P. FLAMANT (Clermont-Ferrand

P.
FLAMANT
(Clermont-Ferrand - Francia)
LA NOTION DE TRANSMUTATION DÉRIVÉE DANS L'ÉTUDE
DES TRANSMUTATIONS LINÉAIRES
Dans l'étude des transmutations Unéaires, on rencontre des développements
en séries de puissances de la forme
(1)
T=Mai + MaiL+ .... +Ma&+
....,
L étant une transmutation Unéaire donnée, dite principale, Ma désignant la multipUcation par la fonction a et T étant une transmutation Unéaire choisie arbitrairement dans une certaine classe.
Lorsqu'on prend pour transmutation principale la dérivation D, on connaît
depuis longtemps la possibiUté et l'unicité de ce développement pour toute transmutation Unéaire T. J'ai montré la possibiUté d'un développement (1) toutes les
fois que L est dégénérée du premier genre c'est-à-dire donne un résultat identiquement nul pour certains objets non identiquement nuls (*). Même si la
transmutation principale L n'est pas dégénérée, on peut concevoir un développement (1) pour des transmutations T convenablement choisies.
Dans tous les cas où ce développement (1) existe, il est naturel d'appeler
transmutation
dérivée de T par rapport à L ceUe qui est représentée par le
développement
(2)
ÔT/ÔL=Mai + 2Ma2L+ .... +nMaD^+
....
Dans le cas où la transmutation principale est la dérivation M. S.
a étabU, dès ses premiers travaux, que:
PINCHERLE
dT/dD=TMx-MxT.
Je me propose de voir si l'on peut, au point de vue formel, donner une
interprétation analogue de dT/dL indépendante du développement en série.
(l) P. FLAMANT : Le développement d'une transmutation
linéaire en série de puissances
de la differentiation
finie. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 185, p . 1432,
Paris, 1927.
172
COMUNICAZIONI
Écart de permutabiUté.
L'écart de permutabiUté de deux transmutations T et U est la transmutation
TAU=TU-UT.
C'est une combinaison alternée des deux transmutations :
UNT=-TNU.
La transmutation U étant fixée, l'écart de permutabiUté regardé comme dépendant de I 7 a des propriétés formeUes analogues à ceUes de la dérivée d'une
fonction (i):
(3)
UTi + T2 + T3)
AU=TiAU+T2AU+T3AU
haT)f\U=a(TMJ)
{(TiT2) NU=(TiMJ)T2
+
Ti(T2MJ).
De là résulte, pour tout nombre naturel n, la formule
Tnh U= (TA U)Tn-" + T(TA U)Tn~-2 + .... + Tn~"(TA U),
qui attire l'attention sur le cas où TA U et T sont permutables.
Nous dirons qu'une transmutation Unéaire A est associée à T si d'une part
eUe n'est pas permutable avec T et si d'autre part leur écart de permutabiUté
est permutable avec T; ce qui s'écrit
TAA + Q,
ou
TA(TAA)=0;
2
T A-~2TAT+AT2=O.
r_i-_t!r+o,
A, B désignant des transmutations associées à T7 et P une transmutation
permutable avec T, on constate immédiatement que A + P, AP et PA sont
associées à T et que A + B est associée h T ou permutable avec T.
Dérivation d'une série à coefficients constants.
Soit L la transmutation principale et A une transmutation associée à L. On a :
LnA A =nLn~i(L
A A) = (L A A) • nLn~l
et
anLn A A=nani/*-1
(LAA)
= (LAA)>
nanLn-1
En additionnant des relations de même forme, on voit que si
(4)
K=aJ+aiL+
.... +anLn+
KAA = (dK/ÔL)(LAA) =
....
(LAA)(dK/ÔL).
(d) Pour cette raison, M. S. PINCHERLE (Sulle operazioni funzionali lineari, Congrès de
Toronto, p. 131) l'avait noté Tjj. J'ai renoncé à ce symbole pour éviter ici toute confusion
avec la transmutation dérivée ÒT/ÒU.
