Mines MP-Epreuve de Physique

Mines MP-Epreuve de Physique-Chimie
Le Millenium Bridge
I Oscillateur simple
1
On effectue un classique bilan des forces :
Poids :
Force de rappel du ressort :
Force de frottement fluide :
Confusion possible au niveau
des notations dans l’énoncé
qui utilise ℓ et pour désigner
la même quantité.
ℓ
A l’équilibre la somme des forces est nulle et permet de trouver la position d’équilibre.
∑ 0 =>
ℓ 0 avec
0
On obtient
ℓ
On introduit le changement de variable
ℓ , la relation fondamentale de la dynamique s’écrit alors :
On identifie :
2
et
0
√
La réponse du système est dépendante, dans sa nature, du coefficient d’amortissement .
Cas
0 : Oscillateur harmonique
Les pertes par frottement fluide sont inexistantes, le système est alors un oscillateur harmonique parfait (déconseillé
pour les usagers du pont).
La forme de solution est du type :
cos
sin
Les conditions initiales permettent de définir les valeurs de A et B
On obtient :
cos
sin
A partir de
exprimer :
ℓ
là,
on
peut
ℓ
Régime
libre :
Régime
correspondant à une absence
de commande (pas d’entrée
signal). Le système évolue
librement à partir d’un état
initial hors équilibre.
Cas 0
1 : Oscillateur pseudo-harmonique
Les pertes par frottement fluide sont présentes mais permettent l’existence d’une réponse pseudo-oscillante.
C. Caire
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Toute copie sur un autre site est illégale et s’est faite sans l’aval de l’auteur.
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L’équation différentielle linéaire se résout sous forme exponentielle, son équation caractéristique a deux racines
complexes : exp
et
La forme des solutions est alors du type :
cos
sin
On a
et
1
exp
Les conditions initiales permettent de définir les valeurs de A et B
Elles nous permettent d’obtenir :
et
On obtient :
cos
sin
exp
En présence de vent, il est possible d’obtenir un coefficient d’amortissement négatif. Dans ce cas le système devient
instable. Les racines de l’équation caractéristique ont alors des racines dont les parties réelles sont positives. Les
solutions temporelles linéaires vont alors diverger. Dans le cas pratique, le pont se met à osciller et va sortir de sa
zone de linéarité, sa structure mécanique risque d’être compromise. Cf le pont de Tacoma pour estimer les
conséquences…
3
Vu les phénomènes évoqués lors de l’ouverture du Millenium Bridge, le coefficient d’amortissement est resté positif
mais sa valeur était « plus » proche de zéro. Le coefficient est resté inférieur à .
L’équation mécanique s’écrit avec l’ajout de la nouvelle force sous la forme :
ℓ cos 2
On introduit :
d’où la forme
2
cos
cos
La solution en régime permanent est sinusoïdale et peut être représentée sous forme complexe. La fonction de
transfert demandée est obtenue par l’usage de l’équation dans l’espace complexe.
2
Soit la fonction de transfert :
C’est un filtre passe-bas en terme asymptotique.
Ajout d’une contraint
feedback positif : le vent
de
Simulation de la commande
piéton par un signal sinusoïdal
continu. L’introduction de la
variable permet de travailler
sur une réponse alternative
sinusoïdale
en
régime
permanent.
Attention les vecteurs forces
sont orientés selon l’opposé
du vecteur unitaire
Attention, ici entrée et sortie
ont des dimensions distinctes,
la fonction de transfert n’est
donc pas sans dimension.
Maladroit car on parle de
et on demande le résultat en
fonction de Ω
C. Caire
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4
On travaille avec la fonction réduite
Ω
‖
‖
‖ ‖
Définition « arbitraire », il y a dépassement (résonance) si cette fonction est supérieure à 1.
2 Ω
1‖
1 Ω
4 Ω
Chercher ses extrema, c’est rechercher ceux de ‖ Ω
Il existe un extremum
Ω positif ssi 0
et il vaut Ω
1 2 et
≪ 1, la réponse précédente demeure, la spécificité est alors que la fréquence de résonance est alors identique
Pour
à la fréquence propre de l’oscillateur harmonique (idéal).
5
Le graphe 3 est un diagramme logarithmique (on imaginera le facteur en 20
Dans le cadre de l’approximation on a
6
7
8
10
précédant l’affichage de
La notion de phénomène de
résonance
n’est
pas
« rigoureuse »
dans
cet
énoncé. Si on considère
l’existence
de
zéros
complexes
(régime
libre
pseudo_oscillant), on aurait
tendance à répondre pour
1 mais en fait avec des
valeurs proches de un par
valeur inférieure, il n’y aura
pas de résonance d’amplitude
(dépassement).
‖ ‖).
