Exercice 1 Exercice 2

BTS 1
Jeudi 14 janvier
Devoir n° 3
Exercice 1
Partie A :
On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x² – 1 + ln x
La représentation graphique ci-contre correspond à g.
1. Etudier les variations de g. (Dérivée, signe de la dérivée et tableau de
variation. On ne demande pas de limites)
2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) sur ]0 ; +∞[
Partie B :
ln x
x
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal

→ 
→
(O; i ; j ). Unités graphiques : 1 cm sur chaque axe.
1. a. Etudier la limite de f en 0. En déduire une asymptote à la courbe.
b. Etudier la limite de f en +∞.
2. Démontrer que la droite D d’équation y = x – 1 est une asymptote à la
courbe C en +∞
3. Etudier la position de C par rapport à D. (justifier)
g(x)
4. a. Montrer que, pour tout x de ]0 ; +∞[, f’(x) =
x²
b. En déduire, en utilisant la partie A , le signe de f’(x) puis les variations de f.
5. Tracer la droite D puis la courbe C dans le repère.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x – 1 –
Exercice 2
Un fabriquant de produits en béton utilise un jeu de moules à parpaings qui permet de fabriquer
10 000 pièces par jours. Avec un jeu de moules neuf on obtient des pièces dont la masse est 18 kg.
Cette masse augmente avec l’usure. La production reste acceptable tant que la masse moyenne des
parpaings d’une palette ne dépasse pas 20 kg. Pour évaluer l’usure d’un jeu de moules au cours de la
production, on prélève chaque quinzaine, une palette de parpaings que l’on pèse. En commençant
avec un moule neuf à la date 0, on obtient la série de mesures suivante :
Numéro de la quinzaine xi 0
Masse d’un parpaing yi
1
2
3
4
5
6
18 18,1 18,2 18,4 18,5 18,7 18,9
1) Représenter le nuage de points associé à cette série statistique. (Prendre l’origine à (0 ; 18))
2) Déterminer le point moyen G
3) Déterminer le coefficient le corrélation linéaire. Un ajustement affine est-il justifié ?
4) Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de y en x.
(on donnera les coefficients à 10-2 près). Tracer cette droite.
5) A combien peut-on estimer la masse d’un parpaing la 10ème quinzaine ?
6) A combien peut-on estimer la masse d’un parpaing après 4 mois d’utilisation ?
7) Au bout de combien de temps la masse d’un parpaing atteindra t-elle 19 kg ?
8) Au bout de combien de temps faudra-t-il remplacer les moules ?