rapport poids poussee trent 900

Spé ψ 2015-2016
Devoir n°4
MODÉLISATION
Quelques aspects du vol d’un avion
L'Airbus A380 est un avion de ligne civil gros-porteur long-courrier quadriréacteur à double
pont produit par Airbus, filiale d'EADS, construit principalement en Allemagne, Espagne, France et
Royaume-Uni et assemblé à Toulouse.
Gros-porteur très long-courrier, ce quadriréacteur symbolise l'aboutissement de la politique
de gamme menée par le constructeur européen depuis la commercialisation de son premier avion,
l'A300.
Spécifications
A340-500
A340-600
A380
Longueur hors-tout (en m)
67,90
75,30
73
Envergure (en m)
63,45
63,45
79,8
Surface alaire (en m2)
437
437
845
Capacité en sièges
313
378
525
15800/8.500
13900/7.500
15400/8280
368
369
492
214800
194880
256600
4 Trent 553
4 Trent 556
4 Trent 900
236
249
310
Autonomie (en km et en Nm)
Poids au décollage (en t)
Capacité des réservoirs (en L)
Moteurs
Poussée d’un réacteur (en kN)
L’énoncé comporte plusieurs parties indépendantes :
PRESENTATION
1-Les commandes de vol primaires
Pour piloter un avion, il est nécessaire de pouvoir contrôler en permanence ses évolutions
dans l’espace suivant trois directions ou axes (voir Figure 1 page 2) :
l'axe de lacet (vertical) ;
l'axe de roulis (horizontal et dans la direction de la marche) ;
l'axe de tangage (horizontal et perpendiculaire à la marche).
Pour cela, le pilote agit sur les commandes de vol de l’avion. En pratique, on distingue deux
types de commandes :
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Devoir n°4
les commandes de vol primaires utilisées pendant tout le vol qui permettent de contrôler
l’évolution de l’avion autour de ses axes de référence :
la gouverne de direction ou gouvernail pour le lacet,
les ailerons et les spoilers pour le roulis,
les gouvernes de profondeur et le plan horizontal réglable (PHR) pour le tangage.
Les commandes de vol secondaires utilisées pendant les phases d’atterrissage et de décollage qui permettent de modifier la configuration aérodynamique de l’avion :
hypersustentateurs (volets et becs) pour la portance ;
les spoilers (ou aérofreins) pour la traînée.
Figure 1 : Les commandes de vol de l’A380
2- Les gouvernes de profondeur
L’Airbus A 380 est équipé de quatre gouvernes de profondeur disposées symétriquement sur
le plan horizontal réglable (PHR) de l’avion (voir Figure 2 ).
PHR
Gouverne Extérieure Droite (ED)
Gouverne Intérieure Droite (ID)
Gouverne Intérieure Gauche (IG)
Gouverne Extérieure Gauche (EG)
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Figure 2 : Les gouvernes de profondeur
Devoir n°4
Chaque gouverne de profondeur est reliée au PHR par des charnières ou liaisons pivots (voir
Figure 3) et est mue en rotation par une unité de commande constituée de deux actionneurs :
Unité de commande de
la gouverne extérieure
gauche (EG)
Unité de commande de
la gouverne intérieure
gauche (IG)
Charnière
Unité de
commande
Charnières
Actions
aérodynamiques
PHR
Gouverne
Figure 3 : Unités de commande des gouvernes gauches
une servocommande (SC), actionneur principal relié au circuit hydraulique de
l’avion
un EHA (Electro Hydraulic Actuator : actionneur électro-hydrostatique), utilisé en
cas de défaillance de la servocommande ou du circuit hydraulique principal. Cet actionneur est alimenté électriquement et produit localement, via un moteur électrique entraînant une pompe,
l’énergie hydraulique nécessaire à son fonctionnement
Ces unités de commande sont identiques pour les quatre gouvernes de profondeur.
