Analyse multirésolution par ondelettes pour la compression d`un

14ème Colloque National de la Recherche en IUT,
Lyon, 29-30 mai 2008
Analyse multirésolution par ondelettes
pour la compression d’un maillage
dans le système logiciel MEFP3C
Olivier Guillot, Jean-Paul Gourret
IUT de La Rochelle – Département Informatique
15 rue François de Vaux de Foletier 17026 La Rochelle Cedex
et
Laboratoire d’Informatique, Image, Interaction (L3i)
Avenue Michel Crépeau – 17042 La Rochelle Cedex 1
[email protected] ; [email protected]
Section de rattachement : 27
Secteur : Secondaire
RÉSUMÉ.
Le système logiciel MEFP3C de Maillage Évolutif de Formes avec Pavage par Polygones à
sommets 3-connexes en cours de développement au L3i (Khamlichi et Gourret 2004), a été
enrichi de plusieurs fonctionnalités.
Nous avons implanté dans le système logiciel un subdiviseur en 3 qui prend en compte les
discontinuités naturelles de la surface d’une forme (plis, pointes, et frontières) et les
discontinuités du maillage qui la modélise (Guillot et Gourret 2006b).
Le système logiciel est à présent enrichi d’un compresseur de maillage destiné à permettre entre
autres choses la transmission rapide des informations de forme sur un réseau informatique avec
une erreur de reconstruction modulable.
Pour comprimer le maillage, plusieurs étapes sont nécessaires. Une première étape de remaillage
de la surface, une deuxième étape dans laquelle les masques de subdivision en 3 sont utilisés
pour déduire une représentation du maillage par ondelettes biorthogonales, et enfin une
troisième étape de compression proprement dite qui s’appuie sur la représentation par
ondelettes.
MOTS-CLÉS : système logiciel - Subdivision – Surface – Maillage – Reconstruction – Ondelettes
biorthogonales – Compression – Remaillage – Analyse multirésolution - Discontinuités -
1
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1.
Lyon, 29-30 mai 2008
Introduction
Depuis plusieurs années le L3i s’intéresse au maillage de surfaces pour la création
d’images fixes et animées et au développement d’un système logiciel associé.
Le but de cet article est de présenter l’analyse multirésolution récemment implantée
dans le système logiciel, et son utilisation pour comprimer le maillage. La compression
d’un maillage via l’analyse multirésolution permet sa transmission rapide sur un réseau
informatique. L’analyse multirésolution permet la visualisation progressive de formes
en jouant sur le niveau de détail. Elle facilite également l’édition de formes et le
plaquage de textures puisque l’on peut travailler sur une approximation grossière du
maillage avant de propager les modifications au maillage complet.
Les principes de base de l’analyse multirésolution et des ondelettes ont été posés par
Yves Meyer (Meyer 1986) (Meyer 1988) pour les aspects mathématiques, par Stéphane
Mallat (Mallat 1989) pour les aspects signaux et images, et par (Schröder et Sweldens
1995) pour les surfaces.
Une subdivision permet de synthétiser une surface. Elle permet d’augmenter la
résolution d’un maillage grossier appelé “maillage de contrôle”, et converge vers une
surface limite. La connectivité des sommets du maillage synthétisé est directement
déduite de celle du maillage de contrôle et ne nécessite par conséquent aucune
mémorisation supplémentaire. Une analyse multirésolution effectuée sur le maillage
synthétisé permet de diminuer la résolution sans perte d’information, jusqu’à atteindre
le maillage de contrôle.
Les maillages de formes 3D disponibles ne présentent généralement pas une
connectivité résultat d’une subdivision. Pour pouvoir appliquer une analyse
multirésolution sur ces formes, une première étape appelée “remaillage” est donc
nécessaire (Eck et al. 1995), (Lee et al. 1998) (Alliez 2005). (Valette et Prost 2004) ont
présenté une analyse multirésolution sans remaillage préalable, mais leur méthode
présente l’inconvénient de ne pas respecter les symétries.
Lorsqu’on dispose d’un maillage original remaillé, une deuxième étape appelée
“analyse multirésolution” fournit un maillage de contrôle qui est une approximation du
maillage original. La théorie de la multirésolution assure que le maillage analysé est la
meilleure approximation du maillage original à un niveau donné pour un produit
scalaire que l’on se donne (par exemple au sens des moindres carrés). Pour pouvoir
reconstruire le maillage original par synthèse du maillage approximé, l’analyse calcule
également les erreurs, appelées détails.
