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Calcul symbolique avec MATLAB - Université des Sciences et de la
Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Calcul symbolique avec MATLAB Symbolic Math Toolbox H. Djelouah Faculté de Physique Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Algérie 7 juin 2009 Introduction Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB. Introduction Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB. La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB. Introduction Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul La boîte à outils Symbolic Math Toolbox incorpore le calcul symbolique dans l’environnement numérique de MATLAB. La boîte à outils contient plus de 100 fonctions qui donnent accès au noyau Maple en utilisant une syntaxe et un style qui sont des extensions naturelles du langage MATLAB. La boîte à outils Symbolic Math Toolbox fournit les facilités numériques et graphiques de MATLAB avec plusieurs autres types de calcul mathématiques. Objets symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Objets symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne. Objets symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne. La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter Objets symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne. La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter des variables symboliques, Objets symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne. La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter des variables symboliques, des expressions symboliques Objets symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne. La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques. Objets symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La boîte à outils de calcul symbolique définit un nouveau type de variable MATLAB appelé objet symbolique. Un objet symbolique est une structure de données qui enregistre une représentation du symbole sous la forme d’une chaîne. La boîte à outils utilise des objets symboliques pour représenter des variables symboliques, des expressions symboliques et des matrices symboliques. Les calculs symboliques sont effectués par Maple. Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB L’exemple suivant illustre la différence entre des types de variable standard de MATLAB et l’objet correspondant. Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Commande MATLAB La commande MATLAB : sqrt(2) renvoie le nombre suivant en virgule flottante : ans = 1.4142 Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB L’exemple suivant illustre la différence entre des types de variable standard de MATLAB et l’objet correspondant. Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Commande MATLAB La commande MATLAB : sqrt(2) renvoie le nombre suivant en virgule flottante : ans = 1.4142 Objet symbolique Si on convertit 2 en un objet symbolique à l’aide de la commande sym, et en calculant sa racine en écrivant a = sqrt(sym(2)) le résultat est a = 2ˆ (1/2) MATLAB donne le résultat 2ˆ (1/2) qui signifie 21/2 , en utilisant la notation de calcul symbolique pour la racine carrée, sans calculer sa valeur numérique. Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Valeur d’un objet symbolique On peut obtenir la valeur numérique d’un objet à l’aide de la commande double : double(a) ans= 1.4142 Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Calculs sur les objets symboliques Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5 Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Calculs sur les objets symboliques Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5 MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques . Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Calculs sur les objets symboliques Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5 MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques . Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Calculs sur les objets symboliques Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5 MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques . Variables double 2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333 Calcul symbolique avec MATLAB Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul Calculs sur les objets symboliques Quand on crée une fraction utilisant des objets symboliques, MATLAB enregistre le numérateur et le dénominateur. sym(2)/sym(5) =⇒ ans = 2/5 MATLAB ne fait pas les calculs de la même manière sur les variables de type double et les objets symboliques . Variables double 2/5 + 1/3 =⇒ ans = 0.7333 Objets symboliques sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3) =⇒ ans = 11/15 Création de variables et d’expressions symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul La commande sym permet de construire des variables symboliques x = sym(0 x 0 ) a = sym(0 alpha0 ) créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha. Création de variables et d’expressions symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple La commande sym permet de construire des variables symboliques x = sym(0 x 0 ) a = sym(0 alpha0 ) créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha. Calcul des expressions symboliques √ 1+ 5 est créé par la commande Le rapport ρ = 2 0 rho = sym( (1 + sqrt(5))/20 ). Création de variables et d’expressions symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple La commande sym permet de construire des variables symboliques x = sym(0 x 0 ) a = sym(0 alpha0 ) créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha. Calcul des expressions symboliques √ 1+ 5 est créé par la commande Le rapport ρ = 2 0 rho = sym( (1 + sqrt(5))/20 ). On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2) Création de variables et d’expressions symboliques Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple La commande sym permet de construire des variables symboliques x = sym(0 x 0 ) a = sym(0 alpha0 ) créent une variable symbolique qui s’écrit x et une autre variable symbolique qui s’écrit alpha. Calcul des expressions symboliques √ 1+ 5 est créé par la commande Le rapport ρ = 2 0 rho = sym( (1 + sqrt(5))/20 ). On peut faire des opérations mathématiques telles que : f = rhoˆ2 − rho − 1 qui donne f = (1/2 + 1/2 ∗ 5ˆ(1/2))ˆ2 − 3/2 − 1/2 ∗ 5ˆ(1/2) Cette expression peut être simplifiée en écrivant simplify (f ) qui donne ans = 0. Calcul symbolique avec MATLAB Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax 2 + bx + c. Djelouah Première possibilité Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul f = sym(0 a ∗ xˆ2 + b ∗ x + c 0 ) qui assigne à f l’expression symbolique ax 2 + bx + c. Calcul symbolique avec MATLAB Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax 2 + bx + c. Djelouah Première possibilité Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul f = sym(0 a ∗ xˆ2 + b ∗ x + c 0 ) qui assigne à f l’expression symbolique ax 2 + bx + c. Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x. Pour faire des opérations de calcul symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement. Calcul symbolique avec MATLAB Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax 2 + bx + c. Djelouah Première possibilité Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul f = sym(0 a ∗ xˆ2 + b ∗ x + c 0 ) qui assigne à f l’expression symbolique ax 2 + bx + c. Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x. Pour faire des opérations de calcul symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement. Une meilleure solution a = sym(0 a0 ); b = sym(0 b0 ); c = sym(0 c 0 ); x = sym(0 x 0 ) Calcul symbolique avec MATLAB Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax 2 + bx + c. Djelouah Première possibilité Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul f = sym(0 a ∗ xˆ2 + b ∗ x + c 0 ) qui assigne à f l’expression symbolique ax 2 + bx + c. Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x. Pour faire des opérations de calcul symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement. Une meilleure solution a = sym(0 a0 ); b = sym(0 b0 ); c = sym(0 c 0 ); x = sym(0 x 0 ) ou plus simplement syms a b c x puis écrire f = sym(0 a ∗ xˆ2 + b ∗ x + c 0 ) Calcul symbolique avec MATLAB Supposons que l’on veuille créer la fonction quadratique f = ax 2 + bx + c. Djelouah Première possibilité Introduction Généralités Création de variables et expressions symboliques Exemple Calcul f = sym(0 a ∗ xˆ2 + b ∗ x + c 0 ) qui assigne à f l’expression symbolique ax 2 + bx + c. Dans ce cas, il n’y a pas création de variables correspondant aux termes a, b, c et x. Pour faire des opérations de calcul symbolique (différentiation, intégration, substitution, ...)sur f on doit créer ces variables explicitement. Une meilleure solution a = sym(0 a0 ); b = sym(0 b0 ); c = sym(0 c 0 ); x = sym(0 x 0 ) ou plus simplement syms a b c x puis écrire f = sym(0 a ∗ xˆ2 + b ∗ x + c 0 ) Remarque : Il est préférable d’utiliser syms Dérivation Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Création