estimation du budget alloue a la garantie bidimensionnelle d`un

8e Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
« Evaluation et optimisation des systèmes innovants de production de biens et de services »
ESTIMATION DU BUDGET ALLOUE A LA GARANTIE
BIDIMENSIONNELLE D’UN PRODUIT
F. BEN HMIDA
S. KHALFA, A. CHELBI
C3S / ESSTT
5 Avenue Taha Hussein, BP 56
Bab Menara, 1008 Tunis - Tunisie
[email protected]
CEREP / ESSTT
5 Avenue Taha Hussein, BP 56
Bab Menara, 1008 Tunis - Tunisie
[email protected], [email protected]
RESUME : Ce travail porte sur l’estimation du coût prévisionnel de garantie pour le cas d’une garantie bidimensionnelle de type FRW (Free Replacement Warranty) à offrir pour un produit sujet à des défaillances aléatoires. Pour cela,
nous proposons une méthode basée sur la théorie de renouvellement bi-variée. Un nouvel algorithme d’évaluation de la
fonction de renouvellement bi-variée est développé afin d’estimer a priori le coût total moyen des réparations dans la
zone bidimensionnelle de garantie. La méthode de calcul proposée s’applique à toutes les distributions usuelles bivariées contrairement aux méthodes de calcul existantes dans la littérature qui se limitent généralement à la distribution exponentielle bi-variée (BVE : Bi-varied Exponential). Afin d’illustrer notre approche, nous présentons des résultats obtenus dans le cas de produits dont les défaillances sont distribuées selon une loi de Weibull bi-variée.
MOTS-CLES : Politique de garantie FRW, Coût de garantie prévisionnel, Garantie bidimensionnelle, fonction de
renouvellement bi-variée, distribution de Weibull bi-variée.
1
INTRODUCTION
De nos jours, la garantie est devenue un argument de
vente et un pré-requis pour la commercialisation des
produits. Les garanties sont une partie intégrale de
presque tout type de commerce et beaucoup de gouvernements l’exigent lors des transactions commerciales.
D’une façon générale, le but d’une garantie est d’établir
la responsabilité entre les deux parties (fabricant et acheteur) au cas où le produit tombe en panne.
Dans ce contexte global de relations commerciales entre
les clients et les constructeurs, ces derniers se doivent
d’estimer à l’avance avec assez de précision le budget
qui sera nécessaire à la couverture offerte par la garantie
de leurs produits une fois mis sur le marché. Afin
d’estimer ce budget, ils doivent nécessairement pouvoir
prédire le nombre de pannes de leurs produits durant la
période de garantie tout en estimant les coûts de réparation ou de renouvellement suite à chaque panne.
Diverses politiques de garantie ont été proposées et étudiées dans la littérature.
(Murthy et Blischke, 1992) ont proposé une taxonomie
pour intégrer ces politiques. Nous pouvons grouper ces
travaux selon deux grandes familles suivant la dimension
de la garantie (1 dimension (1D) et deux dimensions
(2D)).
Les politiques de garantie à une dimension (1D) se basent généralement soit sur l’âge du système (en heures
ou en mois ou en années ou autres) ou sur son usage (en
kilomètres, en nombre de pièces produites ou autres).
Des revues bibliographiques sur ce type de stratégies
unidimensionnelles se trouvent dans (Murthy, 1990) et
(Murthy et Blischke, 1992).
Les politiques de garantie à deux dimensions (2D) se
basent en général simultanément sur l’âge du système et
sur son usage. La notion de région ou de zone de garantie est généralement utilisée pour modéliser ces stratégies. C’est à ce type de politique que nous nous intéresserons particulièrement dans le présent travail.
Il existe plusieurs modes de financement du coût de garantie. Ce coût peut être couvert soit par le fabricant, soit
par le fabricant et le consommateur ensembles. Les deux
types les plus connus sont les suivants :
- FRW (Free Replacement Warranty) : ce type de couverture suggère que toutes interventions correctives effectuées durant la période de garantie sont à la charge du
fabricant.
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- Les stratégies de garantie de type PRW (Pro Rata
Warranty) suggèrent que les coûts de maintenance durant
la période de garantie sont supportés conjointement par
le consommateur et le fabricant selon une évolution des
coûts proportionnelle aux dates des actions de maintenance durant la période de garantie. Plus la défaillance
du composant se produit tôt, plus le pourcentage du coût
supporté par le fabricant est élevé.
