Variables aléatoires finies - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016
Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»
Pour démarrer
Exercice 1 (Reconstitution de paires) On fixe deux entiers naturels 1 6 r 6 n. Un placard contient n
paires de chaussures. On tire au hasard, 2r chaussures du placard. On note X la variable aléatoire égale au
nombre de paires complètes parmi les chaussures tirées.
Les paires du placard sont numérotées de 1 à n. Pour i ∈ J1, nK, on note Xi la variable aléatoire valant 1 si
les deux chaussures de la paire n°i se trouvent parmi les chaussures tirées, et 0 sinon.
1. Déterminer la loi de Xi et démontrer que
E(Xi ) =
r(2r − 1)
.
n(2n − 1)
2. Exprimer X en fonction des Xi , en déduire E(X).
Exercice 2 (Une urne magique) On considère une urne contenant n boules numérotés de 1 à n. Cette urne
est magique, pour tout entier k compris entre 1 et n, la probabilité de tirer la boule numéro k est proportionnelle
à k. On note X la variable aléatoire donnant le numéro de la boule tirée.
1. Déterminer la loi de X.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
3. Calculer l’espérance de Y =
1
.
X
Exercice 3 (Découvrons la loi hypergéométrique) Une urne contient N = 100 boules de couleurs rouges
et blanches. La proportion de blanches est p = 41 . On effectue n = 60 tirages sans remise. On note X le
nombre de boules blanches tirées et Ω l’ensemble des tirages (que l’on considère simultanés) possibles.
1. Déterminer Card Ω puis X(Ω).
2. Déterminer P (X = 0) puis P (X = k) où k ∈ X(Ω).
3. Cas général : Une urne contient N boules de couleurs noires et blanches. La proportion de blanches est p.
On effectue n tirages sans remise. On note X le nombre de boules blanches tirées.
(a) Quel est le nombre de boules blanches initialement dans l’urne ?
(b) Déterminer la loi de X, on pourra noter q la proportion initiale de boules noires.
P
(c) Que vaut k=0n P (X = k) ? Quelle formule peut-on en déduire ?
Exercice 4 (Rang de sortie de la première blanche) Une urne contient 2 boules blanches et n−2 rouges.
On effectue des tirages sans remise dans cette urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche.
Pour i ∈ {1, . . . , n}, on note Bi l’évènement « la i-ième boule tirée est blanche».
1. Déterminer P (X = 1), P (X = 2) et P (X = 3).
2. Soit k ∈ X(Ω). Exprimer l’évènement (X = k) à l’aide des évènements B1 , . . . , Bn puis montrer que
P (X = k) =
3. Démontrer que E(X) =
2(n − k)
.
n(n − 1)
n+1
.
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4. Déterminer E(Y ) et V (Y ) où Y est le nombre de boules rouges restant dans l’urne lorsque la première
boule blanche vient d’être tirée.
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Exercice 5 (somme des éléments d’une colonne du triangle de Pascal) Soit a < b des entiers et p un
entier. Démontrer la formule suivante :
b X
k
k=a
p
=
b+1
a
−
.
p+1
p+1
Exercice 6 (Plus grand des n numéros tirés simultanément) Un joueur prélève simultanément n boules
dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N . On considère la variable aléatoire X égale au plus
grand numéro des n boules prélevées.
1. Déterminer la loi de X.
2. Démontrer que
E(X) =
N n X k
.
N
n
n
k=n
En déduire à l’aide de l’exercice 5 que E(X) =
n(N + 1)
.
n+1
3. On note Y la variable aléatoire égale au plus petit numéro des n boules prélevées. Déterminer la loi de Y .
Exercice 7 (Plus grand numéro tiré : version tirages successifs avec remise) Un joueur prélève n boules
successivement et avec remise dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N . On considère la variable
aléatoire X égale au plus grand numéro des n boules prélevées. On note Ω l’ensemble des tirages possibles.
1. Déterminer Card(Ω) et X(Ω) l’ensemble des valeurs que prend X.
2. Cette fois-ci il est difficile de déterminer directement Card([X = k]). On va utiliser pour cela la fonction
de répartition de X notée FX . Soit k ∈ {1, . . . , N }. Déterminer FX (k), en déduire la loi de X.
