Exercices : Fonctions continues

Exercices : Fonctions continues
Exercice 1
Sur quels ensembles les fonctions suivantes sont elles continues ?

 sin(x)
si x 6= 0
1) f : x 7→
2) f : x 7→ xE(x)
x
2
si x = 0
3) f : x 7→ sin(πx)E(x)
4) f : x 7→
CORRECTION
sin(x) sin( x1 ) si x 6= 0
0
si x = 0
INDICATIONS
Exercice 2
Peut on prolonger les fonctions suivantes par continuité aux points proposés? Si oui, donner l’expression du
prolongement.
1) f : x 7→
sin(x)
en 0
x
3)f : x 7→
tan(x)
en 0
x2
2) f : x 7→ x3 sin( x1 ) en 0
4) f : x 7→
CORRECTION
sin2 (πx)
en 0
x2
INDICATIONS
Exercice 3
Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀(x, y) ∈ [a, b]2 , |f (x) − f (y)| < |x − y|.
1. Montrer que f est continue sur [a, b].
2. Montrer que l’équation f (x) = x possède une solution, et une seule, dans [a, b].
CORRECTION
INDICATIONS
Exercice 4
Soit f : R+∗ → R croissante, et telle que la fonction x 7→
f (x)
est décroissante.
x
Montrer que f est continue sur R+∗ .
CORRECTION
INDICATIONS
Exercice 5 (Un peu difficile)
1. Donner un exemple de fonction f : R → R non constante telle que ∀x ∈ R,
1
f (x) = f (x2 )
2. On considere maintenant f : R → R qui vérifie ∀x ∈ R,
continue en 0 et en 1.
f (x) = f (x2 ). On suppose de plus que f est
Montrer que f est constante.
CORRECTION
INDICATIONS
Exercice 6
Soient f et g continues sur [0; 1] telle que ∀x ∈ [0; 1],
Montrer qu’il existe m > 0 tel que ∀x ∈ [0; 1],
f (x) < g(x).
f (x) + m < g(x).
CORRECTION
INDICATIONS
2
Indications pour l’exercice 1
Il s’agit d’un simple calcul de limite:
f continue en x0 ⇔ lim f (x) = f (x0 )
x→x0
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Indications pour l’exercice 2
il suffit d’appliquer la définition du cours !
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Indications pour l’exercice 3
1. Fixez x0 ∈ [a, b] et prouvez que f (x) −−−→ f (x0 ) en utilisant l’inégalité vérifiée par f
x→x0
2. f (x) = x ⇔ g(x) = 0, où on a posé g(x) = f (x) − x. Prouver que g est continue, que g prend des valeurs
négatives et positives: que peut on en déduire ?
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Indications pour l’exercice 4
Fixez x0 ∈ R et prouvez que f (x) −−−→ f (x0 ) à l’aide du théorème des gendarmes
x→x0
(il faudra donc trouver des inégalités! grâce à quelles hypothèses va t-on le faire ?)
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Indications pour l’exercice 5
1. prendre une fonction constante, sauf en un point ( à choisir judicieusement !)
(
u0 = x
: quelle est sa limite ? utiliser le fait
2. Soit x ∈ [1, +∞[. Considerer la suite (un ) définie par
√
un+1 = un
que f soit continue pour prouver que f (x) = f (1).
Faire un travail similaire pour x ∈
/ [1, +∞[.
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Indications pour l’exercice 6
Considerer la fonction h(x) = g(x) − f (x): montrer qu’elle est continue et strictement positive. Quel théorème
va t-on utiliser comme théorème pour prouver qu’il existe m > 0 tq h(x) > m ?
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3
Correction de l’exercice 1
1. Ainsi définie, f est continue sur R∗ comme quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne
s’annule pas.
Reste le pb en 0: on sait que
sin(x)
−−−→
x
x→0
1; Or f (0) = 2 6= 1.
