Exercices résolus progressifs sur les (in

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Exercices résolus progressifs sur les (in-)équations
exponentielles et logarithmiques à base e
Pour chacun des exercices proposés, il faut chercher le domaine d'existence, que ce soit demandé
expressément ou non. Rappelons que certains cas peuvent se présenter parmi les (in-)équations élémentaires:
1)
eNx = 4N
>0
2)
eNx = −
N3
>0
3)
<0
eNx > 8N
>0
4)
>0
>0
eNx > −
N4
>0
La fonction ln
⇔
a comme domaine
\ +0
( )
ln e x = ln 4
⇔
x = ln 4 ⇔ x = ln 22 = 2ln 2
impossible,la fonction ln n'étant définie que sur \ +0
La fonction ln
⇔
a comme domaine
\ +0
( )
ln e x > ln 8
⇔
S =∅
x > ln 8 ⇔ x > ln 23 = 3ln 2
toujours vrai, même si la fonction ln ne s'applique pas au − 4
S=\
<0
Remarque: Voici quelques exercices simples et progressifs, dont la solution est proposée à la suite des
données. Il est conseillé de faire d'abord les exercices, avant de s'occuper des solutions
proposées.
Exercice 1:
Résoudre dans \ les équations exponentielles/ logarithmiques suivantes:
1)
3)
2 − 5e x = 1
3 − 4ln x = −2
2)
4)
4 − 2e x = 4e x
3ln x − 2 = 1
5)
ln x − ln (1 − x ) = 0
6)
3e x − 2e x = 5
7)
ln 2 x + ln ( 3 − x ) = 0
8)
2ln x = ln 3x + ln ( x + 1)
9)
2e 2 x − 5e x + 2 = 0
10)
3e2 x − 2 = 5e x
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Exercice 2:
Résoudre dans \ les inéquations exponentielles/ logarithmiques suivantes:
1)
4 − ex ≥ 1
2)
1 − 3e x < 2e x
3)
8 − 4ln x < −1
4)
ln x 2 − 2 > 7
5)
2ln ( 2 x − 1) − ln ( 5 − 2 x ) − ln 2 ≤ 0
6)
ln 24 + ln ( 3 − x ) ≤ ln ( x + 1) + ln ( 25 x − 49 )
ln x 2 − 4e 2 < 1 + ln 3 x
8)
7)
9)
)
(
ln ( 2 x 2 − 3x − 5 ) ≤ 2ln 2
10)
)
(
ln ( 2 x 2 + 3x + 2 ) > 2ln ( x + 1)
ln − x 2 + 4 x + 5 > 0
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Résolution - Exercice 1: Résoudre dans \ les équations exponentielles/ logarithmiques suivantes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2 − 5e x = 1
i)
Domaine :
D=\
ii)
Résolution :
1 = 5 ⋅ ex
iii )
Solution :
S = {− ln 5}
i)
Domaine :
D=\
ii)
Résolution :
4 = 6 ⋅ ex
iii )
Solution :
S = {ln 2 − ln 3}
i)
Domaine :
D = \ +0
ii )
Résolution :
5 = 4 ⋅ ln x
iii )
Solution :
 54 
S = e 
 
i)
Domaine :
D = \ +0
ii )
Résolution :
3ln x = 3
iii )
Solution :
S = {e}
⇔
1
= ex ⇔
5
1
ln = − ln 5 = x
5
⇔
2
= ex ⇔
3
ln
⇔
5
= ln x ⇔
4
e =x
⇔
ln x = 1 ⇔
x=e
x =1− x
⇔
4 − 2e x = 4e x
2
= ln 2 − ln 3 = x
3
3 − 4ln x = −2
5
4
3ln x − 2 = 1
ln x − ln (1 − x ) = 0
i)
Domaine :
D = ]0;1[
ii )
Résolution :
ln x = ln (1 − x ) ⇔
iii )
Solution :
1 
S = 
2
i)
Domaine :
D=\
ii )
Résolution :
ex = 5 ⇔
iii )
Solution :
S = {ln 5}
x=
1
2
3e x − 2e x = 5
x = ln 5
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Au contraire de l'exercice 5) proposé, l'exercice 7) réunit dans le premier membre une somme de
deux expressions logarithmiques:
7)
ln 2 x + ln ( 3 − x ) = 0
i)
Domaine :
D = ]0;3[
ii )
Résolution :
ln  2 x ( 3 − x )  = ln1
⇔
8)
2ln x = ln 3x + ln ( x + 1)
x=
i)
Domaine :
D = \ +0
ii )
Résolution :
ln x 2 = ln 3x ( x + 1) 
iii )
9)
Solution :
0 = 2 x2 − 6 x + 1
3− 7
≈ 0,17
2
 3 − 7 3 + 7 
S =
;