de l’expression symbolique : syms a x f = sin(a*x) Dérivation Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Création de l’expression symbolique : syms a x f = sin(a*x) Calcul de sa dérivée diff(f) calcule la dérivée de f par rapport à x : ans = cos(a*x)*a Dérivation Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Création de l’expression symbolique : syms a x f = sin(a*x) Calcul de sa dérivée diff(f) calcule la dérivée de f par rapport à x : ans = cos(a*x)*a Pour calculer la dérivée par rapport à a : diff(f,a) qui donne ans = cos(a*x)*x Dérivation Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Création de l’expression symbolique : syms a x f = sin(a*x) Calcul de sa dérivée diff(f) calcule la dérivée de f par rapport à x : ans = cos(a*x)*a Pour calculer la dérivée par rapport à a : diff(f,a) qui donne ans = cos(a*x)*x Pour calculer la dérivée seconde par rapport à x et a : diff(f,2)ou bien diff(f,x,2)donnent ans = -sin(a*x)*aˆ2 et diff(f,a,2)qui donne ans = -sin(a*x)*xˆ2 Dérivation d’une matrice Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La fonction diff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Dérivation d’une matrice Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La fonction diff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] Dérivation d’une matrice Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La fonction diff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A= [ cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)] Dérivation d’une matrice Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La fonction diff peut également agir sur une matrice. Dans ce cas la dérivation est effectuée sur chaque élément de la matrice. Considérons l’exemple : syms a x A = [cos(a*x),sin(a*x) ;-sin(a*x),cos(a*x)] qui donne A= [ cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)] La commande diff(A) donne : ans = [ -sin(a*x)*a, cos(a*x)*a] [-cos(a*x)*a, -sin(a*x)*a] Calcul de limites Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction. Calcul de limites Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction. Les commandes syms h n x limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 ) donnent Calcul de limites Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction. Les commandes syms h n x limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 ) donnent ans = -sin(x) Calcul de limites Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse La boîte à outils de Calcul symbolique permet de calculer les limites d’une fonction. Les commandes syms h n x limit( (cos(x+h) - cos(x))/h,h,0 ) donnent ans = -sin(x) et limit( (1 + x/n)ˆn,n,inf) qui donne ans = exp(x) Intégration Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Si f est une expression symbolique,alors int(f)tente de trouver une autre expression symbolique F telle que diff(F)=f , c’est-à-dire que int(f) donne l’intégrale indéfinie de f si elle existe. Intégration Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Si f est une expression symbolique,alors int(f)tente de trouver une autre expression symbolique F telle que diff(F)=f , c’est-à-dire que int(f) donne l’intégrale indéfinie de f si elle existe. Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Exemples syms x n a t b Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse int(xˆn) ou int(xˆn,x) calculent R x n dx Intégration Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Si f est une expression symbolique,alors int(f)tente de trouver une autre expression symbolique F telle que diff(F)=f , c’est-à-dire que int(f) donne l’intégrale indéfinie de f si elle existe. Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x n a t b R int(xˆn) ou int(xˆn,x) calculent x n dx int(sin(2*x),0,pi/2 ) ou int(sin(2*x),x,0,pi/2) calculent R π/2 sin 2xdx 0 Intégration Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Si f est une expression symbolique,alors int(f)tente de trouver une autre expression symbolique F telle que diff(F)=f , c’est-à-dire que int(f) donne l’intégrale indéfinie de f si elle existe. Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x n a t b R int(xˆn) ou int(xˆn,x) calculent x n dx int(sin(2*x),0,pi/2 ) ou int(sin(2*x),x,0,pi/2) calculent R π/2 sin 2xdx 0 g = cos(a*t + b) R int(g)ou int(g,t) calculent cos(at + b) dt Intégration Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Si f est une expression symbolique,alors int(f)tente de trouver une autre expression symbolique F telle que diff(F)=f , c’est-à-dire que int(f) donne l’intégrale indéfinie de f si elle existe. Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x n a t b R int(xˆn) ou int(xˆn,x) calculent x n dx int(sin(2*x),0,pi/2 ) ou int(sin(2*x),x,0,pi/2) calculent R π/2 sin 2xdx 0 g = cos(a*t + b) R int(g)ou int(g,t) calculent cos(at + b) dt R int(besselj(1,z)) ou int(besselj(1,z),z) calculent J1 (z) dz Sommation symbolique Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commande symsum . Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x k Ecrire la commande qui permet de calculer P∞ 1 k =1 k 2 = π2 6 Sommation symbolique Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commande symsum . Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x k Ecrire la commande qui permet de calculer P∞ 1 k =1 k 2 = π2 6 Sommation symbolique Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commande symsum . Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x k Ecrire la commande qui permet de calculer s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2 P∞ 1 k =1 k 2 = π2 6 Sommation symbolique Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commande symsum . Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x k Ecrire la commande qui permet de calculer s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2 Ecrire qui permet de calculer P∞ lak commande 1 k =0 x = 1−x pour |x| < 1 P∞ 1 k =1 k 2 = π2 6 Sommation symbolique Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commande symsum . Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x k Ecrire la commande qui permet de calculer s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2 Ecrire qui permet de calculer P∞ lak commande 1 k =0 x = 1−x pour |x| < 1 P∞ 1 k =1 k 2 = π2 6 Sommation symbolique Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah On peut calculer des sommes symboliques quand elles existent en utilisant la commande symsum . Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Exemples syms x k Ecrire la commande qui permet de calculer s1 = symsum(1/kˆ2,1,inf) s1 = 1/6*piˆ2 Ecrire qui permet de calculer P∞ lak commande 1 k =0 x = 1−x pour |x| < 1 s2 = symsum(xˆk,k,0,inf) s2 = -1/(x-1) P∞ 1 k =1 k 2 = π2 6 Séries de Taylor Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Les commandes syms x f = 1/(5+4*cos(x)) T = taylor(f,8) donnent T= 1/9+2/81*xˆ2+5/1458*xˆ4+49/131220*xˆ6 qui est la somme de tous les termes d’ordre inférieur à 8, du développement en série de Taylor de f (x) : Problème de synthèse n=7 X n=0 (x − a)n f (n) (a) n! pour a=1 Séries de Taylor Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Les commandes syms x f = 1/(5+4*cos(x)) T = taylor(f,8) donnent T= 1/9+2/81*xˆ2+5/1458*xˆ4+49/131220*xˆ6 qui est la somme de tous les termes d’ordre inférieur à 8, du développement en série de Taylor de f (x) : Problème de synthèse n=7 X n=0 (x − a)n f (n) (a) n! pour a=1 Remarque La commande pretty(T) affiche le résultat sous une forme ressemblant à l’écriture des équations mathématiques. Exercice Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Ecrire et commenter les lignes suivantes : syms x g = exp(x*sin(x)) t = taylor(g,12,2) xd = 1 :0.05 :3 ; yd = subs(g,x,xd) ; ezplot(t, [1,3]) ; hold on ; plot(xd, yd, ’r-.’) title(’Approximation de Taylor d’une fonction’) ; legend(’Fonction’,’Taylor’) Problème de synthèse Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse Ecrire, executer et commenter la suite de commandes suivante : syms x zr = [0 zr(4) pi 2*pi-zr(4)] f = 1/(5+4*cos(x)) zr = [zr-2*pi zr zr+2*pi] ; ezplot(f) plot(zr,0*zr,’kX’) f2 = diff(f,2) f20 = subs(f2,x,0) ezplot(f2) clf axis([-2*pi 2*pi -5 2]) ezplot(f2) f3 = diff(f2) ; axis([-2*pi 2*pi -4.25 1.25]) pretty(f3) ylabel(’f2’) ; f3 = simple(f3) ; title(’Plot of f2 = f””(x)’) pretty(f3) hold on z = solve(f3) plot(0,double(f20),’ro’) zr = double(z) text(-1,-0.25,’Local minimum’) ezplot(f3) simple([subs(f3,x,hold on ; sym(pi)),subs(f3,x,sym(pi))]) plot(zr,0*zr,’ro’) m1 = double(subs(f2,x,-pi)) ; plot([-2*pi,2*pi],[0,0],’g-.’) ; m2 = double(subs(f2,x,pi)) ; title(’Zeros of f3’) plot(-pi,m1,’go’,pi,m2,’go’) suite... Calcul symbolique avec MATLAB Djelouah Introduction Généralités Calcul Dérivation Dérivation d’une matrice Limites Integration Sommation symbolique Séries de Taylor Problème de synthèse text(-1,-4,’Global minima’) s = z(4) sd = double(s) M1 = double(subs(f2,x,s)) ; plot(sd,M1,’ko’) text(-1,1,’Global maximum’) g = int(int(f2)) d=f-g pretty(d) F = int(f) ezplot(F) J = sym(’round(x/(2*pi))’) ; c = sym(’2/3*pi’) ; F1 = F+c*J ezplot(F1,[-6.28,6.28])