Donc f n’est pas continue en 0: f est donc continue sur R∗
2. La fonction E est continue, sauf aux points de Z. Donc f est continue sur R\Z. (comme produit de deux
fonctions continues)
Qu’en est il sur Z? Sur Z∗ f n’est pas continue, car si elle l’était, on aurait E(x) =
comme quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
f (x)
x
qui serait continue
Et en 0 ? Au voisinage de 0, on a |E(x)| ≤ 1 ( en 0+ , E(x) = 0 et en 0− , E(x) = −1).
Donc au voisinage de 0, |f (x)| ≤ |x|: donc f (x) −−−→ 0. Or f (0) = 0. Donc f est continue en 0.
x→0
Conclusion: f est continue sur R, sauf aux points de Z∗
3. Comme précedemment, f est continue sur R\Z.
Qu’en est il sur Z? Soit p ∈ Z. Calculons lim f (x).
x→p
Au voisinage de p, on a |E(x)| ≤ |p| + 1. Donc si x est proche de p, |f (x)| ≤ (|p| + 1)|sin(πx)|.
Comme sin(πx) −−−→ 0, on a: f (x) −−−→ 0 (théorème des gendarmes). Or f (p) = 0.
x→p
x→p
Donc f est continue en p : ainsi f est continue sur R
4. f est continue sur R∗ , comme produit et composée de fonctions continues.
f est elle continue en 0 ? Calculons lim f (x).
x→0
∀x ∈ R,
| sin( x1 )| ≤ 1 ; donc ∀x ∈ R, 0 ≤ |f (x)| ≤ | sin(x)|
Ainsi d’après le th des gendarmes, f (x) −−−→ 0. Comme f (0) = 0, f est continue en 0.
x→0
Donc f est continue sur R
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Correction de l’exercice 2
1. On sait que
sin(x)
−−−→ 1 (taux de variation).
x→0
x
Ainsi f possède une limite finie en 0: on peut donc prolonger f par continuité en 0.
(
Le prolongement s’écrit: f˜ : x 7→
sin(x)
x
1
si x 6= 0
si x = 0
4
2. On a:
∀x ∈ R, 0 ≤ |f (x)| ≤ |x|3
Donc f (x) −−−→ 0 (théorème des gendarmes). Ainsi f possède une limite finie en 0: on peut donc prolonger
x→0
f par continuité en 0.
(
x3 sin( x1 ) si x 6= 0
Le prolongement s’écrit: f˜ : x 7→
0 si x = 0
3. On sait que
tan(x)
−−−→ 1 (taux de variation).
x→0
x
Donc
tan(x)
tan(x) 1
=
−−−−→ +∞
2
x
x x x→0+
Donc f ne possède pas de limite finie en 0: f n’est pas prolongeable par continuité.
Remarque:
f pourrait cependant être prolongeable par continuité à gauche; mais ce n’est pas le cas, car lim f (x) = −∞
x→0−
et n’est donc pas finie.
4. On a simplement ici
sin2 (πx)
sin2 (πx) 2
=
π −−−→ π 2
x→0
x2
(πx)2
Donc f admet un prolongement par continuité en 1.
sin2 (πx)
x2
2
π
si
(
Celui ci s’écrit: f˜ : x 7→
si x 6= 0
x=0
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Correction de l’exercice 3
1. Soit x0 ∈ [a, b]. Montrons que lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
On a:
0 ≤ |f (x) − f (x0 )| < |x − x0 |
Or les termes de droite et de gauche tendent vers 0 quand x → x0 : d’après le théorème des gendarmes,
|f (x) − f (x0 )| −−−→ 0 ⇔ lim f (x) = f (x0 ) ⇔ f est continue en x0
x→x0
x→x0
Or x0 est choisi quelconque, f est donc continue sur [a, b].
2.
• existence de la solution : On pose g(x) = f (x) − x.
Cette fonction est continue, comme différence de fonctions continues. De plus g(a) ≥ 0, car l’ensemble
d’arrivée de f est [a, b].
De même, g(b) ≤ 0. Donc g est continue et prend des valeurs positives et négatives : d’après le TVI, g
s’annule en un point y: ce point est solution de l’équation f (x) = x.
• unicité de la solution : supposons qu’il en existe deux, x1 et x2 .