Ce travail porte sur la problématique de l’estimation du
budget alloué par le fabriquant à la garantie de type
FRW. L’objectif général consiste à développer un outil
d’estimation des budgets alloués à la garantie bidimensionnelle en se basant sur un modèle mathématique
d’estimation du coût moyen prévisionnel de garantie.
L’intérêt porté sur le cas de la garantie bidimensionnelle
est justifié par la complexité inhérente au traitement de
ce type de garantie d’une part, et au manque d’outils de
calcul constaté dans la littérature à ce jour. En effet,
l’estimation du coût requiert essentiellement le recours
au calcul de la fonction de renouvellement bi-variée qui
correspond au nombre moyen de pannes du produit dans
la zone bidimensionnelle de garantie. Celle-ci étant basée par exemple sur le temps et le nombre de kilomètres
parcourus ou le nombre d’heures de vol ou le nombre
d’heures de fonctionnement ou autres. Pour cela, nous
proposons d’étendre les travaux de (Chelbi et Ait-Kadi,
2000) qui ont travaillé sur l’estimation de la fonction de
renouvellement à une dimension. L’avantage majeur de
la méthode proposée est qu’elle s’applique à toutes les
distributions usuelles bi-variées contrairement aux méthodes de calcul existantes dans la littérature qui se limitent uniquement au cas de la distribution exponentielle
bi-variée BVE et au cas de la distribution Beta Stacy
(Iskander, 1991 et Murthy et al., 1995). A noter que
(Manna et al., 2008) parlent de l’utilisation de la simulation pour calculer la fonction de renouvellement bivariée.
Ainsi, il s’agira de doter les constructeurs d’un outil de
calcul qui leur permettra d’effectuer a priori des simulations afin d’analyser et d’anticiper rapidement et efficacement les effets des facteurs suivants sur le coût prévisionnel de la garantie :
- la zone bidimensionnelle de garantie à offrir au consommateur,
- la fiabilité prévisionnelle de leurs produits et par conséquent le nombre de pannes estimées durant la période de garantie,
- les coûts de renouvellement de leurs produits suite
aux pannes durant cette même période ou plus précisément à l’intérieur de la zone de garantie à deux dimensions.
Dans la section 2, nous commencerons par une formulation du problème. La section 3 sera dédiée à la présentation d’une nouvelle méthode de calcul numérique de la
fonction de renouvellement bi-variée. Pour illustrer
l’intérêt de cette méthode de calcul, nous proposons dans
la section 4 une estimation du coût de garantie bidimen-
sionnelle dans le cas de produits dont les défaillances
aléatoires sont distribuées selon une loi de Weibull bivariée. Enfin, la conclusion générale de ce travail fera
l’objet de la section 5.
2
POSITION DU PROBLEME
Nous considérons ici la garantie bidimensionnelle de
type FRW (Free Replacement Warranty) offerte par un
constructeur pour un produit sujet à des défaillances
aléatoires.
La politique de garantie considérée est celle étudiée par
(Murthy et Blishke, 1992) et qui stipule ce qui suit :
l’équipement n’est plus couvert par la garantie à partir du
moment où son âge dépasse la valeur T ou que son usage
dépasse l’usage U. Ainsi, la zone de garantie bidimensionnelle est donnée par ([0, T] x [0, U]) et la fonction du
coût de garantie correspondante est la suivante (Kim et
Rao, 2000) :
EC A (T , U ) = cM (T , U )
(1)
EC A représente le coût total moyen prévisionnel de la
garantie, c représente le coût fixe de chaque remplacement suite à la défaillance du produit à l’intérieur de la
zone de garantie et M(T, U) représente le nombre moyen
de remplacements suite à une panne effectués dans la
zone de garantie (fonction de renouvellement bidimensionnelle de l’équipement en question).
Désignons par C le budget à allouer à la garantie par le
constructeur. Afin d’estimer les paramètres de garantie
qui respectent la contrainte budgétaire C, il suffit de calculer la fonction de renouvellement M(T, U) et de chercher l’ensemble des valeurs optimales ( T ∗ , U ∗ ) qui
maximisent la zone de garantie bidimensionnelle et pour
lesquelles EC A demeure inférieur ou égal à C. Ceci
pour un coût de remplacement c donné.
