Suites et séries de fonctions

CHAPITRE V
Suites et séries de fonctions.
I
- Convergence simple d’une suite de fonctions :
le problème de l’interversion des limites.
II - Convergence uniforme d’une suite de fonction :
le théorème d’interversion des limites.
III - Continuité, intégration, dérivation de la limite
d’une suite de fonctions.
IV - Cas particulier des séries. Convergence normale,
critère d’Abel.
I - Convergence simple d’une suite de fonctions
Définition. Soit D ⊆ R. Une suite de fonctions de D dans R (ou C) est la donnée pour
tout n ∈ N d’une application fn de D dans R (ou C).
Notation. On notera (fn )n∈N ou (fn )n ou (fn ) la suite de fonctions.
Définition. Soit (fn )n une suite de fonctions de D dans R (ou C). Soit f une application
de D dans R (ou C). On dit que la suite (fn ) converge simplement
vers la fonction f (ou
converge en tous points vers f ) si pour tout x ∈ D, la suite fn (x) n converge vers f (x).
C’est-à-dire :
∀x ∈ D ∀ε ∈ R, ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N n > N ⇒| fn (x) − f (x) |< ε .
Remarquons que dans cette définition l’entier N dépend de ε et de x.
Notation. f = lim fn .
n→∞
Exemple et remarques.
1) Soit D = [0, +∞[.
Pour tout n ∈ N et tout x ∈ D, on pose fn =
nx
1 + nx
(fn (0) = n pour n ≥ 1)
1
f2
f1
x
97
0
f0
1
. La fonction fn est croissante, dérivable, et
∀n fn (x) = 1 −
1
+
nx

 . Pour tout x ∈ D \ {0} fixé, on a lim nx = 1.
n→∞ 1 + nx
 . Pour x=0 on a lim fn (0) = 0.
lim fn (x) = 1.
x→+∞
n→∞
La suite (fn )n converge donc simplement vers la fonction f donnée par f (x) = 1 pour
x ∈ D \ {0} et f (0) = 0. On a f = lim fn .
n→∞
Remarquons que bien que chaque application fn soit continue en 0, l’application f n’est pas
continue en 0. Autrement dit dans ce cas on a :
lim lim fn (x) = lim x→0
lim fn (x)
x→0
x∈D
x=0
n→∞
n→∞
x=0
x∈D
2) On suppose que (fn ) est une suite de fonctions par exemple de [a, b] dans R, pour a et b
réels, a < b, convergeant simplement vers une fonction f.
On se pose les trois questions suivantes :
a) La continuité de chaque fn entraı̂ne t-elle celle de f ?
b) Si chaque fn est dérivable, f est-elle dérivable et a-t-on f = lim fn ?
n
b
c) Si chaque fn est intégrable, f est-elle intégrable et a-t-on alors
fn (t)dt =
a
b
f (t)dt ?
a
On va voir (comme on l’a déjà vu pour la continuité) que la convergence simple des fonctions
ne suffit pas, il faut une notion plus forte : la convergence uniforme.
II - Convergence uniforme d’une suite de fonctions et théorème
d’interversion des limites
Définition. Soit D ⊆ R. Soit (fn )n une suite de fonctions de D dans R (ou C). On dit
que la suite (fn )n converge uniformément vers la fonction f sur D si on a :
∀ε ∈ R, ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀x ∈ D ∀n ∈ N (n > N ⇒| fn (x) − f (x) |< ε).
Remarques.
1) Si on compare à la définition de la convergence simple donnée en I on remarque que la condition
∀x ∈ D est placée après le ∃N. Cela signifie que le N trouvé dépendant de ε doit convenir
pour tous les x ∈ D.
2) Dans les cas où on sait calculer au moins pour n assez grand sup | fn (x) − f (x) | (qu’on
notera fn − f ∞ ) on peut aussi traduire la propriété par :
x∈D
∀ε > 0 ∃N tel que n > N ⇒ fn − f ∞ < ε
c’est-à-dire que la suite réelle fn − f ∞ converge vers 0.
