RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
On donne les problèmes suivants :
n - Monsieur Lecompte, après avoir réglé son premier tiers provisionnel, constate qu’il ne lui reste que 40 %
de 2400 € à régler.
Quel est le montant de son impôt ?
o - Cette année, monsieur Rapin doit payer un impôt qui a augmenté de 2400 € par rapport à l’année
dernière. Il a calculé que son premier tiers provisionnel lui reviendra à 40 % de l’impôt de l’an dernier.
Quel était cet impôt ?
p - Dans une commune, le tiers des inscrits sur une liste électorale a moins de 30 ans. Les deux cinquièmes
ont entre 30 et 50 ans et il y a 2400 inscrits de plus de 50 ans.
Quel est le nombre total d’inscrits ?
q - Dans une autre commune, le tiers des inscrits a moins de 30 ans, les deux cinquièmes du reste de la liste
électorale ont entre 30 et 50 ans et il y a 2400 inscrits de plus de 50 ans.
Quel est le nombre total d’inscrits ?
On donne les équations suivantes :
c
e
g
i
k
⎛1 2⎞
x − ⎜ + ⎟ = 2400
⎝3 5⎠
1
2
x + x + 2400 = x
3
5
2
1
x − x = 2400 + x
5
3
2
1
( x + 2400) = x
5
3
2400 − x 2
x−
= x
3
5
d
f
h
j
1
( x + 2400) =
2
x
3
5
1⎛
2 ⎞
⎜ x + x ⎟ = 2400
⎝
3
5 ⎠
1
2
x + × 2400 = x
3
5
2 2 ⎞
⎛1
x − ⎜ x + × x ⎟ = 2400
5 3 ⎠
⎝3
Trouver les équations associées aux problèmes donnés et résoudre ces problèmes :
n
o
p
q
.......................................
.........................................
......................................
.............................................
.......................................
.........................................
......................................
.............................................
.......................................
.........................................
......................................
.............................................
.......................................
.........................................
......................................
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.......................................
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.............................................
.......................................
.........................................
......................................
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RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME
par équation ou inéquation à une inconnue
n - Mise en équation et résolution
Étude d’un exemple
Afin d’encourager son fils à étudier les mathématiques, un père accepte de lui donner 8 € pour chaque problème
correctement résolu mais de lui reprendre 5 € dans le cas contraire.
Après 26 problèmes, chacun a donné autant qu’il a reçu.
Combien de problèmes ont été correctement résolus ?
a) Choix de l’inconnue
On appelle x le nombre de problèmes correctement résolus.
Par conséquent : 26 − x est le nombre de problèmes non réussis.
b) Mise en équation
Le père a donné : x × 8 = 8x (euros)
Le fils a donné : (26 − x) × 5 = 5(26 − x) (euros)
Chacun ayant donné autant qu’il a reçu :
8x = 5 ( 26 − x )
Cette équation est une traduction mathématique de l’énoncé.
c) Résolution de l’équation
8x = 5 ( 26 − x )
8x = 130 − 5x
8x + 5x = 130
13x = 130
130
13
x = 10
x=
d) Conclusion (et vérification)
10 problèmes ont été correctement résolus ; et 26 − 10 = 16 problèmes ont été ratés.
La vérification est facultative :
Somme donnée par le père : 10 × 8 = 80 €
Somme donnée par le fils : 16 × 5 = 80 €
Chacun a bien donné autant qu’il a reçu.
o - Mise en inéquation et résolution
Étude d’un exemple
Un cycliste quitte sa maison à 8 h et se rend à la ville proche.
Il fait le trajet à la vitesse moyenne de 20 km/h.
Il ne reste en ville que 20 minutes puis repart chez lui à la vitesse moyenne de 24 km/h.
Il arrive peu de temps avant midi.
À quelle distance habite-t-il de la ville ?
a) Choix de l’inconnue
On appelle x (en km) la distance de chez lui à la ville
b) Mise en inéquation
Si t est la durée (en h) et v la vitesse moyenne (en km/h), on sait que : x = vt ou : t =
x
20
La durée de l’aller est :
La durée passée en, ville est :
La durée du retour est :
20 1
= (en fraction d’heure)
60 3
x
24
La durée totale est donc :
x 1 x
+ +
20 3 24
La somme des durées est inférieure à 4h (heure d’arrivée – heure de départ) :
L’inéquation traduisant ce problème est donc :
x 1 x
+ +
<4
20 3 24
c) Résolution
x 1 x
+ +
<4
20 3 24
12x + 80 + 10x
<4
240
12x + 80 + 10x < 4 × 240
22x + 80 < 960
22x < 960 − 80
22x < 880
880
x<
22
x < 40
d) Conclusion
Le cycliste habite à un peu moins de 40 km de la ville.
