docproduits scalaires et vectoriels
download 
Plainte Transcription
produits scalaires et vectoriels
PRODUITS SCALAIRES ET VECTORIELS 1. Formule du produit scalaire de deux produits vectoriels. → → − − → − → − Soit quatre vecteurs A , B , C , D de E = R3 . On veut montrer que − → →− − → →− → − − →− → − → < A , C > < B , C > < A ∧ B , C ∧ D >= − →− → →− − → . < A , D > < B , D > → − − → a) Montrer que la formule est vraie si A et B sont colinéaires. → − − → → − − → − → b) On suppose que les vecteurs A et B sont orthogonaux et de norme 1. On pose K = A ∧ B . En → − − → →− − →− → écrivant les vecteurs C et D dans la base ( A , B , K ), montrer que la formule est vraie dans ce cas. → − − → c) On suppose que les vecteurs A et B forment un système libre. On pose → − − → A I = → − kAk puis −0 − → → →− − → − → J = B− < B, I > I et →0 − − → J J = → −0 kJ k → − → − Vérifier que les vecteurs I et J sont orthogonaux et de norme 1. En utilisant les vecteurs précédents, montrer que la formule est encore vraie dans ce cas. 2. Procédé d’orthonormalisation de Schmitt. →− − →− → − − → →− → Soit ( A , B , C ) une base de E. on construit trois nouveaux vecteurs ( I , J , K ) de la manière suivante → − → − A I = − → kAk puis −0 − → → →− − → − → J = B− < B, I > I et →0 − − → J J = → −0 kJ k enfin −0 − → → →− − → − → →− − → → − K = C− < C, I > I − < C,J > J et →0 − − → K K= − →0 kK k →− − →− → a) Montrer que ( I , J , K ) est une base orthonormée, et qu’elle a la même orientation que la →− − →− → base ( A , B , C ). → − − − → → − → b) Que vaut le vecteur K 0 si ( A , B ) est un système libre et si C appartient au plan qu’ils engendrent? 1 2 Corrigé → − → − 1. a) Si A et B sont colinéaires le membre de gauche est nul. → − → − − → → − Si A est nul, les deux membres sont nuls. Si A n’est pas nul, il existe λ tel que B = λ A − −→ − → → − →− → →− − → →− < A , C > < λA, C > < A , C > λ < A , C > − −→ − →− → →− − → =0, →− → → = − < A , D > < λA, D > < A , D > λ < A , D > car le déterminant a deux colonnes proportionnelles. → − − → →− − →− → b) Si A et B sont orthogonaux et de norme 1, la base ( A , B , K ) est orthonormée directe. Alors, on a → − →− − → − → →− − → − → →− − → − → C =< C , A > A + < C , B > B + < C , K > K , et − → →− − → − → →− − → − → →− − → − → D =< D , A > A + < D , B > B + < D, K > K . On a donc → − − →− → − → → − − →− → →− − →− → < A ∧ B , C ∧ D >=< C ∧ D, K >= ( C , D, K ) , →− − →− → et puisque la base ( A , B , K ) est orthonormée directe, le produit mixte est donné par le déterminant − → − →− − → < → C , A > < D, A > 0 →− − →− → →− → →− − → − ( C , D , K ) = < C , B > < D, B > 0 , − → − →− − → < → C , K > < D, K > 1 et en développant par rapport à la dernière colonne − → →− − → →− →− − →− → < C , A > < D, A > ( C , D ,K ) = − →− → − − → → , < C , B > < D, B > ce qui donne le résultat voulu. c) Lorsque l’on divise un vecteur non nul par sa norme, on obtient un vecteur de norme 1. Les → − → − vecteurs I et J sont donc de norme 1. Il reste à voir qu’ils sont orthogonaux. On a → − − − → → → J0 − < I ,J > = < I , − → > k J 0k →− − → →− − → − → 1 = →0 < I , B − < B , I > I > − kJ k →− − → →− − → →− − → 1 = →0 (< I , B > − < B , I >< I , I ) >) . − kJ k → − →− − → →− − → Mais puisque I est de norme 1, on a < I , I >= 1, et donc < I , J >= 0. Les vecteurs sont orthogonaux. On a donc − → → − − → A = kAk I et − → → − →− − → − → B = J 0+ < B , I > I , 3 donc en utilisant la bilinéarité du produit vectoriel, − − → → → − − → → − →− − → − → A ∧ B = (k A k I ) ∧ ( J 0 + < B , I > I ) → − − → − → − → →− − → − → = k A k( I ∧ J 0 + I ∧ (< B , I > I )) Mais le produit vectoriel de droite est nul puisque les vecteurs sont colinéaires, donc − − → → → − − → − → − → − → − → − → A ∧ B = k A k I ∧ J 0 = k A k k J 0k I ∧ J , et finalement → − − →− → − → → − − → → − − →− → − → < A ∧ B , C ∧ D >= k A k k J 0 k < I ∧ J , C ∧ D > . Calculons maintenant l’autre membre. Posons − → →− − → →− < A , C > < B , C > S= − →− → − − → → . < A , D > < B , D > On a donc → − − →− → →0 − →− − → − →− → < k A k I , C > < J + < B , I > I , C > S= → − − →− → −0 → →− − → − →− → , < k A k I , D > < J + < B , I > I , D > ou encore − →− − → → − − → →− − → →− − → → k A k < I , C > < J 0 , C > + < B , I >< I , C > S= − → →− − → − − → → →− − → →− − → . k A k < I , D > < J 0 , D > + < B , I >< I , D > En utilisant la multilinéarité du déterminant, on obtient encore − →− − → →− − → → − →− − → →− − → →− − → → k A k < I , C > < J 0 C > k A k < I , C > < B , I >< I , C > S= − → →− − → →− − → + − → →− − → − − → → →− − → . k A k < I , D > < J 0 D > k A k < I , D > < B , I >< I , D > Mais le déterminant de droite a deux colonnes proportionnelles. Il est donc nul, et − →− − → →− − → → k A k < I , C > < J 0 C > S= − → →− − → →− − → . k A k < I , D > < J 0 D > → − ce qui donne finalement en remplaçant en fonction de J , − →− − → − →0 →− − → → k A k < I , C > k J k < J C > S= − → →− − → →0 − →− − → , k A k < I , D > k J k < J D > et finalement − →− → →− − → − − → →0 < I , C > < J C > S = kAk k J k → − − → →− − → . < I , D > < J D > − → → − Mais puisque les vecteurs I et J sont orthogonaux et de norme 1, on a d’après b) − → →− − → →− − → − →− → − → < I , C > < J C > − →− → →− − → =< I ∧ J , C ∧ D > . < I , D > < J D > On obtient donc finalement que → − − → → − − →− → − → S = k A k k J 0k < I ∧ J , C ∧ D > , 4 → − − →− → − → et l’on retrouve < A ∧ B , C ∧ D >, ce qui démontre la formule dans le cas général. → − → − 2. a) On a vu dans l’exercice précédent c) que les vecteurs I et J sont orthogonaux et de → − norme 1. Le vecteur K est également de norme 1. Il reste à voir qu’il est orthogonal aux deux autres. → − →− − → → K0 − < I ,K > = < I , − → > kK 0k → − − → →− − → − → →− − → − → 1 = →0 < I ,( C − < C , I > I − < C , J > J ) > − kK k →− − → →− − → →− − → →− − → →− − → 1 = →0 (< I , C > − < C , I >< I , I > − < C , I >< I , J >) − kK k Mais →→ − − < I , I >= 1 et →− − → < I , J >= 0 , →− − → On en déduit que < I , K >= 0. Enfin → − →− − → → K0 − < J ,K > = < J , − → > kK 0k → − − → →− − → − → →− − → − → 1 = →0 < J ,( C − < C , I > I − < C , J > J ) − kK k →− − → →− − → →− − → →− − → →− − → 1 = →0 (< J , C > − < C , I >< J , I > − < C , J >< J , J >) . − kK k Mais →− − → < J , J >= 1 et →− − → < I , J >= 0 . →− − → On en déduit que < J , K >= 0. → → − − − → − − → →− → Ecrivons les vecteurs A , B et C dans la base ( I , J , K ). On a − → → − − → A = kAk I − → → → − − →− − → − → B = k J 0k J + < B , I > I − → → − − → →− − → − → →− − → − → C = kK 0k K + < C , I > I + < C , J > J La matrice de passage est donc → − →− − → →− − → kAk < B, I > < C , I > − → − − → → P = 0 k J 0k < C , J > , → − 0 0 kK 0k et son déterminant → − − → − → det P = k A k k J 0 k k K 0 k , est positif. →− − →− → − → → − − → Les bases ( I , J , K ) et ( A , B , C ) ont donc la même orientation. 5 → − − → − → − → b) Les vecteurs I et J forment une base orthonormée du plan engendré par A et B . Alors − → →− − → − → →− − → − → C =< C , I > I + < C , J > J , → − → − et K 0 = O . 6