Exemple. Le problème de non continuité dans l’exemple des fonctions fn (x) =
x ∈ [0, +∞[ se situait pour x = 0.
nx
pour
1 + nx
Montrons que cette suite de fonctions n’est pas uniformément convergente sur [0, 1], mais qu’elle
l’est sur tout intervalle [a, +∞[ avec a > 0.
Si on a convergence uniforme, on a convergence uniforme vers la fonction f qui est limite simple
de la suite. Or on a :
nx
1
pour x > 0
|
− 1 |=
.
1 + nx
1 + nx
98
a) pour n fixé on a sup
x>0
1
= 1 on n’a donc pas de convergence uniforme sur ]0, +∞[.
1 + nx
b) Si on se restreint à l’intervalle [a, +∞[, on a :
∀n ∈ N, n fixé
sup
x∈[a,+∞[
1
1
=
.
1 + nx
1 + na
1
1
inférieur à ε pour qu’on ait : ∀x ∈ [a, +∞[
< ε. On
1 + na
1 + nx
a donc convergence uniforme sur [a, +∞[.
Il suffit donc de rendre
Remarque.
1) Pour montrer la convergence uniforme de (fn )n il faut après avoir trouvé la limite simple f
essayer de majorer | fn (x) − f (x) | indépendamment de x.
2) Une seconde méthode est d’utiliser le critère de Cauchy uniforme (ci-dessous).
3) Enfin dans le cas des séries on verra deux autres méthodes (critère de convergence normale,
critère d’Abel).
On va voir tout de suite le critère de Cauchy.
Théorème 1 (Critère de Cauchy uniforme).
Soit D ⊆ R.
Soit (fn )n une suite de fonctions de D dans R (ou C).
Alors la suite (fn )n converge uniformément vers une fonction f de D dans R (ou C) si et
seulement si on a la condition (C) suivante :
∀ε ∈ R, ε > 0 ∃Nε tel que ∀p ∈ N ∀q ∈ N ∀x ∈ D
(p > Nε et q > Nε ) ⇒| fp (x) − fq (x) |< ε.
Démonstration.
1) La condition est évidemment nécessaire.
2) Montrons qu’elle est suffisante. On suppose donc (C) vérifié.
. Pour tout x ∈ D la suite fn (x) n∈N est une suite de Cauchy dans R (ou C). Donc elle
converge. Soit f (x) sa limite. Ceci définit la fonction f.
. Soit ε > 0 et soient p > Nε et x ∈ D on a ∀q > N (ε) | fp (x) − fq (x) |< ε. D’où en
faisant tendre q vers +∞ :| fp (x) − f (x) |≤ ε. D’où la convergence uniforme.
Remarque. Avant de voir le théorème d’interversion des limites, signalons sans démonstration et
à titre documentaires les résultats classiques suivants, qu’on ne demandera pas de retenir. Soient
a et b des réels avec a < b.
1) Toute fonction monotone sur [a, b] peut s’écrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions
en escalier.
2) Toute fonction continue sur [a, b] peut s’écrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions
en escalier.
3) Toute fonction continue sur [a, b] peut s’écrire comme limite uniforme d’une suite de fonctions
polynomiales (théorème de Weierstrass).
99
Théorème 2. Soit D ⊆ R, soit (fn )n une suite de fonctions de D dans R (ou C) convergeant
uniformément sur D vers une fonction f.
Soit x0 ∈ D.
Supposons que pour tout n ∈ N
n = x→x
lim fn (x) existe dans R ou C
0
x∈D
Alors la suite (n )n est convergente et on a :
lim n = x→x
lim f (x).
n→∞
0
x∈D
Résumé. On a donc :
lim
lim uniforme fn (x) = lim
lim fn (x) .
x→x0
n→∞
x∈D
existe par hypothèse
existe par hypothèse
x→x0
x∈D
n→∞
Remarque. On pourrait remplacer dans la propriété précédente le n par une variable y qu’on
ferait tendre vers une valeur y0 .
