Une note sur les espaces quasi-normables

liNt: NOTE SUR LES ESP/\CES QUASI-NORMABLES
par
J. \1. GARCIA - LAI'LJ::NTE
ABSTRACT
Oans celle note nous donons une nouvelle ¡;ara¡;térisation des espal:es métrisables quasi-normables. Nous étudions aussi certains relations entre les espal:es
quasi-normahles et la dasse des espaces quasi-¡; 0 -tonnelés et de Schwartz.
Un espace lo¡;alemenl wnvexe llausdorff (e. l. l:.) avec topologie r on dénotera lE, r J ou sirnplernenl E.'\1 dénotera une hase de voisinages ele O ahwlument
wnvexes et fennés de E, E' est le dual topologique de E et r' une topologie Jocalement wnvexe dans E' tellc que a( E', E).;;;;; r'.;;;;; {3 (E', E). Pour dutque V e '\1,
0
E~- 0 est l'espace de Banad1 sp(V ) e E' muni de la topologie de la norme jaugc
0
de V dans E'. Pour les nolalions el résultats connus, nous nous réferons loujours
a l2J.
On dit qu'un filtre .'F"dans E' ¡;onverge r'-wntinüment a o si wnverge a o
pour r' et il poscdc une base d'ensembles équiwntinus. On dit que :F wnverge
équicontinürnent a O, ou que :fest ~-nul, si :f poscde une hase dans F.~;o pour
quelque L e 'lL qui converge aO pour la topologie de E~:o.
IJéfillition l. Cn e.l.l:. E est dit un (S 7 ,)-espal:e si pour tout U c:'lL il existe
0
V e U tel que les topologies induites sur L par r' el E~- 0 soient les
me mes.
Sir'= a(E', E) c'est équivalenl a que Lo est compact dans E~·a· Don¡;, les
(Sa(F.', E))-es¡ntl:es ne sont que les espal:es de Schwartz. Oans l'autre extreme, si
V
e'l.L,
r' ={3 (E', E), les (S 7 ,)-espaces son! app?llés espal:es quasi-normable~. Evidemment
!out spacc de Sdtwartt. est un (S_,)-espal:e
pour toute topolog.ie r'.
1
De ht définition on déduil aussitüt que E est un (S ,)-espal:e si ct seulement
7
si draque filtre qui wnverge a O r'-continüment dans E' est ~-nul. Mais dans les
espal:es métrisahles les ~uites peuvcnt remplaces aux filtres:
250
J: M. García - Lafucnte
Théoréme 2. Soit E un c.l.c. métrisablc. :\lors E cst un (S_,)·espace
si et
1
sculcmcnt ~¡ chaquc ensemble équicontinu de E' cst rnélrisahlc pour la topologic
r' ct chaquc suitc de F' qui converge a O r'-<.:ontinúmcnl cst ~-nulc.
Prcuvc: Si E es un (S 7 ,)-cspa<.:e, les dcux conditions énnoncécs sont satis·
faites par la Définilion 1 et la remarque postérieurc. Réciproqucmcnl, supposons
que pour un voisinagc U de O dans L::, aucun espacc E~.-o n'indtiilla topologie r'
0
dans L . Soil ( l\ )keE\ une hase dénombra ble de voisinages de O dans E telie
que Lk e l! pour tout k e IN. Alors, ¡JOur chaquc k e IN.l'immersion canonique
0
lLe,
e J e_ E~ k n 'esl pas continuc ü O (remarquer que L esl un disque).
r\:
Puisque, par hypolhcsc, r' 1 u e cst une lopologie métrisable, pour chaque k e 1!\ il
0
existe une suite (u~)nEIN e U qui converge a O pour r' 1uo mais qui ne converge
pasa O dans fue. Soit W 1
k
:)
W2 :J ... une hase dénombrahle de voisinagcs de O
dans [lJ , r'\:ol· Pour chaque n e IN soil m11 le notnbre enlier positif' le plus petil
tcl que u~ e wn pour toul i ~ mn, ct pour 1 ~ k ~ 11. J.::\'idernrnenl
1 ~ n1 1 ~ m 2 ,;; ... el alors, de la douhle suile (u~)(n,k) e L\lxll': on extrait la
0
~uite
(1
um
1
, ••• ,
1
um
2
_
1
1, u111 2 ,
••• ,
1
um
1
_
2
1, urn 2 ,
••• ,
u2
1113
_
1, ...
)
Cetle suilc converge, par construcclion, a O dans [U'. r' 1L ,], c'cst ü dirc elle
converge a O r'-conlinüment. Mais, par contre, elle ne converge pas a O dans
aucun espace E 1.o car elle conlienl ¡\ la suile (u k) "N a l'exception de ses
··'k
.
.
11 lh:l
mk·· 1 prenriers lenns. Cela conlradit l'lrypolhcse et preuvc le Théorcrne.
Si r' .,., ¡3(E', E) le théorcnre précedenl on applique manifestement aes paces
rnélrisables (UF). Voici une aulre application aespaces de héchet-Monlel.