A.
FLAMANT:
La notion
de transmutation
173
Remarques. 1°) Les transmutations développables en séries de puissances de L
à coefficients constants sont permutables avec LAA
et permutables entre eUes.
2°) Toute transmutation
K à coefficients constants en L admet A pour
associée.
En effet, d'après le résultat obtenu et la l r e remarque, on a successivement:
K(KA A) = K(dK/dL)(L A A) = (ÔK/dL)K(L A A)
= (dK/ÔL)(LAA)K=
(KAA)K.
Dans le cas où on peut définir une inverse de Ll\A (c'est-à-dire si un même
résultat peut provenir de plusieurs objets, dans le cas où on peut trouver un
caractère appartenant à un seul de ces objets), on a pour cette inverse (ou pour
chaque inverse):
,w_
... _
/r
H
'
(LAA)(LAA)~ì=I
et par conséquent en multipUant (4) à droite par cette inverse, on obtient
dK/8L=(KAA)(LAA)i
valable dans le champ des résultats de LA A.
Par suite des propriétés (3) de l'écart de permutabiUté, on a les règles de
dérivation suivantes :
ô(Ki + K2 + K3)/'dL=dKl/ÔL + dK2/dL + SK3/dL
d(aK)/ÔL=a(dK/ÔL)
d(K2Ki)/ÔL= (8K2/dL)Ki + K2(8Ki/dL).
Enfin si J est à coefficients constants en K, elle est aussi à coefficients
constants en L, et on a:
JAA = (dJ/SK)(KAA)
d
'°
U
= (ÔJ/ÔL)(LAA)
(SJ/ÔL)(L AA) = (ÔJ/êK)(dK/dL)(L
A A)
Il en résulte que, toujours dans le champ des résultats de LA A, on a une
règle analogue à ceUe de la dérivée d'une fonction de fonction
dJ/dL=(dJ/dK)(8KldL).
Dérivation d'une série dont les coefficients
sont des multipUcations quelconques.
Essayons d'appUquer un calcul analogue au précédent:
(MaLn) AA = (ManA A)Ln+Jf«n(Z»A
A) = ( JfŒf| A A)D> + nMaL^(L
A A).
La formule sera aussi simple que la précédente si le premier terme du second
membre disparait, c'est-à-dire si A est permutable avec les multipUcations, ce
qui a Ueu si A est une multipUcation.
174
COMUNICAZIONI
Supposons donc que la transmutation
une multiplication
Mk. On a alors
( MaL«) AMX =
principale
L admette pour
associée
nMaL^(LAMk)
d'où par addition, T étant développable en L :
(5)
TAMX =
(dT/ÔL)(LAMx)
et comme dans le cas précédent
dTlBL=(TAMk)(LAMl)^
dans le champ des résultats de LAM%. De même, on a les propriétés, d'aiUeurs
évidentes a priori, relatives à la dérivée d'une somme, ou du produit d'une
transmutation par un nombre. La relation (3) :
se traduit ici:
{T^sM^T^^
[dinTJ/dmLAMÙ
+
T^sMÙ
= (ÔTz/dLKLMÏÙT, + T2(ÔTJÔL)(LhM,).
C'est donc dans le cas où TV est permutable
en tirer la règle de dérivation d'un
produit
avec
LAM*
que l'on
peut
valable toujours dans le champ des résultats de LhMxSupposons maintenant que K admette pour associée la même multiplication
que L ; on aura alors si T est développable en K et en L
d
'°U
et par conséquent
ThMi = (dT/BK)(KMÎ,)
=
(ÔT/ÔL)(LAM,)
(8T/ÔK)(ÔK/ÔL)(Lf\M,)
=
(dT/ÒL)(LhMk)
ST/8L^(BT/dK)(BKiaL)
dans le domaine des résultats de
LAM^.
Cas de la dérivation.
La dérivation admet pour associée la multipUcation par x, car
DAMX=DMX-MXD=I.