Démonstration. On a :
(C) ∀ε > 0 ∃N (ε)
∀p > N (ε) ∀q > N (ε)
∀x ∈ D
| fp (x) − fq (x) |<
ε
.
3
. Par passage à la limite dans (C) on a donc :
∀p > N (ε) ∀q > N (ε) | p − q |≤
ε
.
3
La suite (p ) est donc une suite de Cauchy dans R ou C. Donc elle converge. Soit sa
limite on a :
ε
∀p > N (ε)
| p − |≤ .
3
. On obtient également ∀p > N (ε) ∀x ∈ p | fp (x) − f (x) |≤
ε
.
3
. Soit alors p0 fixé choisi tel que p0 > N (ε) comme on a x→x
lim fp0 (x) = p0 , il existe ηp0 ,ε > 0
0
x∈D
x∈D
ε
tel que
⇒| fp0 (x) − p0 |< .
3
| x − x0 |< ηp0 ,ε
Finalement pour | x − x0 |< ηp0 ,ε , x ∈ D on a :
| f (x) − |≤| f (x) − fp0 (x) | + | fp0 (x) − p0 | + | p0 − |≤ ε.
100
III - Continuité, intégration, dérivation de la fonction limite d’une
suite de fonctions
Théorème 3. Soit D ⊆ R.
Soit (fn )n une suite de fonctions de D dans R (ou C) uniformément convergente sur D
vers une fonction f.
Soit x0 ∈ D. On suppose que chaque fonction fn est continue en x0 sur D.
Alors la fonction f est continue en x0 sur D.
Démonstration. On a :
∀n ∈ N
lim fn (x) = fn (x0 ) = n et
x→x0
x∈D
lim fn (x0 ) = f (x0 ).
n→∞
On obtient d’après le théorème 2 :
lim n = x→x
lim f (x), donc
n→∞
0
x∈D
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
x∈D
Théorème 4. Soient a et b des réels, a < b.
Soit (fn )n une suite de fonctions continues sur [a, b] et convergeant uniformément sur [a, b]
vers une fonction f.
x
Pour tout x ∈ [a, b] on pose Fn (x) =
fn (t)dt
ax
F (x) =
f (t)dt.
a
Alors la suite de fonctions (Fn )n converge uniformément sur [a, b] vers la fonction F.
Démonstration.
donc intégrable.
Remarquons que d’après le théorème précédent la fonction f est continue,
Soit ε ∈ R, ε > 0. Alors il existe Nε tel que
∀t ∈ [a, b]
∀n > Nε
on ait | fn (t) − f (t) |< ε.
Alors pour n > Nε et x ∈ [a, b] on a :
| Fn (x) − F (x) |=|
x
fn (t) − f (t) dt | ≤
a
x
| fn (t) − f (t) | dt
a
≤ ε(b − a).
D’où la convergence uniforme de la suite (Fn )n vers F. On admettra le résultat suivant :
Théorème 5. Soient a et b des réels a < b.
Soit (fn )n une suite de fonctions Riemann-intégrables de [a, b] dans R, uniformément convergente vers une fonction f.
Alors f est Riemann-intégrable.
On obtient alors le théorème 6 en répétant exactement la démonstration du théorème 4 :
101
Théorème 6. Soient a et b des réels, a < b.
Soit (fn )n une suite de fonctions Riemann-intégrables convergeant uniformément vers une
fonction f sur [a, b].
pour tout n ∈ N et tout x ∈ [a, b] soit :
x
Fn (x) =
fn (t)dt
a
x
F (x) =
f (t)dt.
a
Alors la suite Fn converge uniformément vers F sur [a, b].
