Bac blanc STI GM 2006/2007

Bac blanc STI GM 2006/2007
La calculatrice et le formulaire sont autorisés.
Durée : 4 heures.
E XERCICE 1
5 points
Lors de la « foire aux affaires », dans un magasin de bricolage, un client s’intéresse à une meuleuse
d’angle et à une scie sauteuse. On admet, pour ce client, les hypothèses suivantes :
- La probabilité qu’il achète la meuleuse d’angle est 0,60.
- La probabilité qu’il achète la scie sauteuse est 0,46.
- La probabilité qu’il achète la meuleuse d’angle ou la scie sauteuse est 0,64.
On désigne par M l’évènement « le client achète la meuleuse d’angle » et par S l’évènement « le client
achète la scie sauteuse ».
1. Quelques calculs préliminaires :
a. Calculer la probabilité de l’évènement « le client n’achète pas la meuleuse d’angle ».
b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le client achète la meuleuse d’angle et la scie
sauteuse » est 0,42.
c. Calculer la probabilité de l’évènement M ∩ S.
2. Reproduire et compléter le tableau suivant :
S
M
0, 42
M
0, 46
S
0, 60
1
3. La meuleuse d’angle coûte 12,96 € et la scie sauteuse 15,09 € . On désigne par X la variable aléatoire
égale à la dépense, en euros, du client.
a. Déterminer les différentes valeurs de la variable aléatoire X.
b. Établir la loi de probabilité de X.
c. Calculer l’espérance mathématique de X. On en donnera l’arrondi au centime d’euro.
d. Quel chiffre d’affaires le magasin peut-il espérer réaliser si 50 clients, intéressés par ces deux
appareils, se présentent pendant cette « foire aux affaires » ?
E XERCICE 2
5 points
1.
a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes C l’équation d’inconnue z :
z 2 − 2z + 4 = 0.
On désigne par z 1 la solution de partie imaginaire positive et par z 2 l’autre solution.
b. Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.
c. En déduire le module et un argument de z 12 et de z 22 ; calculer ces deux nombres sous forme
algébrique.
³ →
− →
−´
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O, u , v d’unité graphique 1 cm.
On désigne par A, B, A0 et B0 les points d’affixes respectives :
p
zA = 1 + i 3 ;
p
zB = 1 − i 3 ;
p
p
z A0 = −2 + 2i 3 et z B0 = −2 − 2i 3.
a. Placer ces points dans le plan complexe.
b. Déterminer et justifier la nature du quadrilatère AA0 B0 B.
1
c. Soit Ω le point d’affixe −2.
Calculer les distance ΩA et ΩA0 .
En déduire que les points A, B, A0 et B0 sont sur un même cercle dont on précisera le centre et
le rayon.
P ROBLÈME
10 points
Soit f la fonction définie sur ] − 1 ; +∞[ par
f (x) = x + ln(x + 2) − ln(2x + 2).
On appelle (C ) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (4 cm pour une unité
en abscisses et 8 cm pour une unité en ordonnées).
Préliminaires :
1. Montrer que sur ] − 1 ; +∞[, (2x + 2) > 0 et (x + 2) > 0.
2. Étudier le signe de x 2 + 3x + 1 sur ] − 1; +∞[.
Partie A : Limites et asymptotes
1. Déterminer lim f (x). Que peut-on en déduire graphiquement ?
x→−1
¶
x +2
a. Montrer que f (x) peut s’écrire sous la forme f (x) = x − ln 2 + ln
.
x +1
b. Déterminer alors lim f (x).
µ
2.
x→+∞
c. Montrer que la droite D d’équation y = x − ln(2) est asymptote oblique à (C ) en +∞.
d. Déterminer la position de (C ) par rapport à la droite D sur ] − 1 ; +∞[.
Partie B : étude des variations
x 2 + 3x + 1
.
(x + 1)(x + 2)
2. A l’aide des résultats obtenus dans les préliminaires, étudier le signe de f 0 sur ] − 1 ; +∞[.
1. Calculer la dérivée f 0 de f et montrer que f 0 (x) =
3. Construire le tableau de variations de la fonction f .
Partie C : Représentation graphique
1. Justifier que l’équation f (x) = 0 admet, dans l’intervalle [−0, 8 ; −0, 4], une solution unique notée
b. Donner un encadrement de b à 10−2 près de b.
2. Déterminer une équation de la droite T tangente à (C ) au point d’abscisse 0.
3. Reproduire et compléter le tableau suivant : (on donnera les résultats arrondis à 10−1 près) :
x
f (x)
−0, 8
p
5−3
2
0
0, 5
1
2
4. Représenter graphiquement la droite T, les asymptotes et (C ) dans le repère donné.
2
Correction du bac blanc 2006/2007
E XERCICE 1
5 points
1.
a. p(M ) = 1 − p(M ) = 1 − 0.6 = 0.4
b. p(M ∪ S) = p(M ) + p(S) − p(M ∩ S) d’où p(M ∩ S) = p(M ) + p(S) − p(M ∪ S) donc p(M ∩ S) =
0.6 + 0.46 − 0.64 = 0.42
c. p(M ∩ S) + p(M ∩ S) = p(S) donc p(M ∩ S) + 0.42 = 0.46 d’où p(M ∩ S) = 0.04
2.
S
S
3.
M
0, 42
M
0.04
0, 46
0.18
0, 60
0.36
0.40
0.54
1
a. Les valeurs prises par X sont 0 (aucun achat), 12.96, 15.09 et 15.09 + 12.96 = 28.05.
b.
k
p(X = k)
0
0.36
12.96
0.18
15.09
0.04
28.05
0.42
c. E (X ) = 0 × 0.36 + 0.18 × 12.96 + 0.04 × 15.09 + 0.42 × 28.05 = 14.72
d. Il peut espérer gagner 50 × 14.72 = 736€.
E XERCICE 2
5 points
1.
a.
∆ = (−2)2 − 4 × 1 × 4 = −12
Il y a donc deux solutions complexes conjugués.
p
−(−2) − i −∆
z2 =
2a
p
2 − i 12
=
2
p
= 1−i 3
p
−(−2) + i −∆
z1 =
2a
p
2 + i 12
=
2
p
= 1+i 3
b.
p 2
1+ 3 = 2
q
|z 1 | =
On note θ1 = Ar g (z 1 ).

