Lösung Arbeitsblatt Faktorisieren / Bruchrechnen

Lösung Arbeitsblatt Faktorisieren / Bruchrechnen

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Mathematik und Naturwissenschaften
Lösung Arbeitsblatt Faktorisieren / Bruchrechnen
Modul: Mathematik
Datum: 2016
Dozent: Brückenkurs Mathematik 2016
1. Aufgabe
Faktorisieren Sie soweit wie möglich:
(a)
1 − 2a + a2 − b2 =?
Lösung:
1−2a+a2 −b2 = (1 − a)2 −b2 = ((1 − a) − b) ((1 − a) + b) = (1 − a − b) (1 − a + b)
(b)
6a + 3ac − 2b − bc =?
Lösung:
6a + 3ac − 2b − bc = 3a (2 + c) − b (2 + c) = (2 + c) (3a − b)
(c)
(x − 2) (2a + 3b) − (a − b) (x − 2) + (b + a) (2 − x) =?
Lösung:
(x − 2) (2a + 3b) − (a − b) (x − 2) + (b + a) (2 − x)
(x − 2) (2a + 3b) − (x − 2) (a − b) − (x − 2) (b + a)
(x − 2) [(2a + 3b) − (a − b) − (b + a)]
(x − 2) [2a + 3b − a + b − b − a]
=
=
=
= 3b (x − 2)
(d)
x − y − x2 + 2xy − y 2 =?
Lösung:
x − y − x2 + 2xy − y 2 =
x − y − x2 − 2xy + y 2 =
(x − y) − (x − y)2 =
(x − y) [1 − (x − y)] = (x − y) (1 − x + y)
(e)
u2 − 14u + 49 =?
Lösung:
u2 − 14u + 49 =
u2 − 2 ∗ 7 ∗ u + 72 = (u − 7)2
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Faktorisieren / Bruchrechnen
2016
(f)
12 − 8z + z 2 =?
Lösung:
12 − 8z + z 2
z 2 − 8z + 12
z 2 − 6z − 2z + 12
z (z − 6) − 2 (z − 6)
=
=
=
= (z − 6) (z − 2)
(g)
16 − x2 + 4xz 2 − 4z 4 =?
Lösung:
16 − x2 + 4xz 2 − 4z 4
16 − x2 − 4xz 2 + 4z 4
2 2
2
2
16 − x − 2 ∗ x ∗ 2z + 2z
2
42 − x − 2z 2
[4 − (x − 2z)] [4 + (x − 2z)]
=
=
=
=
= (4 − x + 2z) (4 + x − 2z)
(h)
(a − b) (2x + 3y) − (2x − y) (a − b) − (b − a) (x − 3y) =?
Lösung:
... =
=
=
=
(a − b) (2x + 3y) − (2x − y) (a − b) + (a − b) (x − 3y)
(a − b) ((2x + 3y) − (2x − y) + (x − 3y))
(a − b) (2x + 3y − 2x + y + x − 3y)
(a − b) (x + y)
(i)
xy − x − yz − y + z + 1 =?
Lösung:
xy − x − yz − y + z + 1 = x (y − 1) − z (y − 1) − (y − 1) = (y − 1) (x − z − 1)
(j)
d2 + 8d + 15 =?
Lösung:
d2 + 8d + 15 = (d + 3) (d + 5)
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Mathematik
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2016
(k)
96a3 x + 48a2 x2 + 6ax3 =?
Lösung:
96a3 x + 48a2 x2 + 6ax3 = 6ax 16a2 + 8ax + x2 = 6ax (4a + x)2
(l)
x3 − 4x =?
Lösung:
x3 − 4x = x x2 − 4 = x (x − 2) (x + 2)
(m)
4a2 − b2 + 2bc − c2 =?
Lösung:
4a2 −b2 +2bc−c2 = 4a2 −(b − c)2 = (2a − (b − c)) (2a + (b − c)) = (2a − b + c) (2a + b − c)
(n)
3x2 y + 3xy − 60y =?
Lösung:
3x2 y + 3xy − 60y = 3y x2 + x − 20 = 3y (x + 5) (x − 4)
(o)
81a4 − 1 =?