Remarque : certains problèmes peuvent se traduire par des systèmes d’inéquations simultanées
x
v
Exercices
RÉSOLUTIONS DE PROBLÈMES
n - La somme de deux nombres entiers est 577. Le quotient euclidien du plus grand par le plus petit est
égal à 20. Le reste est 10.
Quels sont ces deux nombres ?
Soit x le plus grand des deux nombres. (C’est le dividende).
L’autre nombre s’écrit : . . . . . . . . . . . . . . . . . (C’est le diviseur).
Or : dividende =diviseur × quotient euclidien + reste , le problème se traduit par l’équation :
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
Les deux nombres sont : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vérification : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
o -Dans un massif de tulipes, il y en a
1
de jaunes,
1
de rouges,
1
de roses,
1
de blanches et 6 noires.
3
4
5
6
x étant le nombre total de tulipes, le nombre de tulipes jaunes est . . . . . . . . .celui de tulipes rouges est . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On écrit de deux façons le nombre total de tulipes, d’où l’équation :
......................................................
.......................................................
......................................................
.......................................................
......................................................
.......................................................
Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Vérification : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
p - Dans une cassette il y a des pièces de 1 € et de 2 €. La cassette contient 176 pièces, ce qui représente une
somme totale de 243 €. Quel est le nombre de pièces de chaque sorte ?
Soit x le nombre de pièces de 1 € Elles représentent une somme de . . . . . . . . . . . . . .
Il y a donc . . . . . . . . . . . . . . . pièces de 2 €. Elles représentent une somme de . . . . . . . . . . . . . .
D’où l’équation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
.......................................................
Conclusion
.
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Devoir
n - L’aire du trapèze CMNB doit être égale à l’aire du triangle
AMN.
On te propose de calculer la longueur x du segment [AM].
a) Exprime CM en fonction de x.
Exprime MN en fonction de x.
b) Traduis par une équation le fait que CMNB et AMN ont la
même aire.
c) Résous cette équation et conclus.
o - On veut partager une somme de 280 € entre trois enfants de la façon suivante :
La part du cadet doit être la moitié de celle de l’aîné.
La part du jeune doit être le tiers de celle du cadet.
On te propose de connaître la part de chacun.
a) Appelle x la part de l’aîné et exprime en fonction de cette inconnue la part des deux autres.
b) Traduis par une équation le fait que 280 € sont à partager.
c) Résous cette équation et conclus.
p - Deux représentants de commerce sont rémunérés de la façon suivante :
Le premier perçoit 10 % du montant total de ses ventes.
Le second touche un salaire mensuel fixe de 600 € augmente de 5 % du montant total de ses ventes.
Qui a la meilleure situation ?
Conseil : tu dois traduire ce problème par une inéquation où tu cherches x (montant total des ventes) tel que le
premier vendeur ait la meilleure situation.
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
On donne les problèmes suivants :
n - Monsieur Lecompte, après avoir réglé son premier tiers provisionnel, constate qu’il ne lui reste que 40 %
de 2400 € à régler.
Quel est le montant de son impôt ?
o - Cette année, monsieur Rapin doit payer un impôt qui a augmenté de 2400 € par rapport à l’année
dernière. Il a calculé que son premier tiers provisionnel lui reviendra à 40 % de l’impôt de l’an dernier.
Quel était cet impôt ?
p - Dans une commune, le tiers des inscrits sur une liste électorale a moins de 30 ans. Les deux cinquièmes
ont entre 30 et 50 ans et il y a 2400 inscrits de plus de 50 ans.
Quel est le nombre total d’inscrits ?
q - Dans une autre commune, le tiers des inscrits a moins de 30 ans, les deux cinquièmes du reste de la liste
électorale ont entre 30 et 50 ans et il y a 2400 inscrits de plus de 50 ans.
Quel est le nombre total d’inscrits ?