L’analyse multirésolution s’appuie sur la théorie des ondelettes. Les fonctions ondelette
sont déduites des fonctions d’échelle fournies par la subdivision.
Il existe deux grandes catégories de subdivision d’un maillage : les subdivisions par
insertion de sommets sur les arêtes et les subdivisions par insertion de sommets sur les
faces. Notre étude s’appuie sur la subdivision par insertion de sommets sur les faces,
parce que la complexité du maillage croît moins vite qu’avec la subdivision par
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insertion de sommets sur les arêtes. Nous avons développé une méthode de subdivision
en 3 (Guillot et Gourret 2006a, 2006b), directement inspirée de la méthode
d’approximation de Kobbelt (Kobbelt 2000) et de la méthode d’interpolation de Labsik
and Greiner (Labsik et Greiner 2000), auxquelles nous avons rajouté la prise en compte
des discontinuités naturelles des surfaces (plis, pointes et frontiers) et la prise en compte
de maillages irréguliers comportant des sommets extraordinaires. Disposant de cette
méthode de subdivision, nous avons défini une analyse multirésolution (Guillot et
Gourret 2007a). Etant donné le grand nombre de points présents dans les formes
acquises par les récents dispositifs d’acquisition de données 3D, les maillages sont très
fournis et en général, ne permettent pas de réaliser une analyse multirésolution globale.
Nous avons mis au point une analyse multirésolution locale capable de fonctionner dans
un k-disque. Un k-disque est un sous-maillage contenant les sommets situés dans une
distance topologique k de la face en cours de traitement (Lounsbery et al. 1997). Par
rapport à Lounsbery, notre k-disque prend en compte les discontinuités et utilise la
méthode de lifting exposée par (Sweldens 1996).
Parce que la subdivision tend vers une surface limite, l’analyse multirésolution d’un
maillage dont la surface est lisse génère de nombreux détails nuls. C’est la raison pour
laquelle la mémorisation d’un maillage approximé et de ses détails non nuls, est
généralement plus compacte que la mémorisation brute de maillage original. Dans une
troisième étape nous exploitons cette propriété pour comprimer le maillage en agissant
sur son détail.
Dans le paragraphe 2 nous rappelons les principes de l’analyse multirésolution globale,
puis nous nous présentons les principes de notre analyse multirésolution locale qui
consiste à calculer les fonctions ondelettes dans un k-disque, à partir des fonctions
d’échelle issues de la subdivision. Il s’agit d’une représentation biorthogonale avec
implémentation de la méthode de lifting. Le paragraphe 3 présente notre méthode de
compression qui élimine les détails proches de zéro. Dans le paragraphe 4 nous
montrons le rôle du remaillage, nécessaire pour pouvoir appliquer l’analyse
multirésolution sur un maillage original quelconque dont les connectivités sont
différentes de celles d’une subdivision. Le paragraphe 5 présente les résultats de la
compression de plusieurs maillages et compare ces résulats avec ceux d’autres
chercheurs. Le paragraphe 6 est dédié à la conclusion et à nos travaux futurs.
2. Principe
2.1. Subdivision en
3
Les maillages sont constitués de faces triangulaires dont les sommets sont n-connectés.
On part d’un maillage de contrôle de niveau j = 0. La subdivision en 3 consiste à
insérer un nouveau sommet dans chaque face. Puis de nouvelles faces sont créées en
joignant le nouveau sommet (sommet O sur la Figure 1) aux sommets initiaux de la face
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et aux nouveaux sommets des faces voisines. Ce faisant chaque nouveau sommet est 6connecté.
O
Figure 1. Subdivision d’une face
Le maillage résultant de la subdivision de niveau j est appelé maillage de niveau j+1.
Un maillage Mj de niveau j est constitué de nj sommets et de fj faces. Nous appelons Yj
l’ensemble des sommets de niveau j et Kj sa connectivité, ainsi Mj = (Kj, Yj) represente
le niveau j. Les niveaux successifs sont liés par les propriétés
nj+1 – nj = fj = 3.fj-1 = …= 3j.f0
A distance des discontinuités naturelles de la surface et des sommets extraordinaires
(autres que 6-connectés), notre subdivision en 3 utilise la méthode de Labsik-Greiner
ou celle de Kobbelt. A proximité des discontinuités et des points extrordinaires nous
avons développé une formulation expliquée dans (Guillot and Gourret 2006b).