Ainsi, la difficulté majeure qui existe à ce niveau réside
dans le calcul ou l’estimation de la fonction de renouvellement bidimensionnelle M(T, U) pour un équipement
donné. (Kim et Rao, 2000) ont proposé une méthode
d’approximation de cette fonction pour le cas particulier
de systèmes ayant des fonctions de distribution des défaillances bi-variées exponentielles de type BVE (Bivaried Exponential). Dans ce travail, nous proposons un
algorithme de calcul numérique de cette fonction de renouvellement bidimensionnelle pour n’importe quels
systèmes ayant n’importe quelle fonction de distribution
bi-variée F(t,u) associée à l’âge et à l’usage du produit.
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3
METHODE DE CALCUL NUMERIQUE DE
M(T, U)
( H * L)(t , u ) =
(Hunter, 1974) et (Yang, 1999) ont montré que pour
tout t , u ≥ 0 et n ≥ 0 , la fonction de renouvellement bivariée est définie par :
M (t , u ) = E [ N (t , u ) ]
=
∑
∞
n =1
(2)
où N(t, u), M (t , u ) et F ( n ) (t , u ) représentent respectivement la variable aléatoire associée au nombre de renouvellements (défaillances) dans la zone ([0, t] x [0, u]), la
fonction de renouvellement bidimensionnelle et la probabilité que la nième défaillance se produise avant t et u
donnée par le nème produit de convolution de la fonction
de distribution F(t.u) par elle-même.
La fonction de densité de renouvellement bidimensionnelle, notée par m(t , u ) , est obtenue par la dérivée partielle de M (t , u ) . (Yang, 1999) a établi une expression
de m(t , u ) comme suit :
m(t , u ) =
∂2
M (t , u ) =
∂t ∂u
∑
∞
n =1
f ( n ) (t , u )
= f ( t,u ) + ∫0 ∫0 m( t − x,u − y ) f ( x, y )dx dy
t u
(3)
m(t , u ) désigne la probabilité d’un renouvellement à un
*3
point quelconque dans le plan ([0, t] x [0, u]),
et f (t , u ) représente la fonction de densité de probabilité
bi-variée associée à l’âge et à l’usage du produit.
Pour calculer M (t , u ) tout en supposant connaître la
fonction de densité bidimensionnelle f (t , u ) , (Yang,
1999), a établi une autre expression de M (t , u ) en se
basant sur les travaux de (Nachlas, 1998):
∞ t u
M (t , u ) = F (t , u ) +
∑ ∫∫ F
( n)
(t − x, u − y )dF ( x, y ) (4)
L’algorithme de calcul que nous proposons dans ce qui
suit se base sur l’expression de M(t,u) donnée par
l’équation (2) en supposant que les fonctions de densité
et de distribution bi-variées F(t,u) et f(t,u) du produit
sont connues.
Nous rappelons d’abord que le produit de convolution de
deux fonctions H (.) et L (.) ayant deux variables t et u
est donné par :
0
0
∫ ∫ H (t − x, u − y) L( x, y)dxdy
(5)
L’algorithme doit générer récursivement une approximation numérique de chaque membre de la famille de fonc(n)
selon la forme récursive suivante :
⎧ F (1) (t , u ) = F (t , u ) si n = 1
⎪⎪
u t
⎨ ( n +1)
∂ 2 F ( x, y )
(t , u ) =
F ( n ) (t − x, u − y )
si n > 1
⎪F
(6)
∂x∂y
⎪⎩
0 0
∫∫
∂ 2 F ( x, y )
= f ( x, y ) désignant la fonction de densi∂x∂y
té de probabilité.