Remarque. On a en particulier pour x = b :
b
lim
fn (t)dt =
n→∞
a
b
lim fn (t)dt.
a n→∞
Exemples.
nx
converge uniformément vers la fonction f (x) = 1 sur
1 + nx
tout [a, 1] avec 0 ≤ a < 1 on a :
1) On a vu que la suite fn (x) =
x
1 dt
1 + nt
a
log(1 + nx) log(1 + na)
= (x − a) −
+
n
n
F (x) = (x − a).
Fn (x) =
1−
log(1 + nx) log(1 + na)
+
= 0.
n
n
log(1 + nx)
log(1 + n)
De plus
≤
la limite est donc bien uniforme sur [a, 1].
n
n
2n x
2) Pour x ∈ [0, 1], n ∈ N on pose fn (x) =
. La suite (fn ) converge simplement
1 + n 2n x2
vers la fonction nulle, f (x) = 0
On a bien
lim −
n→∞
Fn (x) =
0
x
2n t
1
log(1 + n 2n x2 )
dt =
n
2
1+n 2 t
2n
1
log 2 = 0. On en déduit que la suite
2
ne converge pas uniformément vers f sur [0, 1] (mais seulement simplement).
F (x) = 0. Or pour tout x = 0 on a
(fn )n
lim Fn (x) =
n→∞
Théorème 7. Soient a et b des réels, a < b.
Soit (fn )n une suite de fonctions de classe C 1 de [a, b] dans R. On suppose :
1) que la suite de fonctions (fn )n converge uniformément sur [a, b] vers une fonction g,
2) qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que la suite fn (x0 ) n converge.
Alors la suite de fonctions (fn )n converge uniformément sur [a, b] vers une fonction f
dérivable telle que f = g.
102
Démonstration.
x
On pose gn (x) =
fn (t)dt pour x ∈ [a, b]. On déduit facilement du
x0
théorème 4 que la suite gn converge uniformément sur [a, b] vers la fonction g donnée par
x
g(x) =
g(t)dt. Comme les fonctions fn sont continues on a pour tout n ∈ N, gn (x) =
x0
fn (x) − fn (x0 ).
Comme la suite fn (x0 ) converge, soit sa limite, on obtient donc que la suite fn converge
uniformément sur [a, b] vers la fonction g(x) + = f (x).
Enfin le théorème 3 dit que la fonction g est continue, donc g(x) est dérivable de dérivée g(x).
Donc f est dérivable et f (x) = g(x).
Ce théorème peut se généraliser au cas où les fonctions fn ne sont pas continues. On pourra
retenir l’énoncé du théorème 8 suivant mais la démonstration est plus difficile, on pourra retenir
uniquement la démonstration du théorème 7.
Théorème 8. Soient a et b des réels, a < b.
Soit (fn )n une suite de fonctions dérivables de [a, b] dans R. On suppose :
1) que la suite de fonctions (fn )n converge uniformément sur [a, b] vers une fonction g,
2) qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que la suite fn (x0 ) n converge.
Alors la suite (fn )n converge uniformément sur [a, b] vers une fonction f dérivable telle
que f = g.
Démonstration. En regroupant la condition
uniforme pour la suite (fn )n et la
de Cauchy
condition de Cauchy pour la suite numérique fn (x0 ) n on peut écrire :
∀ε ∈ R, ε > 0, ∃Nε ∈ N tel que
∀p ∈ N ∀q ∈ N ∀t ∈ [a, b],
p > Nε
q > Nε

 | fp (t) − fq (t) |<
ε
2(b
− a)
⇒
 | f (x ) − f (x ) |< ε .
p 0
q 0
2
1) Pour p > Nε , q > Nε x ∈ [a, b] on a donc en appliquant le théorème des accroissements finis :
| fp (x) − fq (x) | ≤| fp (x) − fq (x) − fp (x0 ) − fq (x0 ) | + | fp (x0 ) − fq (x0 ) |
≤| x − x0 |
sup
z∈[x,x0 ]
ou
[x0 ,x]
≤ (b − a).
| fp (z) − fq (z) | + | fp (x0 ) − fq (x0 ) |
ε
ε
+ = ε.
