Logique 02 – Condition nécessaire et/ou suffisante. En

Logique 02 – Condition nécessaire et/ou suffisante.
En mathématiques, lors d'une démonstration, on emploie l'expression « il faut que » différemment que
dans le langage courant.
Prenons un exemple de phrase du langage courant :
Pour faire une omelette, il faut que je casse des œufs.
 Condition nécessaire
On comprend bien qu'il faut d'abord casser des œufs pour faire son omelette, casser des œufs est donc
nécessaire pour réaliser ce plat.
La phrase logique s'écrit alors :
« Pour faire une omelette, il est nécessaire que je casse des œufs » (1)
La condition « casser des œufs » s'appelle une condition nécessaire.
On peut noter cette phrase logique sous la forme :
Faire une omelette ⇒ Je casse des œufs. (La condition nécessaire est à droite !) (2)
On peut écrire cette phrase logique avec « SI et ALORS » :
SI je fais une omelette ALORS je casse des œufs (3)
Remarque : Un autre moyen de repérer une condition nécessaire, est de dire que si elle ne se réalise pas,
alors la deuxième condition ne peut se réaliser non plus. On appelle cela la contraposée.
Exemple : Si je ne casse pas d'œufs, alors je ne peux pas faire d'omelette.
Exercice : Trouver dans chaque cas la condition nécessaire et écrire les phrases selon les trois modèles.
cas
Condition 1
Condition 2
1
Il pleut.
Il y a des nuages.
2
Il y a de l’essence dans le réservoir de la voiture.
Le moteur de la voiture tourne.
3
AI=IB
I est le milieu du segment [AB].
4
ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.
5
Dans le triangle ABC,
6
I est le milieu du segment [AB].
Le triangle ABC est isocèle en A.
 Condition suffisante
Parmi ces deux phrases, laquelle semble correcte :
Pour casser des œufs il suffit de faire une omelette / Pour faire une omelette il suffit de casser des œufs.
Dans cet exemple, la condition suffisante est faire une omelette …................................................................
Faire une omelette ⇒ je casse des œufs (2) (La condition suffisante est à gauche !)
SI je fais une omelette ALORS je casse des œufs (3)
Exercice : Reprendre les conditions du tableau et indiquer pour chaque cas, quelle est la condition
suffisante ?
QUESTIONS : Pour 1°, 2° et 3°, on illustrera la réponse avec un exemple original (mathématique ou
autre....)
1° Une condition nécessaire peut-elle être également une condition suffisante ?
2° De même, une condition suffisante peut elle être une condition nécessaire ?
3° Que peut-on dire lorsque, dans une phase logique, une condition est nécessaire et suffisante ?
4° Modifier (si besoin) une des conditions de chaque cas pour obtenir une condition nécessaire et
suffisante.
Logique 02 – Condition nécessaire et/ou suffisante.
En mathématiques, lors d'une démonstration, on emploie l'expression « il faut que » différemment que
dans le langage courant.
Prenons un exemple de phrase du langage courant :
Pour faire une omelette, il faut que je casse des œufs.
 Condition nécessaire
On comprend bien qu'il faut d'abord casser des œufs pour faire son omelette, casser des œufs est donc
nécessaire pour réaliser ce plat.
La phrase logique s'écrit alors :
« Pour faire une omelette, il est nécessaire que je casse des œufs » (1)
La condition « casser des œufs » s'appelle une condition nécessaire.
On peut noter cette phrase logique sous la forme :
Faire une omelette ⇒ Je casse des œufs. (La condition nécessaire est à droite !) (2)
On peut écrire cette phrase logique avec « SI et ALORS » :
SI je fais une omelette ALORS je casse des œufs (3)
Remarque : Un autre moyen de repérer une condition nécessaire, est de dire que si elle ne se réalise pas,
alors la deuxième condition ne peut se réaliser non plus. On appelle cela la contraposée.
Exemple : Si je ne casse pas d'œufs, alors je ne peux pas faire d'omelette.
Exercice : Trouver dans chaque cas la condition nécessaire et écrire les phrases selon les trois modèles.
cas
Condition 1
Condition 2
1
Il pleut.
Il y a des nuages.
2
Il y a de l’essence dans le réservoir de la voiture.
Le moteur de la voiture tourne.
3
AI=IB
I est le milieu du segment [AB].
4
ABDC est un parallélogramme éventuellement aplati.
5
Dans le triangle ABC,
6
I est le milieu du segment [AB].
Le triangle ABC est isocèle en A.
 Condition suffisante
Parmi ces deux phrases, laquelle semble correcte :
Pour casser des œufs il suffit de faire une omelette / Pour faire une omelette il suffit de casser des œufs.
Dans cet exemple, la condition suffisante est faire une omelette …................................................................
Faire une omelette ⇒ je casse des œufs (2) (La condition suffisante est à gauche !)
SI je fais une omelette ALORS je casse des œufs (3)
Exercice : Reprendre les conditions du tableau et indiquer pour chaque cas, quelle est la condition
suffisante ?
QUESTIONS : Pour 1°, 2° et 3°, on illustrera la réponse avec un exemple original (mathématique ou
autre....)
1° Une condition nécessaire peut-elle être également une condition suffisante ?
2° De même, une condition suffisante peut elle être une condition nécessaire ?
3° Que peut-on dire lorsque, dans une phase logique, une condition est nécessaire et suffisante ?
4° Modifier (si besoin) une des conditions de chaque cas pour obtenir une condition nécessaire et
suffisante.