On a par ailleurs |f (x1 ) − f (x2 )| < |x1 − x2 |. Mais comme f (x1 ) = x1 et f (x2 ) = x2 , cette inégalité se
réécrit |x1 − x2 | < |x1 − x2 |, ce qui est absurde.
La solution est donc unique.
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Correction de l’exercice 4
−
Soit x0 ∈ R+∗ . Montrons que lim f (x) = f (x0 ), en calculant les limites en x+
0 et en x0
x→x0
Calculons lim f (x).
x→x+
0
On a, comme f est croissante,
∀x ≥ x0 , f (x) ≥ f (x0 )
de plus, comme
f (x)
x
est décroissante,
∀x ≥ x0 ,
x
f (x0 )
f (x)
⇔ ∀x ≥ x0 , f (x) ≤ f (x0 )
≤
x
x0
x0
Ainsi,
∀x ≥ x0 , f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x0 )
(car x > 0)
x
x0
Donc d’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = f (x0 ).
x→x+
0
Calculons lim f (x).
x→x+
0
Le raisonnement est le même, et on trouve lim f (x) = f (x0 )
x→x−
0
Donc lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) ⇔ f est continue en x0 .
x→x−
0
x→x+
0
Or x0 est choisi quelconque, f est donc continue sur R+
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Correction de l’exercice 5
(
1 si x = 1
1. Il suffit de prendre la fonction f : R → R suivante: f : x 7→
0 sinon
2. On va d’abord travailler sur R+ : On va montrer que f est constante sur ]0, +∞[, puis sur [0, +∞[: enfin on
montrera que f est constante sur R.
• f est constante sur ]0, +∞[
√
Soit x ∈ [1, +∞[. Comme f (x) = f (x2 ), on peut écrire que f (x) = f (qx);
p√
p √
en itérant ce processus, on peut ecrire que f (x) = f (
x) = ... = f (
... x)
qp
√
Or
... x sera proche de 1 s’il y a beaucoup de racines... si f est continue, on aura donc forcément
f (x) = f (1).
(
u0 = x
D’où l’idée de considérer la suite (un ) définie par
√
un+1 = un
1 n
Cette suite peut s’écrire aussi un = (u0 )( 2 )
Comme f (x) = f (x2 ), on a: ∀n ∈ N,
f (un ) = f (u0 ) = f (x). Or
un −−−−−→ 1
n→+∞
6
.
n
n
1
1
En effet, un = (u0 )( 2 ) = e( 2 )
ln(u0 )
et
1 n
ln(u0 ) −−−−−→
2
n→+∞
0
Comme f est continue en 1, (c’est essentiel !) f (un ) −−−−−→ f (1).
n→+∞
Or f (un ) = f (x); donc f (x) = f (1). On a donc bien:
f constante sur ]0, +∞[
• f est constante sur [0, +∞[
On utilise encore la continuité, mais cette fois en 0.
Comme f est continue en 0, on a lim f (x) = f (0). Mais lim f (x) = f (1), puisque f est constante
x→0+
x→0+
égale à f (1) sur ]0, +∞[.
D’où f (0) = f (1), et ainsi f est constante sur [0, +∞[
• f est constante sur R
Soit x ∈ R− . On a f (x) = f (x2 ), or x2 ∈ [0, +∞[.
Donc f (x2 ) = f (1) d’après ce qui précède, donc f (x) = f (1). D’où le résultat.
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Correction de l’exercice 6
On pose h(x) = g(x) − f (x). Cette fonction est continue, comme différence de deux fonctions continues. De
plus d’après l’énoncé,
∀x ∈ [0, 1], h(x) > 0 (1)
Or [0, 1] est un segment: On applique alors le théorème des applications continues sur un segment, qui affirme
que h est bornée, et que h atteint ses bornes.
Autrement dit, ∃x0 ∈ [0, 1], ∃x1 ∈ [0, 1] tq ∀x ∈ [0, 1],
h(x0 ) ≤ h(x) ≤ h(x1 ).
On pose m = h(x0 ); on a bien h(x0 ) > 0 d’après 1). D’où le résultat.
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