2 
 2
⇔
iii )
Solution :
x=
3+ 7
≈ 2,82
2
d ' où : x 2 = 3 x 2 + 3 x
⇔
0 = 2 x 2 + 3 x = x ( 2 x + 3)
⇔
x = 0∉ D
3
x = − ∉D
2
S =∅
2e 2 x − 5e x + 2 = 0
i)
Domaine :
ii )
Résolution :
a)
D=\
Posons : t = e x > 0
⇒ 2t 2 − 5t + 2 = 0
b)
iii )
10)
d ' où : 2 x ( 3 − x ) = 1
⇔
1
2
⇔
t2 = e x = 2
⇔
Revenons à x : t1 = e x =
Solution :
S = {− ln 2;ln 2}
Domaine :
Résolution :
D=\
1
ou t2 = 2
2
1
x = ln = − ln 2
2
t1 =
x = ln 2
3e2 x − 2 = 5e x
i)
ii )
a)
Posons : t = e x > 0
⇒ 3t 2 − 5t − 2 = 0
Revenons à x : t2 = e x = 2
Solution :
S = {ln 2}
b)
iii )
ou
1
t1 = − < 0
3
t2 = 2
⇔
x = ln 2
⇔
à rejeter !
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Résolution - Exercice 2: Résoudre dans \ les inéquations exponentielles/ logarithmiques suivantes:
Remarque: Dans tous les exercices sur les inéquations, l'ensemble E qui apparaîtra, sera toujours la
solution à l'inéquation (*) qui surgit au cours de cet exercice, en ne considérant pas le
domaine d'existence de l'inéquation de départ.
1)
4 − ex ≥ 1
i)
Domaine :
D=\
ii )
Résolution :
3N ≥ eNx ⇔ ln 3 ≥ x
iii )
Solution :
S = ]−∞;ln 3[
Domaine :
D=\
ii )
Résolution :
1
1
< eNx ⇔ ln < x
5 >0
5
N
iii )
Solution :
S = ]− ln 5; +∞[
Domaine :
D = \ +0
>0
2)
1 − 3e x < 2e x
i)
>0
⇔
− ln 5 < x
>0
3)
8 − 4ln x < −1
i)
9
4)
ii )
Résolution :
iii)
Solution :
ln x 2 − 2 > 7
i)
ii)
Domaine :
D = \0
Résolution :
ln x 2 > 9
•
••
•••
iii )
4
9
< ln x ⇔ e < x
4
4

S =  e9 ; +∞ 


Racines :
Tds :
x 2 > e9 ⇔
⇔
x = −e
9
2
x=e
−e
x
x 2 − e9
+
0
9
2
(*)
9
2
e
−
x 2 − e9 > 0
9
2
0
+
9

 92

2 
E =  −∞; −e  ∪  e ; +∞ 

 

Solution :
9

2
S = D ∩ E =  −∞; −e

  92

 ∪  e ; +∞ 
 

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5)
2ln ( 2 x − 1) − ln ( 5 − 2 x ) − ln 2 ≤ 0
i)
ii )
1 5
D= ; 
2 2
Conditions :
2x −1 > 0
1
x>
2
Résolution :
Domaine :
••
ln
2
ln ( 2 x − 1) ≤ ln 2 ( 5 − 2 x )
∀x ∈ D :
•
5 − 2x > 0
5
>x
2
( 2 x − 1)2 ≤ 2 ( 5 − 2 x )
⇔
bij /
⇔
4 x 2 − 4 x + 1 − 10 + 4 x ≤ 0
⇔
4 x2 − 9 ≤ 0
3
x=−
2
Racines :
x=
−
x
Tds :
(*)
4 x2 − 9 +
3
2
3
2
3
2
−
0
0
+
3 3


