Sur le module de la fonction caractéristique du calcul des probabilités

ΠUVRES DE L AURENT S CHWARTZ
L AURENT S CHWARTZ
Sur le module de la fonction caractéristique du calcul des probabilités
C. R. Acad. Sci. Paris, 212 (1941), p. 418-421.
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
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CORRESPONDANCE.
THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur le module de la fonction
du calcul des probabilités. Note de M.
par M. Paul Montel.
caractéristique
LAURENT SCHWARTZ,
présentée
Désignons par x une variable aléatoire réelle; par F(X) sa fonction de
répartition [F(X) est la probabilité de l'événement x<^ X], fonction non
décroissante, F( — oo) = o, F(+oc) = i; par <p(z) sa fonction caractéristique ç(j) = /
^ x rfF(X), t réel. Il est utile de faire la décomposition
de F(X) en somme d'une fonction absolument continue
F 1 (X)=/
f(œ)dx,
d'une fonction de sauts F 2 (X), et d'une fonction singulière F 3 (X) qui ne
croît que sur un ensemble de mesure nulle. Posons
Pl=
f
d¥i
? i ( 0 = J + e"*dFt(X)
(* = I » 2 ' 3 )î
(1 = 1, a, 3);
II est bien connu que <p(o) = i, et que, pour tout J, \<p(t)\<i. Le but de la
présente Note est de voir si | <p(f) | peut approcher arbitrairement près de i
SÉANCE DU 17 MARS I94l4*9
pour les très grandes valeurs de £, et plus généralement de calculer
lim |ç(*)|. Nous rappelons que lim |?(*)| = 0 .
„-+- oc
I. Étude de ç, (t). — On sait que 9, (t) = f
eilxf(x)dx tend vers zéro
lorsque 111 tend vers oc.
IL Étude de <p2(0- — Nous allons montrer que iim |ç 2 (O=jt> 2 .
Soient en efFet œly xt, . . ., ,xn un nombre fini de points où se trouvent concentrées
des probabilités positives respectivement égales à ai, a2, . • ., a n telles que
a, -+- a2 -f-. . . -\-<xn > />2 — z
Or, il existe une infinité de valeurs de t pour lesquelles les nombres txu tx2, .... tœn
sont tous, à un multiple de 2?r près, compris entre — s' et -h s/; pour ces valeurs
(a t -f-a 2 + . . . + aw)cose'—
De plus il est clair que Pensemble des valeurs de t pour lesquelles
| Ç2(0l ^ P a — ^1 S^ petit que soit Y], a une densité positive dans l'ensemble
des valeurs de /[autrement dit, la mesure de cet ensemble dans l'intervalle (— A, + A), est supérieure à £A, k ^> o fixe].
III. Étude de ç 3 (/). — L'égalité bien connue lim 1/2 A /
| <p3(*)|2ûfa = o
montre que, dans tous les cas, Tensemble des valeurs de t pour lesquelles
| ç 3 (t) | ^> Y) est de densité nulle dans l'ensemble de toutes les valeurs de t.
Nous allons montrer que la valeur de lim | ç 3 (*)| peut être zéro, un nombre
intermédiaire entre zéro et p 3 , ou p39 suivant la nature arithmétique de la
distribution des masses. Nous prendrons le cas où p , = p 2 = o, p 3 = i ,
F< = F 2 = o, F 3 = F ; la loi de probabilité est singulière. On obtient aisément une telle loi en considérant x comme la somme ^ = 2 ^ n d'une
infinité dénombrable de variables aléatoires indépendantes xn, la
variable xn pouvant prendre, ayec des probabilités égales, les deux valeurs
opposées + un et — ww, avec un+h[un <^k<^ 1/2. On a alors
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ACADÉMIE DES SCIENCES.
Il =
30
Premier cas. — un — njn ! ; <p (t) = I I cos % tjn !. Alors
71
COS
— COS •
tend vers i pour n -> oo. Conclusion : lim | <p (t) | = i.
Deuxième cas. —^ un= n/p71,p entier ^> 2 ; Ç(Ê) = T I cos(^ntjpn).
a. |ç(p w )| = | ç ( i ) | 7^0. Donc lim | ç ( î ) | ^> o.
6. Pour | *| ]> 1/2, il y a dans la progression géométrique t, tjp, t/p*, ...,
au moins un terme compris entre 1/2 et 1/2/); donc | ç(*) <^ cos (n/2p) et
Troisième cas. — wn== Tt/p", p réel non entier ^> 2; ç(^) = I |cos(itf/pn).
71 = 0
Montrons que pour p rationnel =pjq, g ^ 1, lim | ç(f) | = o.
Posons t = rp71, r ^ T < p;
< | COSTCTp/l.COS7ITpn-1.COSTTTpn-~2 . . . COSTTTp2 . COS7TTp . COS7TT |.
Il suffit de montrer que lorsque n (c^est-à-dire \t\) tend vers 00 } ce dernier produit
tend vers zéro uniformément par rapport à T, et pour cela de montrer que si Ton
considère une suite de termes de la forme ]cos7TTp^|, cos7rrp>k+1|, | cosTrrp^ 2 ^ etc.,
on est sûr d'en rencontrer un qui soit inférieur à COS[TT/(/> -\- g], le nombre de termes
nécessaire dépendant de X, mais non de r. | cos7rrp*| > COS[TT/(/? -+- g)] signifie que
Tpkz= m -h yj, m entier | n \ < i/(p -+- g). Mais alors rp^+1n= m(p/g) H- r\(plg)] si tn
n'est pas divisible par g, ce nombre diffère*d'un entier d'au moins
et Ton aura | cos^rp^ 1 ] < cos[7r/(/> -+- ^)]. Dans le cas contraire, m = m'^, m1 entier
et
et | cos7TTpx+11 > cos
signifie | r/\ <C
•
Mais alors rp^2—mfp (p/g)-+-r}f (p/g); si m' n'est pas divisible par ^, il diffère
d'un entier d'au moins (i/g)-—fi'(p/g)>i/(p-\-g)
et l'on aura |cos7rrpx+2| <;cos(7r/p-+-^).
f
fr
Dans le cas contraire, m =m g,
m" entier et r p x = m"g2-±- YJ, rp1^1 = mffpg-h r)f,
x+2
rp>>+2 _- m"jps _|_ yj" e t | cos 7TTp 1 > cos( TT p -+- ç ) signifie | Y);/ | < ( 1 jp -h ^) et ainsi de
suite.
SÉANCE DU 17 MARS 1941.
*
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1
Comme, finalement, E[rp'] < p^ ne saurait être divisible par des puissances de q
dépassant (X -h 1) (logp/log^'), nous avons démontré la propriété.
IV. Conclusion.
p^
lim j
\t\
C'est la nature arithmétique de la distribution des probabilités qui
décide de la valeur de la limite supérieure'entre les deux extrêmes donnés.
Si Ton excepte un ensemble de valeurs de t de densité limite nulle,
alors lim