0.17
Les fréquences de résonance pour un ouvrage d’art sont primordiales car la modélisation linéaire de ces structures
n’est conforme aux implantations réelles que pour de faibles amplitudes de vibrations. Si les amplitudes sont
importantes on sort des plages élastiques, on entre dans les zones de déformations plastiques voire de rupture.
En terme plus clair, c’est lors de résonance que cela risque de « casser », il faut donc éviter de solliciter les ouvrages
sur ces fréquences.
On peut mesurer la contrainte de force exercée par le piéton, on utilisera alors des capteurs de Pression. Les
technologies d’implantation sont multiples, un capteur piézoélectrique est une solution acceptable.
On peut utiliser un capteur repérant le mouvement du pont en réponse à la contrainte imposée par le ou les piétons.
Un capteur accélérométrique de type MEMs tels que ceux installés massivement dans les portables GSM de nos
étudiants est alors envisageable mais des solutions inductives, capacitives, optiques sont possibles aussi…
C’est une question bateau sans doute confondu par l’auteur avec nos fameuses questions « ouvertes ».
Nous avons
.
Graphe
Graphe
Graphe
Graphe
1
2
3
4
:
:
:
:
179 ,
26 ,
89 ,
9 ,
0.6 ,
86.6 ,
296 ,
0.03 ,
1.67
11.5
3.37
33.3
Comme le signal est échantillonné nous sommes confrontés au risque de l’aliasing (ou du repliement spectral). Une
fréquence d’échantillonnage ne vérifiant pas le critère de Shannon-Nyquist va replier les hautes fréquences en basse
fréquence et faire apparaitre des fréquences « fantômes ».
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Acquisition effectuée sur des
durées variables.
le
temps
J’appelle
d’acquisition
(temps
de
porte). Le signal est composé
de
300 points, il est donc
échantillonné dans le temps.
La période d’échantillonnage
.
vaut
3/8
Regardons le graphe 4, celui associé à la fréquence d’échantillonnage la plus élevée, on voit que le signal a une
composante constante, une distribution de bruit de fenêtrage liée au caractère fini du temps d’acquisition et (en
2
et ses harmoniques 2 à 6.
gros) un signal périodique dont on distingue le fondamental autour de
On
identifie
un
signal
périodique. Vous trouverez
dans les ellipses bleues ses
composantes spectrales.
Le niveau final de bruit
provient de la quantification
(LSB) mais elle n’est pas
décrite.
Résultat des courses, le critère de Nyquist-Shanon ne sera vérifié sur le fondamental que pour des fréquences
d’échantillonnage supérieur à 4 Hz. Seuls les graphes 2 et 4 sont dans ce cas.
Les graphes 1 et 3 sont à rejeter, leurs fréquences sont les fantômes repliés du signal dont la période vaut environ
0.5 .
Le graphe 1= n’apporte rien de mesurable par lui-même
Sur le graphe 2 ci-après on identifie le fondamental et l’harmonique deux, le reste est du repliement.
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En orange, vous reconnaitrez
les
fréquences
fantômes
fabriquées par le repliement
spectral.
le
fondamental
et
son
harmonique deux sont rendus
à peu près correctement.
9
Sur le graphe on voit que la fréquence de résonance du pont est aux alentours de 12
donc à peu de chose près le fondamental du signal produit par un piéton.
.
, soit
1.9
. C’est
Question baratin
C’est de fait une « adéquation » malheureuse…
Selon l’énoncé, les amortisseurs harmoniques vont compenser cette fréquence, et vont donc décaler la fréquence
de résonance vers des fréquences différentes de celles des piétons modélisés dans l’énoncé.
C’est bien sur une vision « simpliste » qu’une analyse pragmatique condamnera. En effet si on imagine au lieu d’une
joyeuse collection de jeunes gens dansant sur le pont, une joyeuse collection de fauvettes (personnes plus âgées),
la fréquence du fondamental de leurs pas va être plus faible, le problème n’aura donc en rien disparu… Ou alors il
faut interdire le Millenium Bridge aux personnes marchant lentement…
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La courbe avec amortisseur
harmonique dispose de deux
résonances d’amplitudes plus
faibles.
Il
aurait
fallu
que
l’amortisseur harmonique ait
eu un facteur de qualité moins
grand et impacte la réponse
fréquentielle initiale sur une
bande plus large
5/8
II
10
Système élastique continu
Equation aux « unités » :
En MP la loi de Hooke n’est pas au programme, mais
le principe d’un concours n’en interdit en rien
l’usage à partir du moment où elle est rappelée.
L’unité du module de Young est donc l’unité de Pression du système SI : le Pascal (Pa).