E =  −∞; −  ∪  ; +∞ 
2 2


1 3
iii )
Solution :
S = D∩E = ; 
 2 2
24 + ln ( 3 − x ) ≤ ln ( x + 1) + ln ( 25 x − 49 )
•••
6)
i)
 49 
D =  ;3
 25 
Conditions :
3− x > 0
Domaine :
3> x
ii)
x +1 > 0
25 x − 49 > 0
49
x>
25
x < −1
Résolution :
∀x ∈ D :
ln  24 ( 3 − x )  ≤ ln ( x + 1)( 25 x − 49 )
ln
⇔
bij /
•
••
⇔
72 − 24 x ≤ 25 x 2 − 24 x − 49
⇔
0 ≤ 25 x 2 − 121 (*)
Racines :
Tds :
24 ( 3 − x ) ≤ ( x + 1)( 25 x − 49 )
x=−
11
5
x
25 x 2 − 121 +
11
2
11
−
5
x=
0
11
5
−
0
+
11   11


E =  −∞; −  ∪  ; +∞ 
5
5

 

11
3

Solution :
S = D∩E = ; 
 5 2
•••
iii )
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7)
)
(
ln x 2 − 4e2 < 1 + ln 3x
i)
Domaine :
D = ]2e; +∞[
x 2 − 4e 2 > 0
Conditions :
•
Racines : x = −2e
••
Tds :
−2e
x 2 − 4e 2
+
ln
+
0
x 2 − 4e 2 < 3ex ⇔
bij /
•
Racines :
∆ = 25e2
••
Tds :
x 2 − 3ex − 4e2
•••
E = ]−e;4e[
Solution :
−
0
)
(
ln ( x 2 − 4e2 ) < ln 3ex
⇔
iii )
2e
ln x 2 − 4e2 < ln e + ln 3 x
⇔
8)
x = 2e
x
Résolution : ∀x ∈ D :
ii)
x>0
x 2 − 3ex − 4e2 < 0
x = −e
x = 4e
−e
x
+
(*)
4e
−
0
+
0
S = D ∩ E = ]2e;4e[
)
(
ln − x 2 + 4 x + 5 > 0
i)
D = ]−1;5[
Domaine :
Conditions :
− x2 + 4 x + 5 > 0
Racines : x = −1
x=5
•
••
ii )
Tds :
Résolution :
−1
5
0
+ 0 −
− x2 + 4 x + 5 −
)
(
ln − x 2 + 4 x + 5 > ln1
∀x ∈ D :
ln
⇔
bij /
− x2 + 4 x + 5 > 1
⇔
− x2 + 4 x + 4 > 0
•
Racines : ∆ = 32 x = −2
••
Tds :
•••
iii )
x
Solution :
(*)
(
x=2
(
2
−2
x
− x 2 − 3ex − 4e 2
)
2 − 1 ≈ −0,82
)
2 −1
−
0
) ( 2 + 1)
S = D ∩ E =  −2 ( 2 − 1) ;2 (

2 +1 

E =  −2

(
+
(
(
)
2 + 1 ≈ 4,82
)
2 −1
0
−
2 − 1 ;2
)
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9)
)
(
ln 2 x 2 − 3 x − 5 ≤ 2ln 2
5

D = ]−∞; −1[ ∪  ; +∞ 
2

i)
Domaine :
ii )
Résolution :
)
(
(
∀x ∈ D : ln 2 x 2 − 3 x − 5 ≤ ln 22 ⇔
ln
⇔
bij /
iii )
10)
)
ln 2 x 2 − 3 x − 5 ≤ ln 4
2 x2 − 3x − 5 ≤ 4 ⇔
2 x 2 − 3x − 9 ≤ 0
 3 
E =  − ;3
 2 
 3
 5 
S = D ∩ E =  − ; −1 ∪  ;3
 2
 2 
Solution :
)
(
ln 2 x 2 + 3x + 2 > 2ln ( x + 1)
i)
D = ]−1; +∞[
Domaine :
Conditions :
ii )
Résolution :
2 x 2 + 3x + 2 > 0
⇔
x +1 > 0
)
(
∀x ∈ D : ln 2 x 2 + 3x + 2 > ln ( x + 1)
ln
⇔
bij /
iii )
Solution :
2
2 x 2 + 3x + 5 > ( x + 1)
∆<0
⇒
∆ < 0 toujours le signe de a = 2
x > −1
2
⇔
x2 + x + 4 > 0
( *)
E=\
S = D ∩ E = ]−1; +∞[
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