Lösung:
81a4 − 1 = 9a2 − 1 9a2 + 1 = (3a − 1) (3a + 1) 9a2 + 1
(p)
9 − 6x + x2 =?
Lösung:
9 − 6x + x2 = (3 − x)2
(q)
a2 − b2 + 2b − 1 =?
Lösung:
a2 − b2 + 2b − 1 = a2 − b2 − 2b + 1
= a2 − (b − 1)2
= (a − (b − 1)) (a + (b − 1))
= (a − b + 1) (a + b − 1)
(r)
x4 − 625 =?
Lösung:
x4 − 625 = x2 − 25 x2 + 25 = (x − 5) (x + 5) x2 + 25
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Mathematik
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(s)
a2 − 3ax − 3bx + ab =?
Lösung:
a2 − 3ax − 3bx + ab = a (a − 3x) + b (a − 3x)
= (a − 3x) (a + b)
2. Aufgabe
Kürzen Sie die folgenden Brüche soweit wie möglich:
(a)
b1 =
Lösung:
b1 =
654322
=?
5561737
654322
2 ∗ 19 ∗ 67 ∗ 257
2
=
=
5561737
17 ∗ 19 ∗ 67 ∗ 257
17
(b)
b2 =
13005
=?
5083
Lösung:
b2 =
3 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 17
3 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 17
765
13005
=
=
=
5083
13 ∗ 17 ∗ 23
13 ∗ 23
299
(c)
b3 =
15a − 6ab
=?
20c − 8bc
Lösung:
b3 =
15a − 6ab
3a (5 − 2b)
3a
=
=
20c − 8bc
4c (5 − 2b)
4c
(d)
b4 =
a−x
=?
x−a
Lösung:
b4 =
a−x
− (x − a)
=
= −1
x−a
x−a
(e)
b5 =
(4a − 1)2
=?
1 − 16a2
Lösung:
(4a − 1)2
(1 − 4a)2
1 − 4a
b5 =
=
=
2
1 − 16a
(1 − 4a) (1 + 4a)
1 + 4a
(f)
b6 =
x2 − 9x − 10
=?
x2 − 1
Lösung:
b6 =
x2 − 9x − 10
(x + 1) (x − 10)
x − 10
=
=
2
x −1
(x + 1) (x − 1)
x−1
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2016
Mathematik
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2016
(g)
b7 =
24681
=?
748224
Lösung:
• ggt:
748224 = 30 ∗ 24681 + 7794
24681 = 3 ∗ 7794 + 1299
7794 = 6 ∗ 1299 + 0
⇒ ggt (748224, 7794) = 1299
• kürzen:
b7 =
24681
=
748224
•
b8 =
24681
1299
748224
1299
=
19
576
4x − x3
=?
2x + x2
Lösung:
b8 =
x (x − 2) (x + 2)
4x − x3
=−
= − (x − 2) = 2 − x
2
2x + x
x (x + 2)
3. Aufgabe
Berechnen Sie:
(a)
x2
1
1
1
+
+
=?
−2 2−x 2+x
Lösung:
x2
1
1
1
1
1
1
+
+
=
−
+
−4 2−x 2+x
(x − 2) (x + 2) x − 2 x + 2
1
x+2
x−2
=
−
+
(x − 2) (x + 2) (x − 2) (x + 2) (x − 2) (x + 2)
1 − (x + 2) + (x − 2)
=
(x − 2) (x + 2)
1−x−2+x−2
=
(x − 2) (x + 2)
3
= −
(x − 2) (x + 2)
(b)
a2
a
a+4
− 2
=?
− 5a + 4 a + 3a − 4
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2016
Lösung:
a2
a+4
a
a+4
a
− 2
=
−
− 5a + 4 a + 3a − 4
(a − 1) (a − 4) (a − 1) (a + 4)
a
1
=
−
(a − 1) (a − 4) (a − 1)
a
a−4
=
−
(a − 1) (a − 4) (a − 1) (a − 4)
a − (a − 4)
=
(a − 1) (a − 4)
a−a+4
=
(a − 1) (a − 4)
4
=
(a − 1) (a − 4)
(c)
x+
x
a
+a+
=?
x−a
a−x
Lösung:
x+
x
a
x
a
+a+
= x+
+a−
x−a
a−x
x−a
x−a
x (x − a)
x
a (x − a)
a
=
+
+
−
x−a
x−a
x−a
x−a
2
2
x − ax + x + ax − a − a
=
x−a
2
2
x −a +x−a
=
x−a
(x − a) (x + a) + (x − a)
=
x−a
(x − a) (x + a + 1)
=
x−a
= x+a+1
(d)
1
x− x1
x
1+ x1
=?
