d`un reverse convertible »

Cor rection de l’exer cice du cour s Gestion Financière à Cour t Ter me : « Analyse d’un reverse convertible » Question 1 : représenter graphiquement le taux de rentabilité du reverse convertible en fonction du taux de rentabilité de l’indice CAC 40 sur la période d’investissement. En déduire la décomposition du reverse convertible en produits simples (achat/vente de titres sans risque, achat/vente de l’indice CAC 40, achat/vente de calls, achat/vente de puts, etc.). Rappelons la structure de rémunération du reverse convertible. En cas de hausse de l’indice CAC 40 sur la période d’investissement, le capital investi par le trésorier est rémunéré au taux de 2,5% (taux période). En cas de baisse de l’indice CAC 40, le capital investi est rémunéré au taux de 2,5% diminué du pourcentage de baisse de l’indice sur la période. Per for mance du reverse convertible 10,0% Rentabilité du reverse convertible
7,5% 5,0% 2,5% 0,0% ­10,0% ­7,5% ­5,0% ­2,5% 0,0% ­2,5% 2,5% 5,0% 7,5% 10,0% ­5,0% ­7,5% ­10,0% Rentabilité de l'indice CAC 40 En investissant dans un reverse convertible, le trésorier de l’entreprise a une position longue sur des titres sans risque (obligations d’Etat) et une position courte sur des puts à la monnaie sur l’indice CAC 40. Question 2 : expliquer comment la banque « fabrique » le reverse convertible. On décrira les opérations financières réalisées par la banque aux différentes dates pertinentes. En déduire la marge prélevée par la banque. On exprimera la marge en euros et en pourcentage du nominal du produit. La banque fabrique un reverse convertible au début de l’opération en vendant des puts et en investissant dans des titres sans risque. Plus précisément, le 15 mars, la banque vend à une contrepartie des puts sur l’indice CAC 40, à la monnaie, d’une maturité de 3 mois et pour un nominal correspondant au montant investi par le trésorier de l’entreprise (1 M€). En utilisant la propriété d’homogénéité de degré 1 du prix d’une option par rapport au prix du sous­jacent et au prix d’exercice, la prime des puts vendus est égale au nominal (1 M€) multiplié par la prime d’un put avec un cours du sous­jacent et un prix d’exercice de Ó François Longin www.longin.fr 1 €, soit 26 215 € (=1 000 000∙0,026215). La banque investit la prime des puts vendus et les fonds reçus du trésorier, soit un montant global de 1 026 215 €, en titres sans risque pour une durée de 3 mois au taux annuel de 3%. Au bout de 3 mois, le 15 juin, la valeur de l’investissement en titres sans risque valorisé au taux annuel de 3% est de 1 033 938 €. Deux cas se présentent alors selon l’évolution haussière ou baissière de l’indice CAC 40. Si l’indice CAC 40 a monté par rapport à son niveau du 15 mars, les puts vendus expirent en dehors de la monnaie et la banque dispose de 1 033 938 €. La banque verse au trésorier le montant investi initialement valorisé au taux du reverse convertible de 2,5%, soit 1 025 000 €. Dans ce cas, la marge de la banque est de 8 938 €. Si l’indice CAC 40 a baissé par rapport à son niveau du 15 mars, les puts vendus expirent dans la monnaie et la banque dispose de 1 033 938 € diminué de la valeur des puts à expiration. Par exemple, si le CAC 40 a baissé de 5% sur les 3 mois, la banque dispose de 983 938 € (=1 033 938 €­ 50 000 €). La banque verse au trésorier le montant investi initialement valorisé au taux du reverse convertible de 2,5% diminué de la valeur des puts, soit un total de 975 000 € (=1 025 000 €­ 50 000 €). Dans ce cas, la marge de la banque est encore de 8 938 €. La marge de la banque sur le reverse convertible est donc de 8 938 €. Exprimée en pourcentage du nominal du produit, la marge de la banque s’élève à 0,89% (taux période) et à 3,56% (taux annuel). Question 3 : étudier la sensibilité du « taux de rémunération » du reverse convertible aux paramètres de marché pertinents. On illustrera les résultats qualitatifs avec des exemples numériques. Dans quelles configurations de marché le taux du reverse convertible est­il particulièrement élevé ? A la marge près, le taux du reverse convertible dépend des conditions de marché influençant la valeur des puts vendus et la valeur du placement en titres sans risque. Pour les puts, il s’agit de la volatilité (effet positif) et du taux sans risque (effet négatif). Le cours du sous­jacent et le prix d’exercice n’interviennent pas car, par construction, les puts sont vendus à la monnaie. Quant à la maturité des puts, elle est égale, par construction, à la maturité du reverse convertible. Pour le placement en titres sans risque, il s’agit uniquement du taux d’intérêt (effet positif). On peut remarquer que l’effet du taux d’intérêt peut apparaître ambigu. Cependant, l’effet négatif du taux d’intérêt sur le prix des puts vendus n’est limité qu’aux puts alors que l’effet positif du taux d’intérêt sur le placement en titres sans risque concerne la prime des puts mais aussi le nominal du reverse convertible qui est beaucoup plus important que la prime des puts. L’effet du taux d’intérêt sur le taux de rémunération du reverse