Ultrabac terminale S - Liban juin 2009 exercice de spécialité
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Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Liban juin 2009 Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel n dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que n3 ≡ 2009 modulo 10000 Partie A 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20092 par 16. La division euclidienne de 2009 modulo (ou par) 16 repose sur l'égalité : 2009 = 125 × 16 + 9 Dividende Quotient Diviseur Reste Donc l'entier naturel 2009 est congru à 9 modulo 16. 2 Comme 2009 ≡ 9 modulo 16 alors 2009 ≡ 92 ≡ 81 ≡ 5 × 16 + 1 ≡ 1 modulo 16 . La congruence est compatible avec la puissance naturelle Conclusion : le reste de la division euclidienne 20092 par 16 est 1. ( ) ≡ ( 2009 ) × 2009 modulo 16 ≡ 20092×4000 × 2009 modulo 16 ≡ (1) 4000 4000 × 2009 ≡ 1× 2009 ≡ 2009 modulo 16 u = 20092 − 1 0 5 u n +1 = ( u n + 1) − 1 pour tout entier naturel n 1.a) Démontrer que u 0 est divisible par 5. La division euclidienne de 2009 par 5 repose sur l'égalité : 2009 = 401 × 5 + 4 Quotient Diviseur Reste Donc 2009 est congru à 4 modulo 5. Toujours modulo 5, le carré de 2009 est alors congru à : 2 2 2009 ≡ 4 ≡ 16 ≡ 5 × 3 + 1 ≡ 1 modulo 5 La congruence est compatible avec la puissance naturelle 2 Donc 5 divise la différence 2009 − 1 = u 0 . 5 u n + 1) ( −1 Les fameuses combinaisons p parmi n A développer... 5 5 5 5 = u n5 + × u n 4 ×1 + × u n3 × 12 + × u n 2 × 13 + × u n × 14 + 15 − 1 1 2 3 4 ...avec la formule du binome de Newton appliquée à une puissance 5 = u n5 + 5 × u n 4 + 5× 4 5× 4×3 5 × 4 × 3× 2 × u n3 + × u n2 + × un + 1−1 1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × 4 ( ) = u n × u n 4 + 5 × u n3 + 2 × u n 2 + 2 × u n + 1 1.c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n est divisible par 5n +1 . Démontrons par récurrence sur l'entier n sur la propriété Pn : 5n +1 divise le terme u n . Dans une démonstration par récurrence, deux choses sont à établir : D'abord que la propriété est vraie au premier rang n = 0 . Partie B On considère la suite ( u n ) définie sur par : Dividende u n +1 = ) = u n × u n 4 + 5 × u n3 + 10 × u n 2 + 10 × u n + 5 20098001 ≡ 20098000 × 2009 modulo 16 2 ( = u n5 + 5 × u n 4 + 10 × u n3 + 10 × u n 2 + 5 × u n 2. En déduire que 20098001 ≡ 2009 modulo 16 . Raisonnons modulo 16 : D'après le résultat de la question précédente Page 1 sur 2 1.b) Démontrer en utilisant la formule du binôme de Newton que pour tout entier naturel n, u n +1 = u n × u n 4 + 5 × u n3 + 2.u n 2 + 2.u n + 1 Soit n un entier naturel quelconque. En application de la formule du binôme de Newton, nous pouvons écrire : Lors de la question B.1.a, nous avons montré que u 0 était divisible par 5 = 50 +1 . Donc la propriété P0 est vraie. Ensuite le principe de récurrence ou de propagation : la propriété se propage-t-elle de rang en rang ? Si la propriété Pn est vraie, alors la suivante Pn +1 doit être aussi vraie. Supposons que la propriété Pn soit vraie, c'est-à-dire que 5n +1 divise le terme u n . Il est clair, qu'alors, 5 divise u n mais aussi sa puissance quatrième u n 4 . Donc 5 divise aussi la somme u n4 ( ) + 5 × u n3 + 2 × u n 2 + 2 × u n + 1 . Divisible par 5 Aussi divisible par 5 Le terme suivant u n +1 est alors le produit : u n +1 = un ( ) × u n 4 + 5 × u n3 + 2.u n 2 + 2.u n + 1 n +1 Divisible par 5 Divisible par 5 Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Liban juin 2009 Donc le produit