Cet écart étant la transmutation identique est permutable avec toute autre
transmutation.
Il résulte alors de ce qui précède que l'on a :
ÔT/dD=TAMx=TMx-MxT
S(T2Ti)/dI)=(ÔT2/dD)Ti
+ T2(ÔTi!ôD) ;
A.
FLAMANT:
La notion
de transmutation
175
et, en désignant par X une transmutation admettant pour associée la multipUcationparz:
d
ÔT/dD=(dT/dX)(dX/dD)
'°U
dT/dX=(ÔT/dD)(dX/dD)
°U
-*
BT/dX^(TMx-MxT)(XMx-MxX)-i
Transmutations admettant pour associée la multipUeation par x.
Il y a d'abord les transmutations s'exprimant par une série à coefficients
constants en D, en particuUer la substitution Unéaire et la differentiation finie
S^=I+\D+£D*+
.... +£D»+ ....
Ah=Sx+h-I=jD+£D*+
.... +£&>+
....
pour lesqueUes on a :
dSx+ll/dD=dAh/dD=hSx+ll=h(Ah
+ I),
et, par suite,
ÔT/dSx+h=dT/dAh=l(TMx~MxT)Sx^.
Ces transmutations ne sont pas les seules comme le montrent les exemples
suivants :
1°) La transmutation Sx+h se reproduit par dérivation comme la fonction
exponentieUe, mais la même propriété appartient aussi à la transmutation plus
générale
(6)
KjL^X)=M^X)Sx+h
qui admet pour développement :
.... + ^M,lix)Dn+
K(X)=MU{X) + jMfl{x)D+
sur lequel on constate que
h
....
h
v±!'iu(x)/vlJ
= 'l-&tJ.{x) )
on voit aussi facilement en partant de (6) que :
Ef*(x) A Mx=hE^x) •
2°) Considérons l'intégration, définie par :
X
D~icp(x)= j cp(u)du
a
et ses puissances que nous noterons D~p=(D~i)p;
p et q étant des nombres
naturels, D^P et D~z sont permutables. Les deux expressions
D?°
ip-i)l
-pM(x-a)*+ ^^M^fiH7I/T.
. <n_L4
V
+ .... + ^ ^ ' 3 1 ^ ^ + . . . .
176
COMUNICAZIONI
«t
x
D^cp(x)= ^ j y r
f(x-Up-*<p(u)du
a
permettent d'étabUr respectivement
BD^IBD=
-pD-P-L
et
-pD-p~K
D^AMX=
Remarque. Soit une transmutation Unéaire L admettant pour associée A ;
transformons L et A par une même trasmutation U ayant une inverse univoque: ULU~L a pour associée UAU~l.
Les transmutations ayant pour associée la multipUcation par k(x) sont donc
les transformées par la substitution Sx(X) des transmutations ayant pour associée
la multipUcation par x.
Développement avec multipUcation à droite.
On peut concevoir, bien qu'ils soint moins usuels, des développements de la
forme :
™ , *.
,., *.
,. , T=MCOo+LMoll+ .... +D>MWn+ ....
qui conduiraient à définir une autre dérivée que je noterai:
BT: 8X=Mai+2LMœ2+
.... + nLn~iMmn+
....
et qui s'interpréterait d'une manière analogue. Soit Mx une multiplication assodèe à L. On a :
d'où par addition:
^M^KM^iLKM^nL^M^
TAM^(LAM,)(8T:
BL).
En comparant avec la relation (5), on voit que:
{BTl8L)(LKMà~(LMtù(BTi
BL).
En multipliant à droite par une inverse de LhMj., on obtient
8T/8L=(LAMX)(8T:
8L)(LAMX)'K
La nouvelle dérivée admet donc l'ancienne pour transformée par LhMx.
le cas de la dérivation, on a vu que
Dans
DhMx=I,
par conséquent
BT/BD^BT:
BD,
ce qu'on peut d'aiUeurs constater en évaluant les con à l'aide des an et de leurs
dérivées ou réciproquement.