Électrisation d`une bulle de savon

Chapitre 21– Exercice 9
Électrisation d’une bulle de savon
1. L’équation simple reliant p1 à r1 est la loi de Mariotte sur les gaz parfaits :
pV = nRT = Cte
d’où pr3 = Cte
La relation demandée est p1 − p0 = 4g/a1 (cf. chapitre 21).
2. Lorsqu’on électrise la bulle, les charges qui sont de même signe ont tendance à se repousser, ce qui entraînera probablement une augmentation du rayon de la bulle. Le théorème de l’énergie appliquée à la bulle donne :
d(Ek + Ep,s + Ep,e ) = dW nc = (p − p0 )4pr2 d r
Il en résulte, si d Ek ≈ 0 :
16prg d r −
Q20
dr
8pε0 r2
avec
Ep,s = gA = 2 × pr2 g et
= (p − p0 )4pr2 d r
soit p − p0 =
Ep,e =
Q20
Q20
=
2C
8pε0 r
4g
Q20
−
r
8pε0 r4
3. Éliminons p0 entre cette dernière relation et l’équation analogue en l’absence d’électrisation, on obtient :
p − p1 = 4g
1
1
−
r
r1
−
ε0 V 2
2r2
en introduisant V = Q0 /(4pε0 r) . Comme pr3 = p1 r13 , il vient :
r3
ε0 V 2 r
= 4g r2 −
2
r1
+ p1 (r3 − r13 )
soit
ε0 V 2 r
p1
= 4g r2 − r12
2
p
+ p1 (r3 − r13 )
Comme p0 ≈ p1 ≈ p ≈ 1 bar , on trouve, de façon approchée :
ε0 V 2 r
= 4g(r2 − r12 ) + p0 (r3 − r13 ) = (r − r1 )[4g(r + r1 ) + p0 (r2 + r1 (r + r1 )]
2
On en déduit bien que le rayon de la bulle augmente lorsqu’on l’électrise. La présence de ε montre que l’augmentation de r est faible ; la variation relative de rayon est donc :
ε0 V 2
ε0 V 2
Dr
=
≈
r1
16gr1 + 6p0 r12
6p0 r12
puisque
16gr1 6p0 r12
Numériquement, on trouve, pour r1 = 5 cm :
Dr
ε0 V 2
≈
r1
6p0 r12
d’où
Dr
= 0, 1 si
r1
V = 4 MV