TS 2016 NOM, Prénom : Correction Devoir Sur Table 2 (2h) Le : 26
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TS 2016 NOM, Prénom : Correction Devoir Sur Table 2 (2h) Le : 26/11/2016 Exercice 1 : (6 points) Soit f la fonction définie sur R, par f (x) = −x3 + 2x2 + 1. 1. Justifier lim f (x) = +∞ et lim f (x) = −∞. x→−∞ x→+∞ 2 1 1 1 + ), où lim = lim 3 = 0 n→∞ x n→∞ x x x3 et lim x3 = +∞, lim x3 = −∞ f (x) = x3 (−1 + n→+∞ n→−∞ Les théorèmes de Limites et Opérations donnent lim f (x) = −∞ et lim f (x) = +∞ n→+∞ n→−∞ 2. Justifier que f est continue sur R. f est somme de fonctions continues sur R, alors continue sur R. 3 3. Justifier que l’équation f (x) = admet une unique solution dans l’intervalle [0; 1]. 2 On pourra dresser, en justifiant, le tableau de variation de f . f est somme de fonctions dérivables sur R, donc dérivable sur R, f ′ (x) = −3x2 + 4x = x(−3x + 4), on obtient alors le tableau de variations x f ′ (x) − +∞ 4 3 0 0 −∞ ❅ f ❅ ❘ ❅ 0 + ✒ 3 4 f( ) > 3 2 +∞ − ❅ ❅ 3 f (0) = 1 < 2 ❘ ❅ −∞ 4 3 3 > 1, f continue, strictement croissante sur [0; 1] avec f (0) < et f (1) = 2 > , 3 2 2 3 le Théorème des Valeurs Intermédiaires assure, l’équation f (x) = admet une unique solution dans l’intervalle [0; 1] 2 4. On donne l’algorithme suivant : Variable Initialisation Traitement Sortie a réel a prend la valeur 0. TANT QUE −a3 + 2a2 + 1 > −104 FAIRE a prend la valeur a + 1 FIN TANT QUE Afficher a (a) Expliquer pourquoi, l’algorithme s’arrête. lim f (x) = −∞, alors pour tout m donc pour −104 , il existe un x0 tel que pour tout x > x0 , f (x) < m x→+∞ Donc l’algorithme s’arrête. (b) Que représente la valeur a affichée en sortie d’algorithme ? la valeur affichée est le plus petit entier> 0 tel que f (a) ≤ −104 (c) Quelle est la valeur a affichée en sortie d’algorithme ? La calculatrice nous affiche 23 On peut vérifier f (23) = −11108 et f (22) = −9679 TS 2016 NOM, Prénom : Correction Devoir Sur Table 2 (2h) Le : 26/11/2016 Exercice 2 : (5 points) On considère l’équation (E) : z 3 − 4z 2 + 8z − 8 = 0. 1. Justifier que 2, est solution de (E). 23 − 4 × 22 + 8 × 2 − 8 = 0 2. Déterminer les réels a, b et c tels que (z − 2)(az 2 + bz + c) = z 3 − 4z 2 + 8z − 8 (z + 2)(az 2 + bz + c) = az 3 + (b + 2a)z 2 + (c + 2b)z + 2c Par identification avec z 3 − 4z 2 + 8z − 8, On obtient a = 1, b = −2 et c = 4 3. Résoudre dans C l’équation (E). Équation produit nul, Pour z 2 −√ 2z + 4 ∆ = −12√< 0 deux racines complexes conjuguées, z1 = 1 + i 3 et z2 = 1 − i 3 Les solutions sont {2; z1 ; z2 } 4. On donne les points √ respectives √ A, B et C d’affixes zA = 2, zB = 1 + i 3 et zC = 1 − i 3. 