Contrôleur Stagiaire du trésor public

Concours Externe B
Contrôleur Stagiaire du trésor public : 1997
(3 heures – Coef 4)
Exercice I
En utilisant la méthode de Gauss, résoudre dans \4 :
 −2 x − y + 4t = 2
 2 x + 3 y + 3z + 2t = 14

¨

x + 2 y + z + t = 7
 − x − z + t = −1
Exercice II
Un boulanger fabrique des pains de campagne qui doivent peser, en théorie, 600
grammes. On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur les poids possibles
des pains de campagne exprimés en grammes et arrondis à 10 grammes près.
Le tableau suivant indique la probabilité pi de l'événement X = Xi.
X = Xi
pi
580
0,12
590
0,25
600
0,32
610
0,27
620
0,04
Ainsi la probabilité qu'un pain choisi au hasard pèse 59U grammes est u,m.
1. Calculer l'espérance mathématique de X et l'écart -type de X.
2. Un client achète un pain de campagne. Quelle est la probabilité que son painpèse
au moins 600g ?
3. Un contrôleur du service de la Répression des fraudes entre dans la boulangerie et
prélève, au hasard, dix pains de campagne.
a.
Quelle est la probabilité d'avoir exactement trois pains de 580g.
b.
Quelle est la probabilité d'avoir au moins un pain de campagne de 580g.
c.
Quelle est la probabilité d'avoir au plus un pain de campagne de 580g.
On donnera les valeurs exactes puis des décimales approchées à 10- 4 près.
Exercice III
Partie A.
On considère la fonction numérique f de la variable x définie sur \ par :
f(x) = ex – x – 1.
GG
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; i, j) .
Unité graphique : 1 cm.
1. Calculer lim f(x)
x →−∞
x 1

2. a. Vérifier que f(x) peut s'écrire : f ( x) = e x 1 − x − x 
 e e 
b. En déduire lim f(x)
x →+∞
3. Calculer f '(x) et établir le tableau des variations de f.
4. a. Montrer que la droite D d'équation y = –x – 1 est asymptote à C lorsque x tend
vers moins l'infini.
b. Étudier la position de C par rapport à D.
5. Déterminer une équation de la tangente D'à C au point de C d'abscisse -I. 6.
Construire C et D.
6. Calculer en cm2l'aire du domaine limité par D, la courbe C et les droites
d'équation x = –1 et x = 0
Partie B.
Pour tout entier n appartenant à `, on désigne par En le domaine limité par la droite D, la
courbe C et les droites d'équation : x = – n –1 et x = –n.
1. Calculer en cm2 l'aire An du domaine En.
Montrer que la suite des réels An est une suite géométrique dont on déterminera le
premier terme A p et la raison.
2. Calculer Sn = A0 + A1 +...+ An et en déduire : lim Sn
x →+∞
3.
Exercice IV
Une personne veut fabriquer pour une vente de charité des ours et des lapins en peluche.
Pour fabriquer un ours, il faut 40 cm de tissu beige et 10 cm de tissu blanc; pour un lapin,
il faut 20 cm de tissu beige et 30 cm de tissu blanc. La personne dispose de 1,6 m de tissu
beige et 0,9 m de tissu blanc.
1. 1 Soit x le nombre d'ours fabriqués et y le nombre de lapins fabriqués. Déterminer
graphiquement l'ensemble S des couples (x, y) qui correspondent à ce que peut
fabriquer la personne.
2. Sachant que la vente d'un ours rapporte un bénéfice de 50 F et que la vente d'un
lapin rapporte un bénéfice de 60 F, déterminer graphiquement le nombre d'ours et
de lapins que l'on doit fabriquer pour obtenir un bénéfice maximum. Quel est ce
bénéfice maximum ?