On donne les équations suivantes :
c
e
g
i
k
⎛1 2⎞
x − ⎜ + ⎟ = 2400
⎝3 5⎠
1
2
x + x + 2400 = x
3
5
2
1
x − x = 2400 + x
5
3
2
1
( x + 2400) = x
5
3
2400 − x 2
x−
= x
3
5
d
f
h
j
1
( x + 2400) =
2
x
3
5
1⎛
2 ⎞
⎜ x + x ⎟ = 2400
⎝
3
5 ⎠
1
2
x + × 2400 = x
3
5
2 2 ⎞
⎛1
x − ⎜ x + × x ⎟ = 2400
5 3 ⎠
⎝3
Trouver les équations associées aux problèmes donnés et résoudre ces problèmes :
On remarque que 40% =
40 2
=
100 5
n : équation h
o : équation d
p : équation e
ˆ
Si x était le montant de l'impot
Soit x le montant de l'impôt
1
2
x + × 2400 = x
3
5
1
2
x − x = − × 2400
3
5
2
− x = −960
3
−960
x=
2
−
3
x = 1440
Son impôt était 1440 €
1
2
( x + 2400 ) = x
3
5
1
2
x + 800 = x
3
5
1
2
x − x = −800
3
5
1
− x = −800
15
−800
x=
1
−
15
x = 12000
ˆ était 12000 €
L'impot
Soit x le nombre total d'inscrits
1
2
x + x + 2400 = x
3
5
1
2
x + x − x = −2400
3
5
4
− x = −2400
15
−2400
x=
4
−
15
x = 9000
Il y a 9000 inscrits
q : équation j
Soit x le nombre total d'inscrits
2
Il reste les x
3
2 2 ⎞
⎛1
x − ⎜ x + × x ⎟ = 2400
5 3 ⎠
⎝3
4 ⎞
⎛1
x − ⎜ x + x ⎟ = 2400
15 ⎠
⎝3
9
x − x = 2400
15
6
x = 2400
15
2400
x=
6
15
x = 6000
Il y a 6000 inscrits
Exercices
RÉSOLUTIONS DE PROBLÈMES
n - La somme de deux nombres entiers est 577. Le quotient euclidien du plus grand par le plus petit est
égal à 20. Le reste est 10.
Quels sont ces deux nombres ?
Soit x le plus grand des deux nombres. (C’est le dividende).
L’autre nombre s’écrit : 577 – x
(C’est le diviseur).
Or : dividende =diviseur × quotient euclidien + reste , le problème se traduit par l’équation :
x = ( 577 − x ) × 20 + 10
x = 11540 − 20x + 10
x + 20x = 11540 + 10
21x = 11550
x = 550
Les deux nombres sont : 550 et 577 − 550 = 27
Vérification : 27 × 20 + 10 = 540 + 10 = 550
o -Dans un massif de tulipes, il y en a
1
3
550 + 27 = 577
et
de jaunes,
1
4
de rouges,
x étant le nombre total de tulipes, le nombre de tulipes jaunes est
1
5
de roses,
1
6
de blanches et 6 noires.
1
1
x celui de tulipes rouges est x
3
4
1
1
x tulipes roses, x tulipes blanches et 6 tulipes noires.
5
6
On écrit de deux façons le nombre total de tulipes, d’où l’équation :
1
1
1
1
x = x+ x+ x+ x+6
3
4
5
6
après avoir simplifié par le dénominateur commun 60 :
60x = 20x + 15x + 12x + 10x + 360
60x − 20x − 15x − 12x − 10x = 360
3x = 360
x = 120
Conclusion :Il y a au total 120 tulipes
Il y a aussi :
1
3
1
4
1
5
1
6
Vérification : × 120 + × 120 + × 120 + × 120 + 6 = 40 + 30 + 24 + 20 + 6 = 120
p - Dans une cassette il y a des pièces de 1 € et de 2 €. La cassette contient 176 pièces, ce qui représente une
somme totale de 243 €. Quel est le nombre de pièces de chaque sorte ?
Soit x le nombre de pièces de 1 € Elles représentent une somme (en euros) de x × 1 = x
Il y a donc 176 − x pièces de 2 €. Elles représentent une somme (en euros) de (176 − x ) × 2 = 2 (176 − x ) .
x + 2 (176 − x ) = 243
x + 352 − 2x = 243
D’où l’équation : x − 2x = 243 − 352
− x = −109
x = 109
Conclusion Il y a 109 pièces de 1 € et 176 − 109 = 67 pièces de 2 €.
Vérification : 109 pièces de 1 € + 67 pièces de 2 € = 109 + 67 × 2 = 109 + 134 = 243 €