u n +1 est divisible par le produit 5n +1 × 5 = 5n + 2 . Page 2 sur 2 Comme, d'après la question B.2.b : 20098001 = 2009 modulo 625 C'est une question de nombre de facteurs 5... Par conséquent, la propriété Pn +1 est vraie. Le principe de récurrence est établi. alors 625 divise la différence 20098001 − 2009 . Comme les diviseurs 16 = 24 et 625 = 54 sont premiers entre eux, alors, en application Conclusion : pour tout entier naturel n, le terme u n est divisible par 5n +1 . du théorème de Gauss, 20098001 − 2009 est divisible par leur produit 16 × 625 = 10000 . D'un point de vue congruence, cela se traduit par : 2.a) Vérifier que u 3 = 2009250 − 1 , puis en déduire que 2009250 ≡ 1 modulo 625 . La suite ( u n ) étant définie par récurrence, pour accéder au terme u 3 , il faut au 20098001 ≡ 2009 modulo 10000 Petites précisions à propos du théorème de Gauss Selon ma petite culture, la version officielle du théorème de Gauss est la suivante : préalable calculer tous ceux qui le précèdent à partir de u 0 . ( = ( u + 1) − 1 = ( 2009 = ( u + 1) − 1 = ( 2009 ) ( ) − 1 = 2009 − 1 − 1 + 1) − 1 = ( 2009 ) − 1 = 2009 − 1 − 1 + 1) − 1 = ( 2009 ) − 1 = 2009 −1 5 u1 = u 0+1 = ( u 0 + 1) − 1 = 20092 − 1 + 1 − 1 = 20092 5 u 2 = u1+1 u 3 = u 2 +1 5 10 1 5 5 2 10 5 50 3+1 5 10 5 50 5 4 a divise le produit b × c Si a est premier avec le facteur b 50 Et un corollaire (une conséquence) de ce théorème est : 250 La question précédente nous a appris que 5 = 5 = 625 divisait u 3 = 2009 C'est la définition même de la congruence. Nous en déduisons : 250 −1 . 2009250 ≡ 1 modulo 625 8001 2.b) Démontrer alors que 2009 Raisonnons modulo 625 : = 2009 modulo 625 . 20098001 ≡ 20098000 × 2009 modulo 625 Voilà qui n'est pas sans rappeler la question A.2... question ( ) ≡ ( 2009 ) × 2009 modulo 625 ≡ 2009250×32 × 2009 modulo 625 250 ≡ (1) 32 32 × 2009 ≡ 1× 2009 ≡ 2009 modulo 625 Partie C 1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 20098001 − 2009 est divisible par 10000. Comme, d'après la question A.2, on a : 20098001 ≡ 2009 modulo 16 alors 16 divise la différence 20098001 − 2009 . alors a divise l'autre facteur c. a et b divisent c Si a et b sont premiers entre eux alors le produit a × b divise c. Dans cette question, c'est le corollaire qui a été appliqué et non le théorème de Gauss. 2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009. 8001 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres 8 + 0 + 0 + 1 = 9 l'est. D'ailleurs : 8001 = 2667 × 3 Reprenant le résultat final de la question C.1, il vient : ( 2009 ) 2667 3 = 20092667×3 = 20098001 ≡ 2009 modulo 10000 Conclusion : les quatre derniers chiffres du cube de l'entier 20092667 sont 2 ; 0 ; 0 et 9. Quelques rappels sur la congruence, un outil très puissant au service de la division Dans ce qui suit, a, b, c et d sont des entiers relatifs, et n est un entier strictement positif. La congruence modulo n entre deux entiers a et b se définit de la manière suivante : a ≡ b modulo n ⇔ n divise la différence a − b ⇔ a = b + λ × n où λ ∈ Tout entier a est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n. La congruence a le grand avantage d'être compatible avec l'addition, la soustraction, la multiplication, la puissance naturelle p mais pas avec le passage à l'inverse ou la division. On a juste ces quatre propriétés et c'est tout ! a ≡ b modulo n Si alors a + c ≡ b + d a − c ≡ b − d a × c ≡ b × d a p ≡ b p c ≡ d modulo n Modulo n bien sûr ! La puissance p est un entier naturel...