UNIVERSITÉ HENRI POINCARÉ NANCY I FACULTÉ DES

UNIVERSITÉ HENRI POINCARÉ NANCY I
FACULTÉ DES SCIENCES
LICENCE MI parcours MATHÉMATIQUES 3ème année
Géométrie euclidienne classique (LMI 5.35)
Durée : 3 heures
Contrôle de Janvier 2006
G. Rousseau
Documents non autorisés
Calculettes non autorisées
Les trois exercices ci-dessous sont indépendants.
I
On considère un cercle Γ de rayon ρ et on va construire son centre (par la méthode
découverte par Napoléon) en utilisant un compas mais pas de règle.
On choisit un point A de Γ et on trace le cercle
de centre A et rayon R (avec ρ < R <
2ρ ). Ce cercle coupe Γ en B et C . Les 2 cercles de rayon R de centres B et C se coupent en A
et D .
Le cercle Γ' de centre D et rayon AD coupe
en E et F . Les cercles de centres E et
F et rayon R = AE = AF se coupent en A et G . On va montrer que G est le centre de Γ .
1) Faire une figure.
2) Question préliminaire: Soient LMN un triangle rectangle en L et P le pied de la hauteur issue
de L ; montrer que : LM2 = MP.MN .
3) Montrer que la droite δ = (AD) est médiatrice de [BC] , diamètre de Γ et médiatrice de [EF] .
4) On note H (resp. I ) l'intersection de δ avec la droite (BC) (resp. (EF) ) et J (resp. K )
l'intersection (différente de A ) de δ avec Γ (resp. Γ' ).
AI 1
AH 1
= 4 et AG = 2 .
a) Montrer que :
AK
b) Montrer que :
AH.AJ = AB2 = AE2 = AI.AK .
5) Conclure.
II
On considère un cercle
de centre O et deux diamètres distincts [AB] et [MN] de ce
cercle. On note P (resp. Q ) l'intersection de la droite (AM) (resp. (AN) ) avec la tangente tB en B
au cercle
et I le milieu du segment [PQ] .
1) a) Montrer que : (BA,BN) = (QB,QN) .
b) En déduire que (MP,MN) = (QP,QN) et donc que les points M , N , P , Q sont
cocycliques.
2) a) Montrer que I est le centre du cercle circonscrit au triangle PAQ .
b) En déduire que : (AN,AI) = (QI,QA) = (MP,MN) .
c) Montrer que les droites (MN) et (AI) sont perpendiculaires.
→ →
3) On note ω le point tel que : Iω = AO .
a) Montrer que la droite (Oω) est la médiatrice du segment [MN] .
b) Montrer que les triangles MOω et ωIP sont rectangles et égaux.
c) En déduire que ω est le centre du cercle circonscrit au triangle MNP .
T.S.V.P.
III
On considère 3 points non alignés A , B , C ; les points B et C sont supposés fixes et le
point A variable.
^ , B^ , C^ les 3 angles (de secteurs) du triangle ABC , le cercle circonscrit au
On note A
triangle ABC et H la projection (orthogonale) de A sur la droite (BC) .
1) Montrer l'équivalence des 3 conditions suivantes :
 .HC
 .
^ - C^ | = 90° ⇔ tan(B^).tan(C^) = -1 ⇔ HA2 = HB
|B
2) On choisit le repère orthonormé d'axe des x la droite (BC) et d'axe des y la médiatrice du
segment [BC] ; on note 2a = BC et x , y les coordonnées de A dans ce repère.
a) Traduire les conditions précédentes en une équation portant sur x et y .
b) En déduire que ces conditions sont vérifiées si et seulement si A appartient à une
hyperbole dont on précisera les axes, les sommets et les asymptotes.
3) a) Montrer que les conditions de 1) sont vérifiées si et seulement si la droite (AH) est
tangente au cercle
.
b) En déduire que les conditions de 1) sont vérifiées si et seulement si A est une extrémité
d'un diamètre parallèle à la droite (BC) d'un cercle du faisceau à points de base B et C .
4) On note Γ le cercle de centre H et rayon HA .
a) Montrer que les conditions de 1) sont vérifiées si et seulement si le cercle Γ est orthogonal
au cercle de diamètre [BC] .
b) En déduire que les conditions de 1) sont vérifiées si et seulement si A est une extrémité
d'un diamètre perpendiculaire à la droite (BC) d'un cercle du faisceau à points de Poncelet B et C .