2(b − a) 2
On en déduit d’après le critère de Cauchy uniforme que la suite de fonctions (fn ) converge
uniformément sur [a, b] vers une fonction f.
2) Soit maintenant x ∈ [a, b] fixé. On définit les fonctions hn et h de D = [a, b] \ {x} dans
R par :
f (t) − f (x)
fn (t) − fn (x)
hn (t) =
,
h(t) =
.
t−x
t−x
La suite (hn ) converge simplement sur D vers la fonction h. D’autre part :
103
pour p > Nε , q > Nε et tout t ∈ D on a :
| fp (t) − fq (t) − fp (x) − fq (x) |≤| t − x | sup | fp (z) − fq (z) |
z∈[t,x]
ou
[x,t]
c’est-à-dire :
| hp (t) − hq (t) |≤
ε
.
2(b − a)
La suite (hn ) converge donc uniformément sur D.
On a donc d’après le théorème 2 :
lim
t→x
t=x
lim uniforme hn (t) = lim lim hn (t)
n→∞
n→∞
t∈[a,b]
puisque
t→x
t=x
t∈[a,b]
lim hn (t) existe : c’est fn (x).
t→x
t=x
t∈[a,b]
On obtient donc lim
h(t) = lim fn (x) c’est-à-dire que f est dérivable en x et
t→x
t=x
n→∞
f (x) = lim fn (x) = g(x).
n→∞
IV - Cas des séries de fonctions
1) Définitions
Définitions.
1) Soit D ⊆ R. Une série de fonctions de D dans R (ou C) est la donnée pour tout n ∈ N
d’une application un : D → R (ou C). Etudier la série de fonctions, c’est étudier la suite de
fonctions (fn )n obtenue avec les sommes partielles :
∀n ∈ N ∀x ∈ D fn (x) =
n
uk (x).
k=0
2) Avec ces notations, on dit que la série de fonctions (un )n converge simplement (resp. uniformément) vers la fonction f si la suite (fn )n converge simplement (resp. uniformément)
∞
vers la fonction f. On notera f =
un .
n=0
On dit que la série de fonction (un ) converge absolument si la série de fonctions (| un |)n
converge.
On va commencer par traduire en termes de séries les propriétés vues pour les suites de fonctions
appliquées à la suite (fn )n puis on verra des critères de convergence uniforme propres aux séries :
normale convergence, critère d’Abel uniforme.
Tout ceci pourra en particulier s’appliquer aux cas classiques suivants :
1) Les séries entières : un = an xn an ∈ R (ou C).
2) Les séries trigonométriques :
un = an cos nx + bn sin nx.
104
2) Traduction sur les séries de fonctions des propriétés des suites de fonctions
On pourrait reprendre tous les théorèmes 1 à 8, on va juste reprendre les principaux.
Théorème 1bis (critère de Cauchy uniforme pour les séries de fonctions).
Soit D ⊆ R, soit (un )n une série de fonctions de D dans R (ou C).
Alors la série de fonctions (un )n converge uniformément sur D si et seulement si on a :
∀ε ∈ R, ε > 0, ∃Nε tel que ∀p ∈ N ∀q ∈ N ∀x ∈ D
Nε < p ≤ q ⇒|
q
uk (x) |< ε.
k=p
Théorème 6bis. Soient a et b des réels, a < b.
Soit (un )n une série de fonctions Riemann-intégrables sur [a, b] convergeant uniformément sur
∞
[a, b] vers une fonction f =
uk .
k=0
1) Alors f est intégrable.
