Cercle d`Euler
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Cercle d`Euler
Cercle d'Euler Considérons le cercle passant par les milieux des cotés Prenons M intersection cercle et droite (BC) B'C' // A'M (réciproque Thalès) La médiatrice de [A'M] est aussi celle de [C'B'] Car OM = OA'=OC'=OB' C'M = A'B' car les 2 segments sont symétriques par rapport à la médiatrice [MA'] Or A'B' = ½ AB (Thalès) C' milieu de AB Ainsi, C'A = C'B = C'M M est sur le cercle de Centre C' et de diamètre [AB] Ainsi, ABM est rectangle en M => M est le pied de la hauteur issue de A Raisonnement identique pour les deux autres pieds => le cercle passant par les milieux des cotés passe par le pieds des hauteurs H : orthocentre I : intersection Cercle-hauteur issue de A IMA' est rectangle en M => IA' : diamètre du cercle B' est sur le cercle de diamètre IA' => angle IB'A' est droit or (A'B') // (AB) (récip. Thalès) donc (IB') ⊥ (AB) (PC) également ⊥ (AB) => (PC) // (IB') Thalès avec : AB'/AC = ½ et (PC) // (IB') => AI/AH = ½ I est le milieu de AH