Introduction de la fonction réciproque de la fonction exponentielle
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Introduction de la fonction réciproque de la fonction exponentielle
1E Cours de Mathématiques 2008 _______________________________________________________________________________________ Introduction de la fonction réciproque de la fonction exponentielle Dans les classes antérieures, nous avons rencontré déjà maintes fois la notion de fonction réciproque d'une fonction donnée. Dans certains cas, il a fallu limiter le domaine de la fonction initiale pour que la fonction devienne une bijection. En voici quelques exemples illustrant la notion de fonction réciproque: 1) Pour résoudre une équation de la sorte: x 2 = 4 ( avec x ≥ 0) , nous avons eu recours à la racine x 2 = 4 ( x ≥ 0) ⇔ carrée: x2 = 4 ( x ≥ 0) ⇔ x=2 ( x ≥ 0) La fonction racine carrée est donc la fonction réciproque de la fonction quadratique définie sur \ + . f : \+ → \+ : x → f ( x ) = y = x2 f −1 : \ + → \ + : y → f ( y ) = x = y 2) Pour résoudre une équation de la sorte: x3 = 8 ( x ≥ 0) , nous avons eu recours à la racine cubique: x3 = 8 ( x ≥ 0) ⇔ 3 3 3 x = 8 ( x ≥ 0) ⇔ x=2 ( x ≥ 0) La fonction racine cubique est donc la fonction réciproque de la fonction puissance 3 définie sur \ + . f : \ + → \ + : x → f ( x ) = y = x3 f −1 : \ + → \ + : y → f ( y ) = x = 3 y En représentant les graphes de ces fonctions réciproques sur le même repère que celui des fonctions initiales (il faut échanger x et y dans la donnée des fonctions réciproques), on arrive facilement à constater que le graphe d'une fonction réciproque est le symétrique du graphe de la fonction initiale par rapport à la première bissectrice (droite d'équation y = x ). S'il est aisé de résoudre des équations exponentielles du type: 2 x = 8 2x = 8 ⇔ 2 x = 23 fonction ⇔ bijective x=3 FonctionsReciproquesGraphiquement.ggb il s'avère plus compliqué de résoudre des équations du type: ex = 5 . Pour y arriver, il faut impérativement passer par la fonction réciproque de la fonction exponentielle à base e, fonction que nous allons apprendre à connaître à partir de son graphe, construit point par point en prenant le symétrique de la fonction exponentielle à base e par rapport à la première bissectrice. _______________________________________________________________________________________ Beran - EFGFctExponentielleReciproque Fonctions exponentielles -1- 1E Cours de Mathématiques 2008 _______________________________________________________________________________________ De cette manière, nous en découvrons les premières propriétés: Fonction exponentielle à base e • • • • • f : \ → \ +0 AH ≡ y = 0 pour x → −∞ Fonction bijective monotone croissante Point caractéristique: F ( 0;1) f '( x) = ex > 0 Fonction réciproque: Fonction logarithme à base e • • • • • f : \ +0 → \ AV ≡ x = 0 Fonction bijective monotone croissante Point caractéristique: F (1;0 ) f '( x ) > 0 Découvrons et "démontrons" ensuite graphiquement l'expression de la fonction dérivée de la fonction logarithme naturel. Pour y arriver, nous procédons de la manière suivante: • Sur la courbe de la fonction ln, nous construisons un point A ( x A ;ln ( x A ) ) . • • • • • Nous traçons la tangente à la courbe en A et nous calculons la pente m A de la courbe en ce point. Nous construisons ensuite un point B ( x A ; m A ) dont l'abscisse est celle de A et l'ordonnée est donnée par la pente m A de la fonction ln au point A. En activant la trace de B par rapport au point A, nous arrivons à reporter sur le graphe la suite des nombres dérivées en A, A bougeant sur la courbe de la fonction ln. L'allure de cette trace rappelle le graphe de la fonction inverse pour des x positifs. Nous pouvons contrôler notre hypothèse en faisant tracer le graphe de la fonction inverse 1 f : \ +0 → \ : x → . Nous constatons alors que tous les points de la trace de B se situent sur cette x 1 courbe, ce qui "démontre" graphiquement notre hypothèse. Conclusion: ∀x ∈ \ +0 : ( ln x )′ = x IntroductionDeriveeLNfin.ggb _______________________________________________________________________________________ Beran - EFGFctExponentielleReciproque Fonctions exponentielles -2-