1

 cos (θ1 ) =
2
p

 sin (θ ) = 3
1
2
π
.
3
Comme z 2 = z 1 ,
D’où θ1 =
(
|z 2 | = |z 1 | = 2
Ar g (z 2 ) = −Ar g (z 1 ) = −
π
3
c.
|z 12 | = |z 1 |2 = 4 de même |z 22 | = 4
Ar g (z 12 ) = 2 × Ar g (z 1 ) =
2π
3
de même
3
Ar g (z 22 ) = 2 × Ar g (z 2 ) = −
2π
3
On peut calculer directement z 12 sous forme algébrique en utilisant la forme algébrique. Mais
en le calculant à partir de son module et de son argument, on a une méthode qui se généralise
à n’importe quelle puissance.
2i π
z 12 = 4e 3
µ
¶
2π
2π
= 4 cos ( ) + i sin ( )
3
3
Ã
p !
3
1
= 4 − +i
2
2
p
= −2 + 2i 3
2.
a. Respecter les unités ! !
5
4
A’
3
2
A
1
0
−5
−4
−3
−2
0
−1
1
2
3
−1
−2
B
−3
B’
−4
−5
p
p
−−−→
−−−→
−→
−→
b. AB a pour affixe z B − z A = −2i 3 et A 0 B 0 a pour affixe z B 0 − z A 0 = −4i 3. Donc A 0 B 0 = 2 AB et
donc (A 0 B 0 ) et (AB ) sont parallèles.
un trapèze.
p C’est donc
p
p
p
p
p
De plus, |z A 0 − z A | = | − 3 + i 3| = 12 = 2 3 et |z B 0 − z B | = | − 3 − i 3| = 12 = 2 3.
C’est donc un trapèze isocèle.
c.
ΩA = |z A − z Ω |
p
= |3 + i 3|
p
=2 3
ΩA 0 = |z 0A − z Ω |
p
= |2i 3|
p
=2 3
De même :
4
ΩB = |z B − z Ω |
p
= |3 − i 3|
p
=2 3
ΩB 0 = |z B0 − z Ω |
p
= | − 2i 3|
p
=2 3
0
0
0
0
D’où
p ΩA = ΩA = ΩB = ΩB et donc A, A , B et B sont sur le cercle de centre Ω et de rayon
2 3
P ROBLÈME
Préliminaires :
10 points
x > −1
1.
x + 2 > −1 + 2
x > −1
x +2 > 1 > 0
2x > −2
x +2 > 0
2x + 2 > 0
2. x 2 + 3x + 1 :
∆ = 32 − 4 × 1 × 1 = 5, donc il y a deux solutions réelles :
p
−3 + 5
x1 =
≈ −0.38
2
p
−3 − 5
x2 =
≈ −2.62
2
x
2
−1
x + 3x − 1
||
−
p
−3 + 5
2
0
+∞
+
Partie A : Limites et asymptotes
)
lim 2x + 2 = 0
x→−1
1.
d’où lim − ln (2x + 2) = +∞
lim − ln (X ) = +∞
x→−1
X →0
lim x = −1 et lim ln (x + 2) = ln (−1 + 2) = 0 d’où d’après la limite d’une somme lim f (x) = +∞.
x→−1
x→−1
x→−1
2.
f (x) = x + ln(x + 2) − ln(2x + 2)
= x + ln(x + 2) − ln (2 × (x + 1))
= x + ln(x + 2) − (ln(2) + ln(x + 1))
= x − ln(2) + ln(x + 2) − ln(x + 1)
µ
¶
x +2
= x − ln(2) + ln
x +1
x +2
x
est une fonction rationnelle et a donc pour limite en +∞ celle de = 1, or lim 1 = 1
x→+∞
x +1
x
x +2
donc lim
=1
x→+∞ x + 1