2) Si on pose pour tout n ∈ N et tout x ∈ [a, b]
x
vn (x) =
un (t)dt
ax
g(x) =
f (t)dt.
a
Alors la série (vn ) converge uniformément sur [a, b] vers la fonction g.
Remarque. En particulier pour x = b on a :
∞ k=0
b
un (t)dt =
a
a
∞
b uk (t) dt.
k=0
Théorème 8bis. Soient a et b des réels a < b.
Soit (un )n une série de fonctions dérivables de [a, b] dans R. On suppose :
1) que la série de fonctions (un )n converge uniformément sur [a, b],
2) qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que la série un (x0 ) n converge.
Alors la série de fonctions (un ) converge uniformément sur [a, b] et on a :
∞
un
=
n=0
∞
(un ).
n=0
3) Critères propres aux séries : convergence normale, critère d’Abel.
Proposition et définition 9. Soit D ⊆ R.
Soit (un )n une série de fonctions de D dans R (ou C).
On suppose qu’il existe une série à termes constants réels (an )n telle que ∀x ∈ D | un (x) |≤ an .
Alors si la série (an ) converge, la série (un )n converge uniformément sur D.
105
On dit alors que la série (un )n converge normalement sur D.
Démonstration. On utilise le critère de Cauchy uniforme.
En effet pour p et q entier, p ≤ q et x ∈ D on a :
|
q
uk (x) |≤
k=p
q
| uk (x) |≤
k=p
q
ak .
k=p
Exemples.
1) Pour tout x ∈ D = R et tout n ∈ N on pose
un (x) =
1
sin(2n x).
2n
1
1
converge. Donc la série (un ) converge normalement
et
la
série
2n
2n
donc uniformément. Remarquons qu’on a un (x) = cos(2n x) il faut donc bien se garder d’en
déduire que la série (un ) converge (cf. Théorème 8bis).
On a | un (x) | ≤
2) Pour tout x ∈ R, | x | ≤ 1 et tout n ∈ N, n ≥ 1 on pose :
un (x) = (−1)n+1
on sait que log(1 + x) =
∞
xn
n
un (x) .
n=1
a) Montrons qu’on a convergence normale dans tout intervalle [−a, a] avec 0 ≤ a < 1.
En effet on a, pour x ∈ [0, a] :
| un (x) |=
et la série de terme général
| a |n
n
| x |n
| a |n
≤
n
n
| a |n=1 n
= a < 1 (critère de
.
n→∞ n + 1 | a |n
converge car
lim
d’Alembert).
b) Remarquons que la série est divergente pour x = −1.
Elle est convergente pour x = 1 d’après le critère des séries alternées, mais pas absolument
convergente mais on ne peut pas espérer de convergence normale sur [0, 1] ni même sur
[0, 1[ parce que :
1
| x |n
∀n ∈ N sup
=
n
n ≥ 1 |x|<1 n
1
et la série de terme général
diverge.
n
c) Montrons que la série (un ) est tout de même uniformément convergente sur [0, 1].
En effet comme pour tout x ∈ [0, 1] la série un (x) est alternée on sait majorer son reste
par la valeur absolue “du premier terme négligé”.
On a ∀x ∈ [0, 1] ∀n ∈ N n ≥ 1 :
|
n
k=1
uk (x) | −
∞
uk (x) = |
k=1
=|
≤
106
∞
k=n+1
∞
k=n+1
n+1
uk (x) |
(−1)k+1
xk
|
k
|x
1
|
≤
.
n+1
n+1
On a évidemment
lim
n→∞
sur tout [−a, 1]).
1
= 0 et donc on a bien convergence uniforme sur [0, 1] (et
n+1
Théorème 10 (Critère d’ Abel uniforme).
Soit D ⊆ R.
Soient (un )n et (vn )n des séries de fonctions de D dans R ou C. On suppose :
1) ∃A ∈ R, ∀p, q dan N, p ≤ q, ∀x ∈ D on a
| vp (x) + . . . + vq (x) |≤ A.