2 (a) Que peut-on dire de zB et zC ? Que peut-on dire des points B et C ? zB et zC sont conjugués, les points B et C symétriques par rapport à l’axe des abscisses. (b) Déterminer le module et l’argument ΘB de zB . Donner l’écriture trigonométrique de zB . √ √ 3 1 +i |zB | = 3 + 1 = 2, zB = 2 2 √2 1 3 π cos(ΘB ) = et sin(ΘB ) = , Alors ΘB = , 2 3 π 2 π + i sin zB = 2 cos 3 3 (c) Déterminer le module et l’argument ΘC de zC . Donner l’écriture trigonométrique de zC . π Comme précédement, on obtient |zC | = 2, et ΘC = − 3 π π + i sin − zC = 2 cos − 3 3 (d) Écrire un programme de construction à la règle et au compas de B. B appartient au cercle de centre O de rayon 2. 1 cos(ΘB ) = , B appartient à la droite (OM ) 2 1 où M intersection de x = et du cercle de centre O de rayon 1, 2 sin(ΘB ) > 0, l’ordonnée de B est positive. (e) Placer A, B et C. Laisser les marques de construction. 1 × × B M × −2 1 −1 2 −1 × −2 C A TS 2016 NOM, Prénom : Correction Devoir Sur Table 2 (2h) Le : 26/11/2016 Exercice 3 : (3 points)cours 1. Montrer par récurrence que pour tout réel a > 0, et pour tout n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na. Soit a > 0, On note Pn la propriété (1 + a)n ≥ 1 + na Pour n = 0, (1 + a)0 = 1 et 1 + 0 × a = 1, P0 est vraie Supposons pour un n quelconque, Pn vraie, Alors (1 + a)n+1 ≥ (1 + a) × (1 + na) = 1 + (n + 1)a + na2 ≥ 1 + (n + 1)a, Pn+1 vraie La propriété Pn est vraie pour n = 0, elle est hérédiatire, Alors par réccurence elle est vraie pour tout n entier. 2. En déduire que pour tout réel q > 1, lim q n = +∞. n→+∞ On écrit pour q > 1, q = 1 + a, avec a > 0. De la question précédente, pour tout n ≥ 0, q n ≥ 1 + na lim n = +∞, par somme lim 1 + na = +∞ n→+∞ n→+∞ Enfin le théorème de comparaison donne , pour tout réel q > 1, lim q n = +∞. n→+∞ Exercice 4 : (6 points) On donne la suite (an ) définie par . Partie A : a0 = 13 an+1 = 4 1 an + , pour tout n ∈ N 5 5 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n, an ≥ 1. Notons Pn la propriété an ≥ 1, Pour n = 0, a0 = 13, P0 est vraie. 4 1 Supposons pour un n quelconque, Pn vraie, Alors an+1 ≥ × 1 + = 1, ainsi Pn+1 vraie, la propriété Pn est héréditaire. 5 5 La propriété Pn est vraie pour n = 0, elle est héréditaire, Alors par récurrence elle est vraie pour tout n ≥ 0. Soit : pour tout n de N, an ≥ 1 2. Étudier les variations de la suite (an ). 1 4 4 4 4 an+1 − an = an + − an = − an + , avec an ≥ 1 soit an+1 − an = (−an + 1) ≤ 0, soit an+1 ≤ an 5 5 5 5 5 La suite (an ) est décroissante. 3. Justifier que la suite (an ) est convergente. La suite (an ) est décroissante minorée par 1, ALORS elle converge. . Partie B : On donne la suite (bn ), définie pour tout entier n ≥ 0 par bn = an − 1. 1. Montrer que (bn ) est une suite géométrique. Préciser le premier terme et la raison. 1 4 1 1 1 Pour tout n bn+1 = an+1 − 1 = an + − 1 = an − = bn 5 5 5 5 5 1 (bn ) est géométrique de premier terme b0 = a0 − 1 = 13 − 1 = 12 de raison . 5 2. Exprimer pour tout entier n, bn en fonction de n. n 1 Pour tout n entier, bn = 12 × 5 3. Déterminer lim bn . En déduire lim an . n→+∞ n→+∞ 1 0 < < 1, Alors lim bn = 0 n→+∞ 5 Pour tout n, an = bn + 1, Par somme lim an = 1 n→+∞