Développement du binôme de Newton

Développement du binôme
de Newton
Exercices
1. Développer les expressions suivantes:
(a) (x + y)7
(b) (x − y)7
(c) (a + 1)6
(d) (a − 2)5
(e) (2x + 3)5
(f) (2x − 3)5
(g) (3a + 2b)4
(h) (3a − 2b)
6
2. Quel est le coefficient de
8
(a) x6 y 2 dans (x + y) ?
10
(b) x3 y 7 dans (x − y) ?
13
(c) x6 y 7 dans (2x + y) ?
Solutions
1.
(a) (x + y)7 =
7
P
p=0
C7p x7−p y p
= x7 + 7x6 y + 21x5 y 2 + 35x4 y 3 + 35x3 y 4 + 21x2 y 5 + 7xy 6 + y 7
7
P
(b) (x − y)7 =
C7p x7−p (−y)p
p=0
7
6
2
3
4
5
= x +7x (−y)+21x5 (−y) +35x4 (−y) +35x3 (−y) +21x2 (−y) +
7x (−y)6 + (−y)7
1
(c) (a + 1)6 =
6
P
p=0
C6p a6−p 1p =
6
P
C6p a6−p
p=0
= a6 + 6a5 + 15a4 + 20a3 + 15a2 + 6a + 1
5
P
5
p
C5p a5−p (−2)
(d) (a − 2) =
p=0
2
3
3
2
4
= a5 + 5a4 (−2) + 10a3 (−2) + 10a2 (−2) + 5a (−2) + (−2)
= a5 − 10a4 + 40a3 − 80a2 + 80a − 32
5
P
C5p (2x)5−p 3p
(e) (2x + 3)5 =
5
p=0
5
4
= (2x) + 5 (2x) 3 + 10 (2x) 32 + 10 (2x) 33 + 5 (2x) 34 + 35
= 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1080x2 + 810x + 243
5
P
Cp5 (2x)4−p (−3)p
(f) (2x − 3)5 =
p=0
4
5
= 32x − 240x + 720x3 − 1080x2 + 810x2 − 243
4
P
4
4−p
p
Cp4 (3a)
(2b)
(g) (3a + 2b) =
4
p=0
3
6
p=0
5
2
2
3
4
3
3
= (3a) + 4 (3a) 2b + 6 (3a) (2b) + 4 (3a) (2b) + (2b)
= 81a4 + 216a3 b + 216a2 b2 + 96ab3 + 16b4
6
P
(h) (3a − 2b)6 =
Cp6 (3a)6−p (−2b)p
4
2
2
4
= (3a) +6 (3a) (−2b)+15 (3a) (−2b) +20 (3a) (−2b) +15 (3a) (−2b) +
6 (3a) (−2b)5 + (−2b)6
= 729a6 − 2916a5 b + 4860a4 b2 − 4320a3 b3 + 2160a2 b4 − 576ab5 + 64b6
2.
8
(a) (x + y) =
8
P
p=0
C8p x8−p y p
Le coefficient de x6 y 2 vaut C82 =
(b) (x − y)10 =
10
P
p=0
8·7
= 28
2
p 10−p
C10
x
(−y)p
7
7
Le coefficient de x3 y 7 vaut C10
(−1) = −
(c) (2x + y)13 =
13
P
p=0
p
C13
(2x)13−p y p
7 6
Le coefficient de x6 y 7 vaut C13
2 = 26
= 64 · 1716 = 109824
10 · 9 · 8
= −120
3·2
13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8
6·5·4·3·2
(Saisie et mise en pages: Christophe THEIS, Iere B, LCD)
2