2) La suite un (x) converge uniformément vers 0 sur D.
3) La série (| un (x) − un+1 (x) |) est uniformément convergente sur D.
Alors la série de fonctions (un .vn ) est uniformément convergente sur D.
Démonstration. On reprend la démonstration du critère d’Abel pour les séries numériques
(théorème 20, page 15, chap. II).
Pour p fixé on définit les fonctions :
Vpp
=
vp
p
Vp+1
=
vp + vp+1
...
Vqp
=
vp + . . . + vq
pour q ≥ p
on a pour p < q :
p
up vp + . . . + uq vq = Vpp (up − up+1 ) + . . . + Vq−1
(uq−1 − uq ) + uq vqp
on en déduit ∀q > p, ∀x ∈ D
| up (x)vp (x) + . . . + uq (x)vq (x) |≤ A.(| uq (x) | +
q−1
| uk (x) − uk+1 (x) |)
k=p
et pour q = p | up (x)vp (x) |≤ A. | uq (x) | on utilise alors le critère de Cauchy uniforme pour les
séries de fonctions. On peut énoncer comme pour les séries numériques, les corollaires suivants.
Corollaire 11. Soit (un )n une suite de fonctions de D dans R.
Soit (vn )n une suite de fonctions de D dans R ou (C). On suppose :
1) ∃A ∈ R ∀p, q dans p ≤ q ∀x ∈ D
| vp (x) + . . . + vq (x) |≤ A.
2) ∀x ∈ D la suite
un (x) n est décroissante.
3) La suite (un ) tend sur D uniformément vers 0.
Alors la série de fonctions (un .vn ) est uniformément convergente sur D.
Corollaire 12. Soit pour tout n ∈ N wn = (−1)n un où un est une fonction de D dans R
on suppose :
1) ∀x ∈ D un (x) est décroissante,
2) la suite (un ) tend uniformément vers 0 sur D.
Alors la série de fonctions (wn )n converge uniformément dans D.
107
Exemples.
1) Soit (an )n∈N une suite numérique décroissante et convergeant vers 0, alors les séries de fonctions
(an einx ), (an cos nx), (an sin nx)
sont uniformément convergentes sur tout intervalle fermé I ne contenant pas d’élément de 2πZ.
En effet si I est un tel intervalle on a pour p ≤ q et x ∈ I :
 q
q



|
cos nx |≤|
einx |


k=p
k=p
k=p
k=p
q
q



|
sin
nx
|≤|
einx |


car si α et β sont réels on a
|
q
| α | ≤ | α + iβ |
| β | ≤ | α + iβ |
eikx | = | eipx
k=p
≤
Comme l’application x −→
supérieure A. On a donc :
2
| 1 − eix |
(1 − eix(q−p+1)
|
1 − eix
2
.
| 1 − eix |
de I dans R est continue, elle admet une borne
∀p, q p ≤ q ∀x ⊂ I
|
q
eikx |≤ A
k=p
on peut donc appliquer le critère d’Abel uniforme.
(−1)n
2) Soit wn (x) =
pour x ∈ [1, +∞[ avec α > 0.
nx
Alors la série de fonction (wn )n≥1 est uniformément convergente sur [1, +∞[.
1
En effet on pose un (x) = x .
n
Pour tout x ≥ 1 la suite un (x) est décroissante.
1
1
D’autre part on a x ≤
donc la suite de fonction (un )n converge uniformément vers 0 sur
n
n
[1, +∞[.
Je remercie le secrétariat de mathématiques et spécialement Mme Ginette Martin-Dubois d’avoir
assuré une frappe soigneuse de ce document, ainsi que mes collègues Mireille Lozach et Eddy
Godelle qui en ont fait une relecture attentive et ont permis de corriger de nombreuses coquilles
(attention il y en a sans doute encore !).
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