ROC : Formule du binôme de Newton

ROC : Formule du binôme de Newton
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ROC : Formule du binôme de Newton
(x + 1)n est un polynôme de degré n :
(x + 1)n = P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
1. Déterminer les coefficients de xP (x), puis ceux de (x + 1)n+1
xP (x) = x(x + 1)n = an xn+1 + an−1 xn + · · · + a1 x2 + a0 x
(x + 1)n+1 = (x + 1) × (x + 1)n = (x + 1)P (x) = xP (x) + P (x)
En regroupant les termes dans xP (x) + P (x), on obtient :
(x + 1)n+1 = an xn+1 + (an−1 + an )xn + · · · + (a1 + a2 )x2 + (a0 + a1 )x + a0
2. Enoncer un procédé qui permet de calculer le coefficient de xp dans (x + 1)n+1 en
fonction des coefficients an , an−1 , . . . , a1 , a0 dans (x + 1)n .
D’après ce qui précède :
Si p = 0, le coefficient de xp dans (x + 1)n+1 est a0 .
Si 1 6 p 6 n, le coefficient de xp dans (x + 1)n+1 est ap−1 + ap
Si p = n + 1, le coefficient de xp dans (x + 1)n+1 est an .
3. Exemple : n = 2
Pour n = 2, on connaı̂t l’identité : (x + 1)2 = x2 + 2x + 1,
donc a2 = 1 ; a1 = 2 ; a0 = 1.
2
1
0
p
coefficient de xp a2 = 1 a1 = 2 a0 = 1
Donc, pour (x + 1)n+1 = (x + 1)3 , les coefficients de xp sont :
p
3
2
1
0
coefficient de xp a2 = 1 a1 + a2 = 3 a0 + a1 = 3 a0 = 1
D’où l’identité (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
4. Démontrer par récurrence (sur n) que, pour tout n entier > 1 et pourtout
p tel que
n
p
n
0 6 p 6 n, le coefficient de x dans le développement de (x + 1) est
p
La récurrence est un peu délicate à exprimer parce qu’il y a deux lettres : n et p.
On choisit comme propriété de récurrence :
p
P (n) : « pour tout
p tel que 0 6 p 6 n, le coefficient de x dans le développement
n
de (x + 1)n est
»
p
Initialisation Pour n = 1. (x + 1)1 = x + 1.
1
(cas n = 1, p = 1).
1
1
(cas n = 1, p = 0).
Le coefficient de x0 est 1, qui est bien égal à
0
Le coefficient de x1 est 1, qui est bien égal à
Hérédité Soit n tel que le coefficient de xp dans (1 + x)n soit égal à ap =
n
p
pour tout p tel que 0 6 p 6 n.
Alors d’après la question 2, le coefficient de xp dans (x + 1)n+1 est :
n
n+1
si p = 0, c’est a0 =
=1=
0
0
n
n
n+1
si 1 6 p 6 n, c’est ap−1 + ap , donc
+
=
d’après la
p−1
p
p
propriété de récurrence du
triangle de
Pascal.
n
n+1
si p = n + 1, c’est an =
=1=
n
n+1
Conclusion Pour tout n > 1 : pour tout p telque 0 6 p 6 n, le coefficient de xp
n
dans le développement de (x + 1)n est
p
5. Déterminer la formule de (a + b)n
a
a
Pour b 6= 0 , a + b = b
+ 1 . On pose x = . Donc (a + b)n = bn (x + 1)n .
b
b
n n
n
n
n
n
D’après ce qui précède, (x + 1) =
x +
xn−1 + · · · +
x+
.
n
n−1
1
0
a
On remplace x par , puis on multiplie par bn , on obtient finalement :
b
n
n
n
n
n n
n
n−1
n−2 2
n−1
n
(a + b) =
a +
a
b+
a
b + ··· +
ab
+
b
n
n−1
n−1
1
0
Exemples :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4