Lösung:
1
x− x1
x
1+ x1
=
(e)
1
1
x2
− x1
x
x2 −1
x
x
1+x
=
x
1+x
=
1 x
1 x2 −1
x
1+x
=
x
x2 −1
x
1+x
=
x
x+1
1
=
(x − 1) (x + 1) x
x−1
ax + y nx − y
+
=?
a+n
a+n
Lösung:
ax + y nx − y
ax + y + nx − y
x (a + n)
+
=
=
=x
a+n
a+n
a+n
a+n
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2016
(f)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + =?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Lösung:
... =
2520 + 1260 + 840 + 630 + 504 + 420 + 360 + 315 + 280
7129
=
2520
2520
(g)
5x + 3y 2x + 5y 8x + 6y
−
−
=?
3a
6b
6ab
Lösung:
5x + 3y 2x + 5y 8x + 6y
2b (5x + 3y) − a (2x + 5y) − (8x + 6y)
−
−
=
3a
6b
6ab
6ab
10bx + 6by − 2ax − 5ay − 8x − 6y
=
6ab
(h)
2x + 5 5x − 3 2x + 3
+
+
=?
4x − 4 6x − 6 2 − 2x
Lösung:
2x + 5 5x − 3 2x + 3
2x + 5
5x − 3
2x + 3
+
+
=
+
−
4x − 4 6x − 6 2 − 2x
4 (x − 1) 6 (x − 1) 2 (x − 1)
3 (2x + 5) + 2 (5x − 3) − 6 (2x + 3)
=
12 (x − 1)
6x + 15 + 10x − 6 − 12x − 18
=
12 (x − 1)
4x − 9
=
12 (x − 1)
(i)
2n − 3x 5x + 2n
ax + bx
−
+
=?
3a + 3
5b − 5
ab − a + b − 1
Lösung:
2n − 3x
5x + 2n
ax + bx
−
+
3 (a + 1) 5 (b − 1) (a + 1) (b − 1)
5 (b − 1) (2n − 3x) − 3 (a + 1) (5x + 2n) + 15 (ax + bx)
=
15 (a + 1) (b − 1)
10bn − 15bx − 10n + 15x − 15ax − 6an − 15x − 6n + 15ax + 15bx
=
15 (a + 1) (b − 1)
2n (5b − 3a − 8)
=
15 (a + 1) (b − 1)
... =
(j)
4a2
8ab3
b2 (2a + b)
+
−
=?
2a + b (2a − b)(4a2 − b2 )
(2a − b)2
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2016
Lösung:
... =
=
4a2
8ab3
b2 (2a + b)
4a2 (2a − b)2 + 8ab3 − b2 (2a + b)2
+
−
=
=
2a + b (2a − b)2 (2a + b) (2a − b)2
(2a − b)2 (2a + b)
16a4 − 16a3 b + 4a2 b2 + 8ab3 − 4a2 b2 − 4ab3 − b4
16a4 − b4 − 16a3 b + 4ab3
=
=
(2a − b)2 (2a + b)
(2a − b)2 (2a + b)
=
(4a2 − b2 )(4a2 + b2 ) − 4ab(4a2 − b2 )
(4a2 − b2 )(4a2 − 4ab + b2 )
=
=
(2a − b)2 (2a + b)
(2a − b)2 (2a + b)
(2a − b)3 (2a + b)
= 2a − b
(2a − b)2 (2a + b)
=
(k)
1
a2 −1
−1
1−
1
a+1
=?
Lösung:
1
a2 −1
−1
1−
1
a+1
=
2−a2
a2 −1
a
a+1
=
(2 − a2 )(a + 1)
2 − a2
=
a(a − 1)(a + 1)
a(a − 1)
(l)
x2
+1
1−x2
x
+1
1−x
:
1
=?