Pour simplifier le calcul, la représentation de
l’approximation doit être de forme polynomiale. Cette
approximation est faite par morceaux puisque nous visons à approximer une famille de fonctions monotones
bornées qui ne peuvent pas être représentées par un
simple polynôme dans l’intervalle considéré.
avec
Dans le cas monodimensionnel, (Chelbi et Ait-kadi,
2000) ont démontré qu’une méthode de calcul approximatif basée sur les ‘’splines cubiques’ permet de donner
de bons résultats. Ce choix est justifié par le fait que
l’interpolation par « splines cubiques » préserve la monotonie et la positivité. D’où l’idée d’étendre cette technique dans le cas bidimensionnel. Pour cela, nous considérons d’une manière analogue une représentation sous
la forme de ‘’splines bi-cubiques’’ :
L’algorithme ci-dessous donne une approximation de
F ( n ) (t , u ) sous une forme discrète tout en considérant
les valeurs ( m + 1) × ( m + 1) de la fonction aux instants
U
T
t = j × et u = k ×
, pour j, k variant de 0 à m.
m
m
La première opération à effectuer est de calculer
F (1) (t , u ) =
n =1 0 0
L’équation (4) s’appelle l’équation intégrale de la théorie
de renouvellement bidimensionnelle.
t
où (*) représente le produit de convolution.
tions F
F n (t , u )
u
u
t
0
0
∫∫
f ( x, y )dxdy
Il vient alors pour les autres points de procéder au calcul
comme suit :
⎧ F (1) (t , 0) = F (1) (0, u ) = 0
⎪
U
⎨
k×
T
U
m
⎪ F (1) ( j × , k × ) =
0
m
m
⎩
∫ ∫
avec j , k = 0,1,..., m.
j×
0
T
m
f ( x, y )dxdy
(7)
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
Nous choisissons une forme quadratique pour évaluer
l’intégrale double dans la formulation ci-dessus. Nous
emploierons la même technique pour le calcul de F
( n +1)
.
La formule d’intégration choisie doit approximer, le
mieux possible, un polynôme de degré six pour assurer
la symétrie au cas où la fonction de densité est aussi
ajustée par une spline cubique. A cet effet, nous avons
utilisé la formule du Gauss Legendre à 15 points. C’est
une forme quadratique du type Gaussien qui insère, dans
ses points de base, les extrémités de l’intervalle
d’intégration. Les autres points de base sont les racines
de polynôme de Legendre d’ordre (n+1). La formule
suivante a été utilisée :
d
b
c
a
∫∫
f ( x, y )dxdy =(
n
n
⎛
∑∑ ⎜⎜⎝ w w
i
j
i =0 j =0
d −c b−a
)(
)
2
2
⎛ z (b − a) + b + a z j (d − c) + d + c ⎞ ⎞
f ⎜⎜ i
,
⎟⎟ ⎟⎟
2
2
⎝
⎠⎠
⎡ z − zj ⎤
⎥dz
i
j ⎥
j =0
⎦
∫ ∏ ⎢⎢⎣ z − z
j ≠1
Pour calculer F ( n +1) pour tout n≥1, on utilise la formulation suivante :
⎧
T
U
⎪⎪ F ( n +1) ( j T , k U ) =
F ( n) ( x, y ). f ( j − x, k − y ) dx dy
⎨
m m
m
m
0
0
⎪ ( n +1)
( n +1)
=
=
≥
(
,
0)
(0,
)
0
0.
F
t
F
u
pour
n
⎪⎩
U
k
m
∫ ∫
T
j
m
F ( n ) est
cette formulation
T U
points ( j , k ) pour j , k = 0,1,...m .
m m
Dans
définie
aux
Les valeurs intermédiaires requises par la formule de
Gauss Legendre à 15 points sont obtenues par les splines
bi-cubiques d’interpolation.
L’approximation de F ( n ) par des splines bi-cubiques dans
le rectangle ([ 0, T ] × [ 0,U ]) est une fonction Y (n) (.).
Cette fonction est définie par morceaux, soit, en séquence de m×m polynômes cubiques différents Ynjk (un
par
morceau)
dans
les
rectangles
⎛⎡ T
T⎤ ⎡ U
U ⎤⎞
⎜ ⎢ j , ( j + 1) ⎥ × ⎢ k , ( k + 1) ⎥ ⎟ .
m
m
m
m ⎦⎠
⎣
⎦
⎣
⎝
( p +1)
q =0 p =0
U
p
m
∑∑ ∫
U
m
∫
( q +1)
T
m
T
q
m
U
⎛ T
⎞
Y npq ( x, y ) f ⎜ j − x, k − y ⎟ dxdy
m
⎝ m
⎠
∞
Finalement, l’expression de
∑F
(k )
(t , u ) nécessaire pour
k =1
évaluer M F (t , u ) peut être calculée numériquement pour
n’importe quelle fonction de distribution bidimensionnelle en employant la formule récursive donnée par
l’équation (6) jusqu’à ce que la précision désirée soit
atteinte.