3-Les repères et paramètres angulaires associés à l’avion
Afin d’étudier le comportement de l’avion, on définit (voir figure 4) les repères R0, RA , et RB
passant par le point G, centre de gravité de l’avion ainsi que les repères RP et RC passant par le point
B, centre de poussée du PHR et des gouvernes de profondeur :
R0 = G, x 0 , y 0 , z 0 repère animé d’un mouvement de translation par rapport au galiléen où
z 0 est la verticale descendante du lieu ;
RA = G, x A , y A , z A repère aérodynamique tel que la vitesse de l’avion soit V = V ( t ) x A ;
RB = G, x B , y B , z B repère lié à l’avion avec G, xb axe longitudinal de l’avion ; ;
RP = G, x P , y P , z P repère lié au PHR avec B, x P axe de symétrie longitudinal ; ;
RC = G, xC , y C , z C repère lié aux gouvernes avec B, x C axe de symétrie longitudinal .
(
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
)
)
)
(
)
Remarque : attention pour la suite du sujet au sens de z utilisé en aéronautique.
La mise en place de ces repères permet de définir, dans le cas d’un vol symétrique, c'est-à dire dans le cas où les plans G, x 0 , z 0 et G, x B , z B sont confondus, les paramètres de position
(
) (
)
angulaire suivants (voir Figure 4) :
l’assiette longitudinale ou angle θ entre l’horizontale x 0 et l’axe x B de l’avion :
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Devoir n°4
quand θ augmente, on dit que l’avion se cabre,
quand θ diminue, on dit que l’avion pique ;
la pente γ ou angle entre l’horizontale x 0 et le vecteur vitesse V = V ( t ) x A de l’avion ;
l’incidence α ou angle x A , x B .
(
)
On note d’autre part
(
)
δ : inclinaison du PHR par rapport à l’avion ou angle x B , x P ;
β : inclinaison des gouvernes par rapport au PHR ou angle x P , x C .
(
)
xB
FPA
FR
xc
G
A
FTA
V θ
β
FPG
δ
B
FPP
zA
xP
α
γ
Avion
xA Aéronautique
x0 Horizontale
α : incidence
γ : pente
θ : assiette
P
z0 zA zB
θ=α+γ
Figure 4 : Repères associés à l’avion
4-Les forces appliquées à l’avion
Les forces appliquées à l’avion sont, entre autres :
le poids de l’avion agissant suivant G, z 0 :
P = mg z 0 où m est la masse de l’avion chargé ;
(
)
(
la force de poussée des réacteurs agissant suivant G, x B
F R = F xB .
)
les forces de portance et de traînée appliquées au centre de poussée des surfaces portantes
P portance = P = − P z A avec P > 0 si α ≥ 0 ;
T traînée = T = −T x A avec T > 0.
On établit que :
1
1
P = ρv 2C z A et T = ρv 2C x A .
2
2
ρ désigne la masse volumique du fluide
A est l’aire des surfaces portantes
Cz est le coefficient de portance ;
Cx est le coefficient de traînée ou résistance à l’avancement.
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Devoir n°4
A PARTIR DE CE POINT REDIGER LE DS SUR LA COPIE DE PHYSIQUE
PARTIE I :
ÉTUDE DE L’ATMOSPHERE ET DE CERTAINS INSTRUMENTS DE VOL
Étude de l’atmosphère
On assimile l’air à un gaz parfait, dont la masse molaire est M = 29 g⋅mol–1 et le rapport des
c
capacités thermiques massiques γ = P = 1,4 . La masse volumique est notée ρ. Le champ de pecV
santeur est supposé uniforme g = − g u z où u z est un vecteur unitaire selon la verticale ascendante
du lieu, et g = 9,8 m⋅s–2.
La constante des gaz parfaits est R = 8,31 J⋅K–1⋅mol–1.
Question I-1 : On commence par utiliser un modèle d’atmosphère isotherme, dont la température T0 = 298 K est uniforme et constante dans le temps.
a) Quelle est l’équation locale de la statique des fluides dans le cadre de cette étude ?
b) Comment s’exprime la masse volumique ρ en fonction notamment de la pression
et de la température ?
c) En déduire l’expression de la pression P en fonction notamment de l’altitude z, en
posant P = P0 pour z = 0. Faire apparaître une constante H homogène à une distance. On prendra
pour la suite P0 = 1,0 bar.
d) Exprimer la masse volumique ρ de l’air en fonction notamment de l’altitude z, en
posant ρ = ρ0 pour z = 0.
e) Application numérique : calculer la masse volumique de l’air pour z = 0 et pour
z = 13 km.
f) En aéronautique de loisir, on a l’habitude de dire que la pression chute de 1 hPa
tous les 28 ft (pieds). On rappelle que 1 ft = 0,30 m. Montrer que cette règle pratique est cohérente
avec le résultat précédent pour les faibles altitudes.
g) Quel instrument de vol exploite la relation P(z) ?