convertible est donc vraisemblablement positif. Illustrons ces effets à l’aide d’exemples numériques obtenus en modifiant un paramètre à la fois, soit la volatilité, soit le taux d’intérêt. Si la volatilité de l’indice CAC 40 était de 16% (au lieu de 15%), la prime des puts vendus le 15 mars serait de 28 191 € (au lieu de 26 215 €). Le 15 mars, la banque investirait en titres sans risque 1 028 191 € (au lieu de 1 026 215 €), ce qui, valorisé au taux annuel de 3%, constituerait un capital de 1 035 945 €. A marge constante pour la banque, cela impliquerait un taux de rémunération du reverse convertible de 2,70% (au lieu de 2,50%). Conformément à la théorie, la volatilité a un effet positif sur la valeur du taux de rémunération du reverse convertible servi au trésorier. Si le taux sans risque était de 4% (au lieu de 3%), la prime des puts vendus le 15 mars serait de 25 054 € (au lieu de 26 215 €). Le 15 mars, la banque investirait en titres sans risque 1 025 054 € (au lieu de 1 026 215 €), ce qui, valorisé au taux annuel de 4% (au lieu de 3%), constituerait un
Ó François Longin www.longin.fr capital de 1 035 360 €. A marge constante pour la banque, cela impliquerait un taux de rémunération du reverse convertible de 2,64% (au lieu de 2,50%). Comme anticipé, le taux sans risque a bien un effet positif sur la valeur du taux de rémunération du reverse convertible servi au trésorier. Le taux de rémunération du reverse convertible sera le plus élevé dans les conditions de marché suivantes : volatilité élevée et taux d’intérêt élevé. Question 4 : représenter graphiquement la distribution statistique du taux de rentabilité du reverse convertible. On pourra supposer par exemple que la distribution statistique du taux de rentabilité de l’indice CAC 40 est normale. La distribution statistique de la rentabilité du reverse convertible est mixte : discrète pour la valeur du taux du reverse convertible (2,5%) et continue pour les valeurs strictement inférieures à ce taux. La probabilité d’obtenir une rémunération de 2,5% est égale à la probabilité d’une hausse de l’indice CAC 40 sur la période d’investissement. La densité de la rentabilité du reverse convertible pour une valeur strictement inférieure à 2,5% (­2% par exemple) est à égale la densité de la rentabilité de l’indice CAC 40 pour la même valeur diminuée de 2,5% (­4,5% pour l’exemple considéré). Pour calculer la masse de probabilité sur la valeur 2,5% et la densité de probabilité pour les valeurs strictement inférieures, il est nécessaire de calculer la densité de la rentabilité de l’indice CAC 40. En supposant que le comportement statistique de cette rentabilité peut être modélisée par une loi normale, il reste à calculer sa moyenne et son écart­type. La moyenne correspond à la rentabilité anticipée par le marché sur la période d’investissement. L’écart­type correspond à la volatilité anticipée par le marché, volatilité que l’on peut obtenir à partir de la volatilité implicite des options pour une maturité égale à la période d’investissement. Cette volatilité peut être obtenue comme une moyenne des volatilités en dehors de la monnaie, à la monnaie et dans la monnaie. Numériquement, la moyenne est égale à 3% et l’écart­type à 7,71% (taux période). Distr ibution de pr obabilité de la r entabilité du reverse convertible 6 Distr ibution de pr obabilité 5 4 3 Pr obabilité d'obtenir une rentabilité égale à 2,5% : 65,14% Densité de pr obabilité pour une r entabilité str ictement infér ieur e à 2,5%
2 1 0 ­20% ­15% ­10% ­5% 0% 5% Rentabilité du reverse convertible Question 5 : quel est le principal avantage et le principal inconvénient d’un reverse convertible pour un placement d’excédents de trésorerie ? Quelle suggestion formuler pour rendre le Ó François Longin www.longin.fr produit plus approprié aux besoins et aux contraintes du trésorier ? Le principal avantage d’un reverse convertible est de proposer un taux de rémunération supérieur au taux sans risque. Dans l’exemple considéré, le taux servi est égal à 10% (taux annuel) alors que le taux sans risque n’est que de 3%. Cependant, le taux de rémunération n’est pas garanti mais sa probabilité d’occurrence est relativement élevée : 65,14%. Le principal inconvénient d’un reverse convertible est que le capital du placement n’est pas garanti. La probabilité de perte en capital est égale à la probabilité que l’indice CAC 40 baisse de plus de 2,5% sur la période de l’investissement. Le calcul montre que la valeur de cette probabilité est significative : 23,78%. Afin de limiter cet inconvénient, la banque pourrait modifier le reverse convertible en vendant des puts en dehors de la monnaie. La prime des puts vendus sera bien sûr plus faible, ce qui aura pour conséquence de diminuer le taux de rémunération du produit, mais en contrepartie la probabilité d’exercice des puts sera plus faible (même si la volatilité des puts en dehors de la monnaie est légèrement plus élevée), ce qui aura pour conséquence de diminuer le risque de perte en capital pour le trésorier.
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