2.2. Analyse multirésolution globale
Dans la plupart des cas, un maillage M= (K,Y) est tel que le nombre de sommets et la
connectivité ne résultent pas de subdivisions (K ≠ Kj). Notre méthode d’analyse
multirésolution nécessite que la connectivité du maillage original soit le résultat de
subdivisions récursives (K = Kj). Nous supposons dans les paragraphes 2, 3 et 4 que la
condition K = Kj est réalisée. Dans ce cas, les sommets sont en majorité 6-connectés et
les sommets extraordinaires sont suffisamment espacés. Les sommets extraordinaires
sont définis dans le maillage de contrôle M0 et se retrouvent à tous les niveaux de
subdivision.
(a)
(b)
Figure 2. (a) Analyse du niveau 2 vers le niveau 0, (b) Représentation matricielle 1->0
L’analyse d’un niveau j+2, donne un niveau j+1 et un ensemble de détails notés Zj+1. Le
niveau j+1 peut a son tour être analysé récursivement pour donner le niveau j et
l’ensemble de détails Zj. Le détail Zj+1 comporte trois fois plus de « points » que Zj. Ces
« points » sont des points virtuels (points non connectés par Kj).La Figure 2 montre
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l’analyse du niveau 2 vers le niveau 0. Dans la suite on appellera, Vi le ième sommet de
Yj, V’i le ième sommet de Yj+1 et Wi le (i - nj )ème point de Zj.
La synthèse consiste à reconstruire le niveau j+1 à partir du niveau j et du détail Zj. Une
deuxième synthèse récursive reconstruit le niveau j+2 à partir du niveau j+1 et du détail
Zj+1. Ainsi, le niveau j+2 peut être obtenu à partir du niveau j et des détails Zj et Zj+1. Si
nous appelons Pj la matrice qui subdivise Yj et si nous appelons Qj la matrice qui traite
le détail Zj, l’action de Qj sur Zj donne la différence entre Yj+1 et la subdivision de Yj.
La Figure 3 illustre le mécanisme de la synthèse.
(a)
(b)
Figure 3. (a) Synthèse du niveau 0 vers le niveau 2 (b) représentation matricielle 0->1
2.3. Analyse multirésolution locale
Pour réaliser une analyse multirésolution, on doit disposer d’une fonction d’échelle φ et
d’une fonction ondelette ψ. Ces fonctions définissent les matrices globales Pj et Qj
comme montré sur la Figure 4 pour le niveau j = 0. En fait, les matrices globales sont de
très grande taille, et ne sont jamais écrites. Il suffit de travailler avec les lignes ou les
colonnes de ces matrices. Le calcul des coefficients de ces matrices est expliqué dans
(Guillot et Gourret 2007a). On donne ci-dessous un bref aperçu cdu calcul local de φj et
de ψj .
Figure 4. (a) Définition des matrices globales P0 et Q0
Le calcul de φj est directement lié à la subdivision. La fonction φj est calculée
localement à l’intérieur d’un masque centré sur le nouveau sommet à insérer (noter que
la fonction φj n’est pas locale, c’est seulement sont calcul qui est local). Si l’indice i est
situé dans l’intervalle [1,nj], φji représente l’influence du sommet Vi dans le calcul des
nouveaux sommets au niveau supérieur j+1. Vi influence seulement les sommets de
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niveau j+1 situés à l’intérieur d’un disque D’i. La fonction d’échelle φji depend de la
connectivité des sommets dans D’i ainsi que de la présence ou de l’absence de
discontinuités naturelles dans ce disque. Il existe de très nombreux cas dont le plus
simple (pas de discontinuité naturelle et pas de sommet extraordinaire) est montré sur la
Figure 5.
