janvier 2007 - UPMC - Université Pierre et Marie CURIE

Université Pierre et Marie Curie.
LM120, 2006-2007.
Corrigé de l’examen de janvier 2007
Question de cours.
a) Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image.
b) Si (b1 , . . . , bn ) est une base de E1 , l’image de f : E1 → E2 est engendré par
(f (e1 ), . . . , f (en )), donc dim(im(f )) ≤ n = dim(E1 ).


1 1 1
Exercice 1. Notons A = (e1 , e2 , e3 ) =  1 1 b .
1 a a
a) Mettons A sous forme triangulaire, par la méthode du pivot de Gauss :


1
1
1
l20 = l2 − l1 , l30 = l3 − l1 , alors A0 =  0
0
b−1
0 a−1 a−1


1
1
1
l2 ” = l30 , l3 ” = l20 alors A” =  0 a − 1 a − 1 .
0
0
b−1
On déduit que la famille (e1 , e2 , e3 ) est une base si et seulement si a 6= 1 et
b 6= 1.
b) dim(E) = rg(A”) est égal à
1 si a = b = 1, 2 si (a = 1 et b 6= 1) ou (a 6= 1 et b = 1), 3 si a 6= 1 et b 6= 1.
 
x

c) Si a = b = 1, alors E = V ect(e1 ) donc y  ∈ E si et seulement si il existe
z
 
x
t ∈ R tel que  y  = te1 , ce qui équivaut à
z
x = y = z.
Si a = 1 et b 6= 1, le calcule de la question (a) montre que (e1 , e3 ) est une
 
x

base de E. Donc
y  ∈ E si et seulement si il existe s, t ∈ R tels que
z
 


x
s+t
(∗)  y  = se1 + te3 =  s + bt .
z
s + at
Typeset by AMS-TEX
1
2
L’équation (∗) implique s = bx−y
b−1 et t =
 
x
Donc  y  ∈ E si et seulement si
z
x = x, y = y, z =
x−y
1−b .
(b−a)x+(a−1)y
b−1
c’est à dire
(b − a)x + (a − 1)y + (1 − b)z = 0.
Si a 6= 1 et b = 1, alors (e1 , e3 ) est encore une base et (b−a)x+(a−1)y+(1−b)z =
0 est encore une équation de E.
Exercice 2.

0
a) La matrice de T dans la base (e1 , e2 , e3 ) est A =  0
1
−1
1
1

0
0 .
1
b) (T (e1 ), T (e2 )) est une base de im(T ), donc dim(im(T )) = 2 et par la formule
du rang, dim(Ker(T )) = 3 − 2 = 1.


1
1 −1
c) Soit P =  0 −1 1  la matrice de l’application ei 7→ fi dans la base
−1 0
1
(e1 , e2 , e3 ). Un calcul direct montre que det(P ) 6= 0, donc que P est inversible
et que (f1 , f2 , f3 ) est une base de R3 ; mais cela découle aussi de la question
suivente qui consiste à trouver l’inverse de P .
d) On veut résoudre en les ei le système suivant :
   
e1
f1
P  e2  =  f2 .
e3
f3
La méthode de gauss conduit aux systèmes
  

 
1 0 −1
e1
f1
1
 0 1 −1   e2  =  f1 − f2  ,  0
0 1 0
e3
f1 + f3
0
équivalents suivants :
  

0 0
e1
f1 + f2 + f3
0 1   e2  =  f2 + f3 .
1 0
e3
f1 + f3
e) La matrice P introduite au (c) est la matrice de passage demandée. D’après
la question précédente,
P −1

1

= 1
1

1 0
0 1 .
1 1
f) On pourrait calculer B par la formule B = P −1 AP . Une autre méthode
consiste à faire :
T (f1 ) = T (e1 ) − T (e3 ) = 0,
3
T (f2 ) = T (e1 ) − T (e2 ) = e1 − e2 = f2 ,
T (f3 ) = −T (e1 ) + T (e2 ) + T (e3 ) = T (e2 ) = −e1 + e2 + e3 = f3 .
Par suite

0

B= 0
0

0 0
1 0 .
0 1
Exercice 3.
a) (e1 , e2 ) est libre donc dim(E) = 2.
b) det(A) = −3x + 6y − 3z.
c) Le vecteur v = (x, y, z) ∈ E si et seulement si la famille (v, e1 , e2 ) est liée,
c’est :‘a dire det(A) = 0, i.e. x − 2y + z = 0.