En effet, sachant que F ( n ) (t , u ) diminue quand n augn
+1 n
−1
k −1 j −1
mente, nous calculons
où zi sont les points de base et wi représentent les poids
issus de l’interpolation par le polynôme de Lagrange :
wi =
⎛ T U⎞
F ( n +1) ⎜ j , k ⎟ ≈
⎝ m m⎠
∑F
(k )
(t , u ) jusqu’à ce que
k =1
F ( n ) (t , u ) devienne inférieure à une valeur qui conditionne la précision du calcul. Dans notre cas, nous prenons le plus souvent une valeur de l’ordre de 10-4.
Cet algorithme a été programmé sous le logiciel Matlab® et il a été testé sur divers exemples numériques en
considérant les distributions BVE, Bi-Normale et Weibull bi-variée. Dans ce qui suit, nous nous limitons uniquement à la présentation des résultats obtenus dans le
cas d’une distribution de Weibull bi-variée.
4
CAS D’UNE DISTRIBUTION DE WEIBULL
BI-VARIEE
La distribution de Weibull est fréquemment utilisée en
fiabilité. Elle peut être employée dans de nombreuses
applications à causes des diverses formes que prend sa
fonction de densité selon les valeurs données aux paramètres de formes β1et β 2 .
Nous considérons la fonction de densité de probabilité
bi-variée de Weibull telle que définie par (Lu et Bhattacharyya, 1990) :
ββ
f (t, u ) = 1 2
θ1θ 2
⎛ t ⎞
⎜ ⎟
⎝ θ1 ⎠
β1
δ −1
⎛ u ⎞
⎜ ⎟
⎝ θ2 ⎠
β2
β1
β2
⎧
δ
⎛ u ⎞ δ
⎪⎛ t ⎞
× ⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ θ2 ⎠
⎪⎩⎝ θ1 ⎠
δ −1
δ −2
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
δ
β1
β2
⎧⎡
⎫
⎤
δ
⎛ u ⎞ δ⎥
⎪ ⎢⎛ t ⎞
1 ⎪
×⎨ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟
+ − 1⎬
δ ⎪
⎝ θ2 ⎠ ⎥
⎪ ⎢⎣⎝ θ1 ⎠
⎦
⎩
⎭
δ
β
β
⎧ ⎡
2
1
⎤ ⎫
δ
⎛ u ⎞ δ⎥ ⎪
⎪ ⎢⎛ t ⎞
× exp ⎨− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎬
⎝ θ2 ⎠ ⎥ ⎪
⎪ ⎢⎣⎝ θ1 ⎠
⎦ ⎭
⎩
avec t , u > 0 , β1 , β 2 , θ1 , θ 2 > 0 et 0 < δ ≤ 1
(8)
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
Pour les paramètres de forme β1et β 2 , nous considérons
les deux cas suivants :
Afin d’illustrer notre méthode de calcul, nous proposons
tout d’abord de procéder au calcul numérique de la
fonction de renouvellement bi-variée M (T, U) pour deux
combinaisons des paramètres de forme β1et β 2 . Ensuite,
nous passerons à l’estimation du coût de garantie
bidimensionnelle dans chaque cas. Enfin, les zones de
garantie bidimensionnelles optimales qui satisfont une
contrainte budgétaire allouée à la garantie seront
déterminées pour un exemple donné.
Cas 1 : β1 =1.5 et β 2 = 2
Cas 2 : β1 =3 et β 2 = 4
Les tableaux 1 et 2 montrent respectivement les résultats
de calcul de la fonction de renouvellement bi-variée
M(T, U) pour les deux cas et pour une précision de calcul
de l’ordre de 10-4.
4.1 Calcul de M(T, U)
Nous choisissons arbitrairement les valeurs suivantes des
paramètres qui caractérisent la distribution de Weibull
bi-variée :
Les figures 1 et 2 illustrent les résultats obtenus pour le
nombre moyen de pannes sur chacune des zones ([0, t] x
[0, u]) considérées.