(a)
(b)
(c)
Figure 5. Cas de la formule d’interpolation de Labsik-Greiner : (a) masque de calcul,
(b) 3-Disque D’i (Vi influence les sommets noirs avec des poids fonctions de leur
position sur les cercles concentriques), (c) 4-Disque D’k pour la fonction ondelette ψjk
La fonction ψj est calculée localement à l’intérieur d’un masque constitué de la
superposition de plusieurs disques (noter que la fonction ψj n’est pas locale, c’est
seulement sont calcul qui est local). Si l’indice k est situé dans l’intervalle [1 , nj+1- nj ],
ψjk est la fonction ondelette associée au point virtuel Wk (Wk = Zj (k - nj)). Connaissant
la fonction φj, nous devons construire la fonction ψj en utilisant une condition
d’orthogonalité entre φj et ψj :
Pour tout i dans [1,nj], pour tout k dans [1 , nj+1- nj ] :
< φji , ψjk > = 0.
Pour assurer un calcul local, la condition d’orthogonalité est seulement imposée dans le
voisinage d’un point k. On utilise pour cela le concept de biorthogonalité énoncé par
(Sweldens 1996). On se donne une ondelette « lazy » au point k (un Dirac) et on
procède à un « lifting » pour améliorer l’orthogonalité. Par exemple, lorsqu’on limite le
voisinage aux trois sommets d’un triangle de niveau j (qui sont également de niveau
j+1) montré sur la Figure 6, on écrit :
ψjk = ψjlazy k+ α. φja + β. φjb + γ. φjc, ou α, β, γ sont des nombres réels calculés à partir de
trois équations :
< φja , ψjk > = 0
< φjb , ψjk > = 0
< φjc , ψjk > = 0
Equations dans lesquelles on connaît les valeurs de φja en chaque sommet de Yj+1 (c’est
donc un vecteur de Rnj+1). ψjk est également un vecteur de Rnj+1.
Pour calculer < φja , ψjk > on utilise le produit scalaire de φja et ψjk vecteurs de Rnj+1.
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Après calcul des fonctions échelle et ondelette locales, le système MEFP3C effectue
une synthèse locale en utilisant une relation locale identique à la relation globale
Yj+1 = Pj.Yj + Qj.Zj
De même il effectue une analyse locale en utilisant des relations identiques aux relations
globales :
Yj = Aj.Yj+1
et
Zj = Bj.Yj+1
j
j
Dans le cas global, A et B sont les inverses de la matrice globale [PQ]j. Leurs
propriétés sont montrées sur la Figure 6. On retrouve évidemment ces propriétés dans le
cas local. Le détail des calculs locaux est expliqué dans (Guillot et Gourret 2007b). Les
calculs consistent à travailler sur les lignes et sur les colonnes des matrices plutôt que
sur les matrices complètes, tout en exploitant le fait que chaque ligne et chaque colonne
comporte des coefficients nuls lorsque les sommets et les points sont extérieurs au
disque de calcul.
Figure 5. Propriétés des matrices globales
La partie de l’interface du système logiciel MEFP3C qui permet d’accéder aux
fonctionnalités de l’analyse multirésolution est montrée dans la Figure 6.
Figure 6. Interface de MEFP3C dédiée à l’analyse multirésolution
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3. Compression
Après analyse, un maillage (KJ,YJ) est transformé en un maillage (K0,Y0) et en des
détails Z0, Z1, ..., ZJ-1.
YJ représente nJ triplets de réels et Y0, Z0, Z1, ..., ZJ-1
représentent aussi n0 +(n1- n0)+(n2- n1)+:::+(nJ-1- nJ-2)+(nJ- nJ-1) = nJ triplets de réels.
Ainsi, le fait de remplacer un maillage par son maillage multirésolution, permet déjà un
gain de place lors du stockage puisque cela revient à remplacer KJ par K0. En général K0
est très petit devant KJ et on peut considérer que l'analyse permet de gagner l'espace de
stockage de KJ . Ce gain n'est pas négligeable mais on peut obtenir mieux en modifiant
les détails ZJ .
