E(Yi )) +
1. Pour plus de détails, cf. le cours à la dernière démonstration du chapitre sur la TEU.