3. Calculer E(X).
4. On note Y la variable aléatoire égale au plus petit numéro des n boules prélevées. Déterminer la loi de Y .
Plus «usuel»
Exercice 8 (Surbooking) Un restaurant possède 50 places. La probabilité pour qu’une personne, ayant réservé, ne vienne pas est de 20%. Un jour, le patron a pris 53 réservations. Quelle est la probabilité qu’il se
retrouve dans une situation embarassante ?
Exercice 9 (Avec ou sans remise ?) Une urne contient dix boules rouges et cinq boules vertes.
1. On pioche simultanément six boules. On note R (resp. V le nombre de boules rouges (resp. vertes) obtenues.
(a) Déterminer la loi, l’espérance et la variance de R (resp. V ).
(b) Les variables aléatoires R et V sont-elles indépendantes ? On pourra considérer les évènements [R = 1]
et [V = 0].
2. Répondre aux mêmes questions lorsque l’on pioche avec remise.
Exercice 10 (Sauts de puces) Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2, . . . , 2n, de gauche
à droite. Une puce se déplace au hasard en sautant vers la droite de une case avec probabilité p et de deux cases
sinon. Au départ, elle est sur la case 0. Soit Xn le numéro de la case occupée par la puce après n sauts et Yn le
nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des n premiers sauts.
1. Déterminer la loi de Yn , et déterminer E(Yn ) et V (Yn ).
2. Déterminer E(Xn ) et V (Xn ).
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Exercice 11 (Valeur d’une action) Le jour 0, une action vaut 1. On suppose que, chaque jour, la valeur de
l’action est multipliée par α > 1 avec probabilité p ∈]0, 1[ ou par β ∈]0, 1[ avec probabilité q = 1 − p. On suppose
que ces variations journalières sont indépendantes. Fixons n ∈ N∗ . On note S la variable aléatoire égale à la
valeur de l’action le jour n. Déterminer l’espérance et la variance de S.
Exercice 12 (Probabilité d’un même nombre de piles dans un duel)
1. Calcul préliminaire : démontrer que
n 2
X
n
k=0
k
=
2n
n
par un dénombrement ou en considérant le terme
de degré n de (x + 1)n (x + 1)n = (x + 1)2n .
2. Application : deux joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, n fois chacun. Calculer
la probabilité qu’ils obtiennent le même nombre de piles.
Plus technique
Exercice 13 (Urne remplie aléatoirement) On fixe un entier naturel non nul n. Une urne contient une
unique boule blanche. On dispose d’une pièce dont la probabilité de donner pile est p. On pose q = 1 − p.
On lance n fois de suite la pièce. On ajoute des boules noires dans l’urne à chaque fois que l’on obtient pile :
deux pour le premier pile, trois pour le deuxième, etc. On ajoute donc k + 1 boules noires lors de la k-ième
obtention de pile.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus. On note N la variable aléatoire égale au
nombre total de boules dans l’urne à la fin des lancers.
1. Exprimer N en fonction de X.
2. Quelle est la loi de X ?
3. En déduire E(N ).
On tire une boule de l’urne et on pose B : «la boule tirée est blanche».
4. Démontrer que
P (B) =
n
X
k=0
n k n−k
2
p q
.
(k + 1)(k + 2) k
5. Calculer cette somme.
On change la règle : cette fois, on ajoute dans l’urne 2k−1 boules noires lors de l’obtention du k-ième pile,
c’est-à-dire une boule au premier pile, deux au deuxième, quatre au troisième, etc en doublant à chaque fois le
nombre de boules noires ajoutées.
On note N ′ la variable aléatoire égale au nombre total de boules dans l’urne.
6. Exprimer N ′ en fonction de X.
7. Calculer E(N ′ ).
8. Déterminer la probabilité de l’évènement B ′ : «la boule tirée est blanche».
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Compléments : indépendance, couples, inégalités
Exercice 14 (Non corrélées mais pas indépendantes) On tire au hasard un des 4 points de coordonnées
(−1, 0); (1, 0); (0, 1); (0, −1). On note X et Y les coordonnées du point tiré.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y ) puis les lois marginales X et Y .