On note M = {Y0;Z0;Z1; … ;ZJ} le maillage multirésolution obtenu par l'analyse de YJ ,
et M’ le maillage multirésolution {Y0;Z’0;Z’1; … ;Z’J} où Z’J est une version modifiée
de ZJ . YJ peut être vu comme un vecteur de RnJ et nous utilisons la norme euclidienne
de RnJ pour comparer YJ (reconstruction de M) à Y’J (reconstruction de M’). En partant
de la relation YJ = PJ-1.YJ-1 + QJ-1.ZJ-1, on écrit par récurence :
YJ = PJ-1.(PJ-2.YJ-2 + QJ-2.ZJ-2)+ QJ-1.ZJ-1 soit
J-1 J-1
J-1 J-1
YJ = Σ ( ΠPk ).Qj.Zj
et
YJ – Y’J = Σ ( ΠPk ).Qj.(Zj - Wj)
j=0 k=j+1
j=0 k=j+1
Pour évaluer l’écart entre YJ et Y’J, on va majorer ||| Pk|||, indépendamment de k.
Rappelons que ||| Pk||| = sup {|| Pk. x||/||x||, x≠0}
Pour ei un vecteur de la base canonique de Rnk, calculer Pk. ei revient à subdiviser un
maillage de connectivité Kk dont tous les sommets sont en 0 sauf le ième qui est en
(1,1,1). Les sommets résultants de la subdivision sont calculés avec les formules de la
subdivision en 3 . Par exemple si on calcule un nouveau sommet avec la formule de
Labsik-Greiner à 12 voisins (Labsik et Greiner 2000) :
S = 32/81(P1+ P2++P3) – 1/81(P4+ P5++P6)-2/81(P7+ P8++P9+P10+ P11++P12)
Un seul des sommets Pi peut ne pas être en 0, donc ||S|| ≤ 32/81
En faisant le même raisonnement sur toutes les formules de la subdivision en 3 , on
peut majorer ||S|| par le plus gros coefficient (en valeur absolue) utilisé, soit
m=1,037037037 donné par notre formule « deux parmi k » utilisée pour les plis (Guillot
et Gourret 2006b). On sait d’autre part que ϕi représente la subdivision d’un maillage
dont tous les sommets sont à 0 sauf ei. Et l’on sait par expérimentation que le support de
ϕi est dans un 9-disque. Pour une valeur donnée de k, les 9-disques de Kk sont connus et
contiennent au plus dk sommets. Soit d la valeur maximum de dk pour toutes les valeurs
de k entre 0 et J-1. Ainsi le support de ϕi contient moins de d sommets non nuls.
Donc || Pk. ei|| ≤ m.d
Soit x ≠ 0, x = ∑ xi.ei on peut majorer || Pk. x||² = || Pk. (∑ xi.ei )||² ≤ ∑ xi².|| Pk. ei||²
|| Pk. x||² ≤ ∑ xi².m².d² soit || Pk. x||/||x|| ≤ m.d = ρ
On a bien une majoration de ||| Pk||| indépendante de k et on peut reprendre le calcul de
l'écart entre YJ et Y’J :
J-1 J-1
YJ – Y’J = Σ ( ΠPk ).Qj.(Zj – Z’j)
j=0 k=j+1
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J-1 J-1
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J-1
||Y – Y’ || ≤ Σ ( Π |||P ||| ).||Q .(Z – Z’ ) || ≤ Σ ρJ-1-j.||Qj.(Zj – Z’j) ||
j=0 k=j+1
j=0
J
J
k
j
j
j
Pour obtenir une compression avec une erreur relative majorée de ε, on construit Z’j à
partir de Zj , en annulant les termes négligeables dans ZJ , c’est-à-dire en conservant la
propriété ρJ-1-j.||Qj.(Zj - Wj) || ≤ ε/J, qui est vraie lorsque tous les termes sont conservés.
On cherche alors par dichotomie le plus grand nombre de termes annulables et on
obtient nos Z’j. Le maillage Y’J reconstruit avec ces détails vérifie :
J-1
||Y - X || ≤ Σ ρ
j=0
J
J
J-1
.||Q .(Z - W ) || ≤ Σ ε/J = ε
j=0
J-1-j
j
j
j
4. Résultats
Le logiciel MEFP3C permet de créer un fichier multirésolution ".mrl", et d'en extraire
tous les niveaux d'approximation de 0 à J. Les fichiers ".mrl" directement issus de
l'analyse multirésolution de 4 maillages originaux sont montrés dans le Figure 7.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 7. (a) Analyse multirésolution d'un pot (niveaux 4, 2 et 0), d'un képler (niveaux
4, 2 et 0), d'un képler déformé (niveaux 4, 2 et 0), d'un crâne (niveaux 8, 6, 4, 2 et 0)
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La table 1 permet d'évaluer les taux de compression obtenus pour les 4 formes de la
Figure 7. La Figure 8 compare le résultat visuel du crâne original (maillage Y4) avec le
résultat visuel du crâne dont le maillage a été comprimé puis reconstruit (maillage Y'4).