θ1 = 10 , θ 2 = 100 et δ = 0.3
T
U
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.1223
0.2559
0.3990
0.5331
0.6492
0.7441
0.8184
0.8743
0.9150
0.9438
0.2237
0.3449
0.4734
0.5928
0.6953
0.7786
0.8433
0.8920
0.9270
0.9517
0.3669
0.4692
0.5778
0.6778
0.7617
0.8316
0.8829
0.9263
0.9496
0.9631
0.5236
0.6035
0.6922
0.7770
0.8457
0.9067
0.9489
0.9925
1.0071
0.9941
0.6690
0.7265
0.7952
0.8699
0.9346
0.9939
1.0380
1.0865
1.1054
1.0730
0.7875
0.8256
0.8777
0.9438
1.0099
1.0800
1.1334
1.1994
1.2265
1.1934
0.8740
0.8973
0.9387
1.0025
1.0722
1.1579
1.2317
1.3240
1.3709
1.3324
0.9310
0.9442
0.9793
1.0429
1.1206
1.2236
1.3172
1.4448
1.5138
1.4855
0.9651
0.9722
1.0046
1.0741
1.1615
1.2825
1.4026
1.5612
1.6683
1.6388
0.9837
0.9870
1.0032
1.0612
1.1581
1.2756
1.4179
1.5721
1.7379
1.7871
Tableau 1 : M(T, U) pour β1 =1.5 et β 2 = 2
T
U
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.0096
0.0635
0.1956
0.4018
0.6328
0.8227
0.9358
0.9834
0.9971
0.9997
0.0331
0.0861
0.2158
0.4176
0.6431
0.8279
0.9378
0.9839
0.9972
0.9997
0.1288
0.1779
0.2972
0.4813
0.6844
0.8489
0.9458
0.9865
0.9980
0.9999
0.3419
0.3811
0.4756
0.6190
0.7739
0.8964
0.9691
0.9997
1.0105
1.0070
0.6356
0.6590
0.7150
0.8003
0.8942
0.9715
1.0233
1.0552
1.0735
1.0776
0.8755
0.8840
0.9049
0.9422
0.9938
1.0491
1.1065
1.1595
1.2121
1.2398
0.9788
0.9803
0.9858
1.0047
1.0468
1.1137
1.1944
1.2838
1.3842
1.4552
0.9986
0.9987
1.0013
1.0233
1.0824
1.1721
1.2871
1.4122
1.5418
1.6583
1.0000
1.0001
1.0033
1.0281
1.1009
1.2360
1.3887
1.5372
1.7032
1.8200
1.0000
1.0000
1.0022
1.0323
1.1231
1.2761
1.4821
1.6821
1.8638
2.0340
Tableau 2 : M(T, U) pour β1 =3 et β 2 = 4
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
2
M (T, U)
1.5
1
0.5
0
200
150
20
15
100
10
50
5
0
U
0
T
Figure 1 : M(T, U) pour β1 =1.5 et β 2 = 2
Figure 3 : ECA (T, U) pour β1 =1.5 et β 2 = 2
2.5
M (T, U)
2
1.5
1
0.5
0
200
150
20
15
100
10
50
U
5
0
0
T
Figure 2 : M(T, U) pour β1 =3 et β 2 = 4
Figure 4 : ECA (T, U) pour β1 =3 et β 2 = 4
4.2 Estimation des paramètres de garantie bidimensionnelle
A partir des figures 3 et 4, il est possible de déterminer
les couples de valeurs (T*, U*) limitant la zone de garantie bidimensionnelle.
Dans ce paragraphe, nous proposons d’estimer les paramètres de la garantie bidimensionnelle tout en respectant
la contrainte budgétaire. Ceci en faisant varier les paramètres de forme β1et β 2 qui caractérisent la distribution
de Weibull bi-variée. Pour cela, nous supposons que le
coût d’une réparation est constant, soit c=3000 unités
monétaires. Le coût de garantie est calculé en utilisant
l’équation (1). L’évolution de ce coût est illustrée, pour
les deux cas, par les figures 3 et 4.
Supposons que le budget alloué à la garantie par produit
vendu soit équivalent au coût d’un remplacement
C = 3000 unités monétaires, nous cherchons à déterminer la zone de garantie bidimensionnelle qui satisfait la
contrainte budgétaire EC A (T , U ) ≤ C (voir les zones en
noir dans les figures 3 et 4).