2. Démontrer que cov(X, Y ) = 0. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 15 Soit a ∈ R. Pour (i, j) ∈ J1, nK2 , on pose pi,j = aij.
1. Déterminer un réel a de sorte qu’il existe un couple (X, Y ) de variables aléatoires à valeurs dans J1, nK2
tel que :
∀(i, j) ∈ J1, nK2 , pi,j = P ([X = i] ∩ [Y = j]).
2. Calculer à l’aide du théorème de transfert E(XY ).
3. Déterminer les lois marginales X et Y . Ces deux variables sont-elles indépendantes ?
4. En déduire cov(X, Y ) puis retrouver la valeur de E(XY ).
Exercice 16 Soit X et Y deux var indépendantes de même loi uniforme sur J1, nK. On pose S = max(X, Y ).
1. Déterminer la loi du couple (S, X).
2. En déduire la loi de S.
3. Déterminer les lois conditionnelles de S sachant X et de X sachant S.
4. On pose T = min(X, Y ). Déterminer E(T ) et E(ST ) sans «caluls supplémentaires».
5. Les variables S et T sont-elles indépendantes ?
Exercice 17 Un employé d’un centre d’appel effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts
dont chacun décroche avec une probabilité p.
On note N1 le nombre de correspondants qui décrochent.
1. Déterminer la loi de N1 .
L’employé rappelle un peu plus tard les n − N1 correspondants qui n’ont pas décroché lors de sa première
série d’appels. On note N2 le nombre de ces correspondants qui décrochent cette fois et N le nombre total des
correspondants qui ont décroché.
2. Soit i ∈ J0, nK. Quelle est la loi conditionnelle de N2 sachant N1 = i.
3. Soit k ∈ J0, nK. Démontrer que
k 2n−k
P (N = k) = p q
n X
n n − i −i
q .
i
k−i
i=0
4. Démontrer que N suit une loi binomiale de paramètres n et 2p − p2 . On pourra montrer que
n n−i
n k
=
.
i
k−i
k
i
Exercice 18 (Somme de deux lois uniformes indépendantes) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur J1, nK. Déterminer la loi de X + Y .
Exercice 19 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit X et Y deux var.
1. On suppose V (X) 6= 0. Démontrer que l’application f : R → R définie par f (t) = V (tX + Y ) est une
fonction polynomiale dont on précisera le degré.
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2. En déduire que
|cov(X, Y )| 6
p
V (X)V (Y ).
3. Démontrer que si X est de variance nulle, alors X est presque-sûrement égale à sa moyenne, c’est-à-dire
que P (X = E(X)) = 1, et cov(X, Y ) = 0.
Exercice 20 (Loi faible des grands nombres) Soit X1 , . . . , Xn des variables aléatoires réelles indépendantes
de même loi , d’espérance m et de variance V . On pose
Xn =
X1 + · · · + Xn
.
n
1. Démontrer que
∀ε > 0,
P (|X n − m| > ε) 6
V
.
nε2
2. Application : on fait un sondage pour un référendum. On cherche à estimer p la proportion de personnes
qui vont voter pour le OUI. On intérroge pour cela un échantillon de n personnes. On note Xi la variable
aléatoire qui vaut 1 si la personne n°i a voté le OUI et 0 sinon. La variable Xi suit une loi de Bernoulli
de paramètre p. On suppose que l’échantillon de personnes est pertinent, on émet ainsi l’hypothèse que
les variables X1 , . . . , Xn sont indépendantes. Le nombre X n (proportion empirique) est un estimateur de
p (proportion théorique).
(a) Justifier que pour tout ε > 0, on a P (|X n − p| > ε) 6
1
4nε2 .
(b) Déterminer la taille n de l’échantillon de population, pour que l’on puisse affirmer, avec un risque
d’erreur inférieur à 5%, que la proportion p de OUI est comprise entre X n − 0.01 et X n + 0.01.
(réponse : n = 50000).