Pour obtenir ce résultat, nous avons demandé une erreur relative majorée ε = 1%,
(MEFP3C a en fait obtenu 0.0014). Ce qui correspond à un taux de compression de
87% (Il suffit de garder 5387 coefficients des Zi sur 39360 pour obtenir une erreur de
0.0014. La taille de Y0 est négligeable devant 5387).
ε
1%
1%
0.1%
1%
1%
forme
a
b
b
c
d
taux de compression
87%
88%
63%
65%
87%
Table 1. (a) Analyse
maillage Y8
maillage Y'8
Figure 8. Maillage original et maillage reconstruit pour la forme d
5. Remaillage
Afin de pouvoir compresser un maillage M quelconque, nous devons le remailler. C’est
à dire construire un maillage SJ de connectivité KJ ayant environ le même nombre de
sommets et de facettes que M et dont le rendu est proche de celui de M. Nous étudions
actuellement deux méthodes de remaillage. Une méthode géométrique et une méthode
physique. Le principe de la méthode géométrique consiste à construire un maillage S0
constitué de sommets de M, possédant le moins de sommets possible mais qui englobe
au mieux M. On va ensuite construire S1, …, SJ de connexité K1, …, KJ en positionnant
leurs sommets sur les facettes de M. Nous nous arrêtons au rang J, premier rang pour
lequel SJ a plus de sommets et de facettes que M. S0 est choisi avec peu de sommets afin
que J soit le plus grand possible puisque l’analyse multirésolution n’en sera que plus
efficace. Sur la figure 9a, on voit le maillage original M en fil de fer. C’est le maillage
d’un torse humain, il n’a pas la connexité d’un maillage résultant de subdivisions. Dans
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la Figure 9b, on a rajouté S0 en orange. Dans la Figure 9c, on a assigné à chaque
sommet une couleur en fonction de sa distance géodésique au sommet le plus haut de
S0. Afin de projeter S0 sur M, on représente chaque arête de S0 soit par un élément de
frontière de M, soit par la géodésique sur M reliant les deux sommets de l’arête.
(a)
(b)
Figure 9. (a) Maillage M, maillage S0 et distances à un sommet, (b) Projection
de S0 sur M, un triangle de S0 sur M et 9 triangles de S2 sur M
Nous montrons sur la Figure 10, la projection de S0 sur M et (en rouge) la zone
couverte par un triangle T de S0 sur M. Ainsi lors de la subdivision de S0 on positionne
le nouveau sommet P au centre de la zone rouge de M. On passe directement à la
construction de S2 puisque dans S2 on remplace T par 9 triangles. On insère les sommets
de niveau 1 au tiers et au deux tiers des géodésique et de la frontière. En répétant cet
algorithme sur les triangles de S2, on obtient S4, etc… Le principe de la méthode
physique consiste à déformer un maillage vers les points d'un nuage en considérant le
maillage comme un assemblage de ressorts. Le maillage original Y8 du crâne a été
obtenu via le mailleur dynamique du système logiciel MEFP3C (Gourret et Guillot
2007b). Il a consisté à déformer par lois physiques un hexagone subdivisé 8 fois vers les
points d'un nuage issus d'un scanner 3D.
6. Conclusion
La méthode d'analyse multirésolution associée à la subdivision en 3 exposée dans
cet article permet d'obtenir un fort taux de compression sans altération visuelle. La
principale application est la transmission rapide de formes sur un réseau informatique.
Indépendamment des problèmes mathématiques posés par les calculs, nous portons
notre effort sur le développement du système logiciel MEFP3C pour soigner son
interactivité, et pour qu'il soit facilement utilisable par des non spécialistes de la
programmation, afin de leur permettre d'expérimenter dans leur domaine.
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Bibliographie
Khamlichi J., Gourret J.P. « MEFP3C : Un système logiciel pour le maillage évolutif de formes
avec pavage par polygones à sommets 3-connexes»., CNRIUT 2004. Tome 1 Sciences et
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O.Guillot,
J.P.Gourret
« 3
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