Corolluire 3. Soil E un cspace de Fréchet-\lorrlcl. Pour que F soil quasi·
nonnable il l"aut et il suffil que chaquc suite qui converge ver~ O¡3(E', L)-conli·
nümenl clans E' soit ~-nule.
Preuvc: L:: e~t séparahlc el conséquemmcnl, chaque ensemble équiconlinu
H e E' esl métrisable pour u(L', L.:). Mab dans H coi"ncidenl les topologies
a( F.', L::) el r rJE', E) =¡3(E', E). On appliquc a lors le Théorcmc.
Si [E, r ¡ e~t un e.l.c. avec dual E', on dénole par r130 (resp. T(c ¡)la topo·
logie dans E de la convergence uniforme sur lo u le~ les suites ¡3(F.', 1:)-l{ulcs (res p.
~-nules) de 1::'. On sait que lE, r 1 e~t quasi-e 0 -tonnelé (rcsp. Sehwarlt) si el
seulement si rí3 0 ~ r(resp. 7 ~ T(c<)· 11 esl clair que ;(col~ r130 , mais dans les
espaees quasi-nonnables on a aus~i.
Une note sur les espaces qua~i-normables
Tlzéoreme J. Soit
sont équivalentcs
i) '<eo) :.= T(jo
lL ·.-.1
un cspacc quasi-normable.
Le~
251
assertions suivant.es
ii) Chaque suilc {j(E', E)-nule de E' est ~-nule
iii) L esl qw1si-c 0 -tonnclé
x;
Preuve: i)=? ii):::::? iii) csl innnédiat. Provons que iii)=}i). Soil 1 1 1° un
voisinagc de O pour 'f3o oll 1 x;1 1 esl une suite {j(F.', E)-nulc de E'. Par iii),
0
j 1 1 e- U pour quelquc U c::<l1. el, co1npte tenu de que F. esl quasi-normahlc,
l x;1 1 converge a O dans quclquc e~ pace de Banach E~. <>· Done. j x~} es l. une
suite ~-nule ce qui rnonlre la,.,o ,;: '<.e ¡·
x;
0
Corollaire 4. Soil E un cspacc de Schwartz awc l.opologic r. Alors E cst
quasi-c 0 -lonnclé si ct sculcmcnl ~ir-= r .
130
re
Si
··-1 es! un e.l.c. on dénotc par re la topologic de la convcrgencc uniforllle sur lous les ensernblcs rclativemcnt (j(F.', E)-cmnpactcs et équiconlinus de L'.
Pour toute lopologie localclllcnl. convcxe ron a Te ,;: r. \-tais parfois on a aus~i
l'égalilé:
Proposition 5. a) Si
lL
rj csl un e.l.c., on a r(e ) =(r 1e ¡\·En particulier,
o
la topologic T d'un espacc de Schwartz es! re.
h) Si fE, rj est un e.l.c. qua5i-c 0 -lonnelé alors
'(Jo"~
. o
(r{j)c·
PreU\'e: La démonslralion repose, en I.OUS les dcux cases. ~ur le fail que les
lopologies r(c ) el r(jo sont compatibles avec la dualilé <E. L' >.Done, on J'cra
sculcrnent la 8émonstration de b). Soit U = \ 1 1 ° un \"Oisinage de O dans E
pour r ,.,o
a . oi.1 i1 x'11 !1 cst une suite (j(E'.. 1-:)-nule. Puisque B = l x'JI 1 U O est un
ensemble compact pour la lopologie (j(E', E).:.= (j(fE, r(jo f, [L, r(3.,J). el B est
c]aircmenl ra,.,o -équiconlinu. on en déduil. que U = 13° est un (ra,.,o )e -\'Oisimlge
de O.
x;
Proposition 6. Si fL, rj es! un espace qua~i-normable, alors re :.. .: ;-(e ¡·
Prcurc: Puisque T(· ) ,;: r, on déduit de la Proposilion S.a). que T( ) ~~eCo
co
Réciproquement, soi! \\' o: B0 un re·voisin¡¡ge de O. oil B cst un ense1nble équiconlinu el relatirement ~(E', E)-compacl de C. Soit U ~:'11 tel que Be u" el
soit V ~:'l.Ltel que E~." induit sur U" la topologic J'ort.e. Par f:2J Theoren1 9.4.2.,
il existe une suite nule j X:1 1 dans L(:o !elle que Be: j 1 ! 00 • C'est a di re, pour
la suitc ~-nule l 1 f on vérific j x~ 1 ° C B0 = W el \V est un r<eo>"\·oisinage
de O.
x;
x;
252
J. M. García- Lafuenle
Corollaire 7. Un espac>: quasi-nonnablc
ITIL'nl Si T =T e ·
lL rl cst de Schwartt. si ct scule-
Si !'l., rl cs1 un cspacc de Sl'llli-\>\ontcl, alors r -"re. Done. de la Proposition
6 résultc inunédialcmcnt qu'un cspace de scmi-\1ontcl cst de Schwartz si et
sculemcnt si il csl quasi-normablc.
BIBUOGRAPHIE
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