Université de Bourgogne Année 2013-2014 L2

Université de Bourgogne
UFR Sciences et Techniques
Année 2013-2014
L2 - UV Probabilités
Première feuille de TD
Dénombrements
Exercice 1 Digicode Combien de codes à 4 chiffres peut-on faire si on impose que tous les chiffres soient
différents ? Si on ne l’impose pas ? Si on permet les répétitions, mais pas sur des chiffres consécutifs (i.e. on
autorise 1413 mais pas 1134) ?
Si on sait que les chiffres du code sont 1, 4, 7 et 8, combien y a-t-il de codes possibles avec chacune de
ces contraintes ?
Exercice 2 Clés Une personne dispose d’un trousseau de n clefs parmi lesquelles une seule ouvre la porte.
Elle essaie les clefs au hasard l’une après l’autre. Quelle est la probabilité pk pour qu’elle ouvre la porte au
kième essai ?
Exercice 3 Harry Potter On permute les 8 DVD de H.P. pour les ranger sur une étagère. Quelle est la
probabilité que tous les films soient dans le bon ordre ?
Quelle est la probabilité que les épisodes 5 et 6 soient à côté l’un de l’autre ? Quelle est la probabilité
qu’ils se suivent dans l’ordre ?
Exercice 4 Concours Dans le télé-crochet ’Nouvelle Académie’ n candidats s’affrontent pour une place en
finale. Comment peut-on choisir Ω :
– si l’on s’intéresse à l’ordre d’élimination de tous les candidats ?
– si l’on s’intéresse aux finales possibles (de deux personnes) ?
– si l’on s’intéresse au trio de tête ?
Exercice 5 Auberge Arthur, Lancelot, Perceval et Caradoc dorment à l’auberge et laissent leurs bottes dans
la grande salle. Le matin, pas bien réveillé, Perceval prend deux bottes au hasard. Quelle est la probabilité :
1. que ce soit les siennes ?
2. qu’elles appartiennent toutes les deux à la même personne ?
3. qu’elles forment une paire (botte gauche, botte droite) ?
Exercice 6 Enigma
1. Pendant la seconde guerre mondiale, une grande partie des communications militaires de l’Allemagne
était chiffré à l’aide d’une machine appelée Enigma. Cette machine utilise, entre autres éléments, des
roues amovibles (appelées rotors). Il y a 3 emplacements pour mettre les rotors, et 5 rotors disponibles
(notés de A à E). Combien de répartitions sont possibles ?
2. (plus difficile. . . ) Le choix des rotors changeait chaque jour. Pour rendre les choix “plus imprévisibles”,
certains officiers éliminaient d’office les répartitions où un rotor restait à la place qu’il occupait la
veille : par exemple, si les rotors choisis un jour étaient “AEC”, il était impossible d’avoir le lendemain
le rotor “A” en première position. Combien de répartitions étaient alors possibles ? Qu’en pensez-vous ?
Exercice 7 Bouteilles Dans sa cave, Léon a 5 bouteilles d’aligoté, 3 bouteilles de Chorey-lès-Beaune, et 2
de Fixin. Un soir où la lumière est en panne, il prend quatre bouteilles au hasard. Quelle est la probabilité :
1
1. qu’il rapporte deux bouteilles d’aligoté, une de Chorey et une de Fixin ?
2. qu’il ne rapporte aucune bouteille de Fixin ?
3. qu’il rapporte au moins une bouteille de chaque vin ?
Exercice 8 Casino Doyle joue à la machine à sous. La machine a trois roues, et chaque roue a vingt
symboles. Sur la première et la troisième roue, il y a un symbole cloche. Sur la roue du milieu, il y en a neuf.
La machine, quand elle s’arrête, montre un symbole de chaque roue. Si trois cloches apparaissent, Doyle
touche le jackpot. Si seulement deux cloches apparaissent, il gagne aussi mais pas le jackpot.
– Quelle est la probabilité de toucher le jackpot ?
– Quelle est la probabilité d’avoir deux cloches, mais pas trois ?
– Pour un nouveau choix de roues avec respectivement 3, 1, et 3 cloches, comment les probabilités
évoluent-elles ?
– A la place de casino, quelle répartition choisiriez-vous ?
Exercice 9 Chaque pot a son couvercle Josette a 6 pots, deux blancs, deux rouges et deux avec des étoiles,
ainsi que les couvercles qui vont avec. Félix, pas plus réveillé que Perceval, distribue aléatoirement les six
couvercles sur les six pots. Quelle est la probabilité qu’aucun pot ne retrouve un couvercle assorti ?
Exercice 10 Anniversaires Combien faut-il rassembler de personnes pour avoir plus d’une chance sur deux
que deux d’entre elles aient le même anniversaire ?
Exercice 11 Dallas Dans l’épisode 2783 de la série Dallas, J.R. Ewing meurt. Ses trois fils se disputent
son héritage. Les biens à partager sont un ensemble de 14 derricks situés dans 14 comtés différents, et sept
Mercedes–Benz vertes, totalement indistinguables les unes des autres.
1. De combien de façons les trois fils peuvent-ils se répartir les derricks ?
2. Qu’en est-il pour les voitures ?
3. Dans l’épisode 2784, on apprend que J.R. a fait un testament : il veut que chacun de ses fils récupère
au moins une voiture. Combien de répartitions sont alors possibles ?
Exercice 12 Bridge Patrick délaisse le poker pour faire une partie de bridge. On lui distribue 13 cartes
(d’un jeu de 52).
1. Quelle est la probabilité d’obtenir 13 cartes de la même couleur ?
2. Montrer que la probabilité d’obtenir une répartition équilibrée (4,3,3,3) (4 cartes de Trèfle, 4 de
Carreau, etc.) est supérieure à celle d’obtenir (4,4,3,2) avec le même ordre de couleurs.
3. Montrer que, si l’on ne spécifie pas les couleurs, une répartition (4,4,3,2) est plus probable qu’une
répartition équilibrée (4,3,3,3).
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