11
, est l’élongation de la zone en côte au repos
Le cylindre de longueur au repos
est limitée par les côtes
Lors d’une déformation ces côtes deviennent
, et
La variation de longueur vaut donc Δ
,
,
La force de traction vaudra donc :
,
et
,
Variation relative :
La masse de la tranche
vaut
On applique le PFD sur la tranche différentielle considérée, sa position vaut
, ,
l’accélération de la tranche vaudra La force s’exerçant sur la tranche est somme des forces exercées sur les deux cotés.
,
,
L’équation bilan s’écrit :
13
Soit
12
Question de cours en PC/PSI : La corde de Melde
En MP l’approche de la corde de Melde se fait en première année (MPSI) sous forme
expérimentale pour parler d’ondes stationnaires … L’expérience correspondante est
d’ailleurs souvent fausse en raison de la résonance et l’activation des modes non linéaires
de déformation (problème analogue à la première partie)
La base de la démonstration tient à l’hypothèse suivante, le déplacement (ou la
déformation) est essentiellement vertical, ce qui revient à dire que la somme des forces sur
l’axe longitudinal est nulle. La tension à gauche horizontale est donc égale à la tension à
droite horizontale. Comme l’angle
est petit cela se traduit par la tension à gauche est
égale à la tension à droite. C.Q.F.D.
Sur l’axe verticale, on aura au niveau de , l’équation mécanique suivante :
Soit après un DL :
sin
,
sin
,
On peut regretter éventuellement cette distinction
entre MP/PC/PSI mais comme c’est un concours et
que les uns ne concourent pas avec les autres, ce
regret n’a, me semble-t-il, aucune base légale.
Ici le sin
tan
et
ℓ
On retrouve donc une équation de Jean le Rond D’Alembert dont la célérité vaut :
ℓ
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6/8
III
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Modèle de la poutre élancée
On recherche des solutions « stationnaires » à l’équation différentielle linéaire posée par
l’énoncé.
Les hypothèses sur ce genre de structure ?
Facile ce genre de structure est décrit par une équation réversible temporellement, elle
n’existe donc pas réellement.
15
Sinon la réponse attendue est probablement l’existence de conditions aux limites de
l’espace de propagation qui « renvoient » les ondes sans perte d’énergie.
dans l’équation et on dérive pour obtenir :
On remplace
,
et
ce qui se remplace par le système d’équations différentielles :
16
où
On a les racines ∈ ,
, ,
où
La solution permanente
existe mais le
terme d’onde devient alors incorrect pour décrire le
phénomène.
est une constante
On supposera que seules les solutions bornées en temps sont tolérées, la constante K doit
alors être négative. On posera
Les solutions sont alors sinusoïdales en terme temporel
cos
On a deux degrés de libertés en terme de temps et quatre en termes d’espace, il faudra
donc imposer 5 conditions aux limites (6 – 1 due à l’équation de couplage )
L’équation à résoudre est une équation linéaire différentielle d’ordre 4, l’espace de solutions
est un espace vectoriel engendré par les sous-espaces propres de solutions. Les fonctions
propres d’une équation différentielle son des exponentielles
exp
Les p vérifient l’équation caractéristique :
Note : la question est ici classiquement mal posée
si
est une fonction réelle on tombe sur une
fonction à variable séparable que les « physiciens »
appelle onde stationnaire.
Si est une fonction complexe, les ondes appelées
progressives sont aussi solutions du problème.
√ Les valeurs de
vont en fait être contraintes par l’équation de couplage et les conditions
aux limites imposées par l’espace.
17
Condition en zéro : 0
0
0
Ce qui permet d’avoir
Condition en L :
0
C. Caire
0
0
0
0
0
sin
sin
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sh
sh
0
0
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Ce qui permet d’avoir
0 et Les solutions acceptables doivent vérifier
Ce qui induit
18
19
C. Caire
sin
√ 0
√ Orientation probable de la figure :
 Axe de fuite (perspective) : espace
 Axe horizontal : temps
 Axe vertical : y
Comme les axes de la simulation ne sont pas
donnés, il est difficile d’identifier quoi que ce soit.
On se rappellera qu’un graphe sans axes et sans
variables indexées n’a guère de sens.
Mode a : régime indépendant du temps (solution particulière K = 0)
Mode b : j’en sais rien
Mode c : Mode n=2
Mode d : Même que précédemment
Mode e : Mode n=3
Mode f : Mode n=4
Mode g : Mode n=3
Mode h : Mode n=4
Application numérique : A l’aide des valeurs on calcule les fréquences propres de chacune
des travées et on compare ces fréquences à celles associées à des piétons.
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On rappelle que
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Certaines des simulations semblent représenter des
solutions indépendantes du temps… Appeler cela
des modes de vibration me parait erroné mais il est
possible que le concepteur du sujet appartienne à
une autre « église »
Activation de la fonction flemme…
8/8