1+x
Lösung:
x2
+1
1−x2
x
+1
1−x
1
:
=
1+x
1
1−x2
1
1−x
(1 − x)(1 + x)
1+x
=
=1
1
(1 − x)(1 + x)
(m)
1
x
1
x
+
−
1
y
1
y
+
−
1
z
1
z
:
2x2
x2 −z 2
x
x+y
+
x
x−z
=?
Lösung:
... =
=
yz+xz+xy
xyz
yz−xz−xy
xyzy
yz + xz + xy x(2x + y − z) (x − z)(x + z)
x(x − z) + x(x + y) x2 − z 2
=
=
2
(x + y)(x − z)
2x
yz − xz − xy (x + y)(x − z)
2x2
x(yz + xz + xy)(2x + y − z)(x − z)(x + z)
(yz + xz + xy)(2x + y − z)(x + z)
=
=
2
2x (yz − xz − xy)(x + y)(x − z)
2x(yz − xz − xy)(x + y)
4. Aufgabe
Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen aus:
(a)
(a3 + 125) : (a + 5) =?
Lösung:
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(a3
−(a3
+125)
+5a2 )
−5a2
−(−5a2
2016
: (a + 5) = a2 − 5a + 25
+125
−25a)
25a
−(25a
+125
+125)
0
(b)
(6x5 + 13x4 − 17x3 − 5x2 + 3x) : (x + 3) =?
Lösung:
(6x5
−(6x5
+13x4
+18x4 )
−5x4
−(−5x4
−17x3
−5x2
+3x)
−17x3
−15x3 )
−2x3
−(−2x3
−5x2
+3x
−5x2
−6x2 )
x2
−(x2
+3x
: (x + 3) = 6x4 − 5x3 − 2x2 + x
+3x
+3x)
0
(c)
(16u6 − 17u4 + 104u5 + 33u3 + 14u2 ) : (u2 + 7u + 2) =?
Lösung:
(16u6
−(16u6
+104u5
+112u5
−8u5
−(−8u5
−17u4 +33u3
+32u4 )
−49u4 +33u3
−56u4 −16u3 )
7u4
+49u3
−(7u4 +49u3
+14u2 )
: (u2 + 7u + 2) = 16u4 − 8u3 + 7u2
+14u2
+14u2
+14u2 )
0
(d)
(x8 − 10x7 + 28x6 + 12x2 − 29x5 − 36x + 10x4 + 24) : (x2 − 2) =?
Lösung:
(x8
−(x8
−10x7
−10x7
−(−10x7
+28x6
−2x6 )
+30x6
6
30x
−(30x6
−29x5
+10x4
+12x2
−36x
+24)
−29x5
+20x5 )
−49x5
+10x4
+12x2
−36x
+24
4
+12x
2
−36x
+24
+12x
2
−36x
+24
2
−36x
+24
−36x
+196x)
−232x
+24
5
−49x
−(−49x5
+10x
−60x4 )
+70x4
4
70x
−(70x4
+98x3 )
−98x3
−98x3
−(−98x3
+12x
−140x2 )
152x2
152x2
−(152x2
−232x
= x6 − 10x5 + 30x4 − 49x3 + 70x2 − 98x + 152 +
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: (x2 − 2) =
+24
−304)
+328
−232x + 328
x2 − 2
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2016
5. Aufgabe
Multiplizieren Sie aus:
(a)
(x + y)8 =?
Lösung:
... = x8 + 8x7 y + 28x6 y 2 + 56x5 y 3 + 70x4 y 4 + 56x3 y 5 + 28x2 y 6 + 8xy 7 + y 8
(b)
(3a + 2b3 )4 =?
Lösung:
... = (3a)4 + 4(3a)3 (2b3 ) + 6(3a)2 (2b3 )2 + 4(3a)(2b3 )3 + (2b3 )4 =
= 81a4 + 216a3 b3 + 216a2 b6 + 96ab9 + 16b12
(c)
4
2x −
y
5
=?
Lösung:
3
4 5
2
4
4
4
4
4
2
3
−10(2x)
+5(2x)
−
=
+10(2x)
... = (2x) −5(2x)
y
y
y
y
y
5
4
= 32x5 −
320x4 1280x3 2560x2 2560x 1028
+
−
+
− 5
y
y2
y3
y4
y
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