x +2
µ
¶
lim
=1 
x +2
x→+∞ x + 1
lim ln
=0
(∗)
x +1
lim ln (X ) = 0  x→+∞
X →1
lim x − ln 2 = +∞ d’où d’après la limite d’une somme lim f (x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
5
¶
µ
¶
x +2
x +2
= 0. Or d’après (∗), lim ln
= 0, donc lim f (x) − (x −
x→+∞
x→+∞
x +1
x +1
ln(2)) = 0. La droite D d’équation y = x − ln 2 est asymptote oblique à (C ) en +∞.
¶
µ
¶
µ
x +2
x +2
. On recherche donc le signe de ln
.
c. f (x) − (x − ln 2) = ln
x +1
x +1
µ
¶
x +2
ln
>0
x +1
x +2
>1
x +1
µ
b.
a. f (x) − (x − ln 2) = ln
µ
¶
x +2
x +2
> 1. D’où ln
> 0 si x > −1. Donc (C ) est
Or si x > −1, x + 2 > x + 1 > 0 et donc
x +1
x +1
au-dessus de D.
Partie B : étude des variations
1.
f (x) = x + ln(x + 2) − ln(2x + 2)
2
1
−
f 0 (x) = 1 +
x + 2 2x + 2
x +2+1
1
=
−
x +2
x +1
(x + 3)(x + 1) − (x + 2)
=
(x + 2)(x + 1)
x 2 + 4x + 3 − x − 2
=
(x + 2)(x + 1)
x 2 + 3x + 1
=
(x + 2)(x + 1)
2.
x
−1
x 2 + 3x − 1 ||
−
p
−3 + 5
2
0
+∞
+
x +2
||
+
+
x +1
||
+
+
||
−
f
0
f
0
+∞
+
+∞
−0.11
3. Cf. ci-dessus.
Partie C : Représentation graphique
1. f est dérivable sur [−0.8; −0.4], strictement décroissante sur [−0.8; −0.4] et f (−0.8) > 0 > f (−0.4),
donc f (x) = 0 admet une unique solution sur [−0.8; −0.4].
−0.65 < b < − + 0.64.
2.
y = f 0 (0) × x + f (0)
= 0.5x
6
3.
x
−0, 8
f (x)
0.3
p
5−3
2
−0.1
0
0, 5
1
2
0
0.3
0.7
1.6
2
D
C
T
1
−1
0
1
4.
7
2