Cas
1
-
(8,200)
(10,120)
(12,80)
(16,60)
(20,40)
Cas
2
(6,200)
(8,160)
(10,120)
(12,100)
(14,60)
(20,40)
Tableau 3 : Les valeurs optimales (T*, U*) qui maximisent la zone de garantie bidimensionnelle
Le tableau 3 indique l’ensemble des valeurs optimales
(T*, U*) qui maximisent la zone de garantie bidimensionnelle tout en satisfaisant la contrainte budgé-
(
)
taire EC A T * , U * ≤ C . Chaque combinaison (T*, U*)
représente une possibilité d’offre de garantie pouvant
être faite par le fabricant du produit en respectant sa contrainte budgétaire.
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
5
CONCLUSION
Ce travail avait pour objet l’estimation du coût prévisionnel d’une garantie bidimensionnelle d’un produit
sujet à des défaillances aléatoires. En adoptant une politique de garantie de type FRW, le coût moyen de garantie est proportionnel au nombre moyen de pannes dans la
zone de garantie. Ce dernier, est généralement calculé en
utilisant la théorie de renouvellement bi-variée. Le problème réside essentiellement dans le calcul de la fonction
de renouvellement bi-variée. Cette fonction exprime le
nombre moyen de pannes du produit à l’intérieur d’une
zone de garantie bidimensionnelle donnée. La première
contribution de ce travail a consisté dans le développement d’un nouvel algorithme de calcul de cette fonction
de renouvellement bi-variée pour n’importe quel produit
ayant une fonction de distribution bi-variée quelconque.
Cet algorithme a été utilisé par la suite pour développer
un outil de calcul du coût de garantie permettant aux
constructeurs d’effectuer a priori des simulations afin de
savoir si la zone de garantie qu’ils comptent offrir au
client respecte le budget alloué à la garantie. L’outil développé leur permet également de déterminer la zone de
garantie à offrir et qui respecte un budget donné. De
plus, il est également possible d’étendre ce travail pour
étudier l’effet de la variation des coûts des remplacements des produits défaillants sur le coût (budget) de la
garantie.
REFERENCES
Chelbi A. and Ait-Kadi D., 2000. Generalized inspection
strategy for randomly failing systems subjected to
random shoks. International Journal of Production
Economics 64, pp 379-384.
Iskandar, B. P., 1991. A two-dimensional renewal
function solver. Research report # 4/91. Australia:
Department of Mechanical Engineering, The
university of Queensland.
Hunter. J.J., 1974. Renewal Theory in Two Dimensions:
Basic Results. Advances in Applied Probability. Vol.
6, pp 376 -391.
Kim H. G. and Rao B. M., 2000. Expected warranty cost
of two-attribute free-replacement warranties based on
a bivariate exponential distribution. Journal of
Computers & Industrial Engineering, 38(4), 425–
434.
Lu, J.C. and Bhattacharyya, G.K., 1990. Some new
constructions of bivariate Weibull models. Annals of
Institute of Statistical Mathematics. 42(3): 543–559.
Manna, D.K., Surajit P. and Sagnik S.., 2008. A note on
calculating cost of two-dimensional warranty policy.
Journal of Computers & Industrial Engineering, 54,
pp 1071-1077.
Murthy D.N.P, 1990. Product warranty: A review and
technology Management Implications. In proceeding
of the second International Conference on
management of technology, Miami, Florida.
Murthy D.N.P and Blischke W.R, 1992. Product
warranty Management-II, An Integrated framework
for study, European journal of operational research,
63, pp 261-281.
Murthy, D. N. P., Iskandar, B. P., & Wilson, R. J., 1995.
Two-dimensional failure-free warranty policies:
Two- dimensional point process models. Operations
Research, 43(2), pp 356–366.
Nachlas. J.A., 1998. Introduction to Reliability Theory.
Unpublished manuscript.Virginia Tech.
Yang.S., 1999. A bivariate renewal process and its
applications in maintenance policies. Thesis
Dissertation for degree of Doctor of Philosophy in
industrial and Systems Engineering. Faculty of the
Virgina Polytechnic Instiute and State University.