Question I-2 : En réalité, la température diminue lorsque l’altitude augmente. On adopte un
modèle affine, la température diminuant de 0,65°C à chaque fois que l’altitude augmente de 100 m.
On prend T = T0 = 288 K pour z = 0.
a) On pose T ( z ) = T0 (1 − αz ) . Donner la valeur numérique de α.
b) En aéronautique, on utilise l’atmosphère « normalisée » ISA (International Standard Atmosphere), qui tient compte de valeurs moyennes sur le globe terrestre à la latitude 45° nord
(tableau ci-dessous). Les valeurs du tableau sont-elles en accord avec le modèle affine de la question a) ?
Altitude (m)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Pression (hPa)
1013
955
900
845
794
746
700
Température (°C)
15,0
12,0
8,5
5,5
2,0
–1,0
–4,5
Altitude (m)
Pression (hPa)
Température (°C)
6000
7000
8000
9000
471
411
357
307
–24,0
–30,5
–37,0
–43,5
dP
c) On souhaite connaître le gradient de pression
pour les différentes valeurs de z
dz
du tableau. Expliquer comment estimer simplement ces valeurs, de façon approchée.
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3500
658
–7,5
4000
617
–11,0
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5000
541
–17,5
Devoir n°4
Application numérique : estimer
dP
pour z = 1000 m. L’approximation de la question 1-f
dz
est-elle validée ?
δ
d) On peut montrer que la pression obéit à une relation P ( z ) = P0 (1 − β z ) , avec
β = 2,26×10–5 m–1. Quelle grandeur tracer en fonction de quelle autre pour obtenir des points quasiment alignés si le modèle est valide ? En utilisant cette méthode, évaluer la valeur de δ, en expliquant la démarche.
Question I-3 : Le tube de Pitot (voir figure 5) est un dispositif simple permettant de mesurer
la vitesse d’écoulement de l’air dans le référentiel lié à l’avion, L’appareil de mesure correspondant
s’appelle un anémomètre.
tube de Pitot
B
A
port statique
Figure 5-a : Schéma général d’un
capteur de vitesse à tube de Pitot
Figure 5-b : Tube de Pitot et port statique
d’un Tecnam P2002JF
Le flux d’air passant le point B arrive exactement en face du tube, il n’est pas dévié et freiné
jusqu’à l’arrêt au point A. Il subit une compression adiabatique. La pression environnante dite statique est prise sur un port perpendiculairement à l’écoulement
L’air est décrit par le modèle du gaz parfait du point de vue de la thermodynamique et son
écoulement est supposé stationnaire et parfait du point de vue de la mécanique des fluides.
a) À partir du premier principe écrit pour un écoulement stationnaire, exprimer la
vitesse de l’écoulement au point B, notée v, en fonction de R, γ, TB − TA et M la masse molaire de
l’air. (A est le point d’arrêt du tube de Pitot.)
b) En déduire l’expression de v en fonction de R, γ TB, PB et ∆P = PA – PB (différence
de pression entre celle mesurée par le tube de Pitot et la pression statique).
c) Conclure quant au fonctionnement de l’anémomètre à tube de Pitot en pratique.
PARTIE II
POUSSEE D’UN REACTEUR ET DIFFERENTES PHASES DE VOL
Poussée d’un réacteur
Question II-1 : On commence par étudier la force de poussée F 1 due à un réacteur. On se
place pour cela dans le référentiel lié au réacteur, donc à l’avion, et en régime stationnaire. Le
schéma ci-dessous (figure 6) établit un modèle très simplifié d’un réacteur : il représente une coupe
de celui-ci dans un plan passant par son axe G, xb . Le réacteur admet une symétrie de révolution
(
)
autour de cet axe. L’air est absorbé à l’avant avec un débit massique DmE constant et une vitesse
v E = − vE xb . Le carburant arrive dans la zone grisée de façon radiale, donc orthogonalement à l’axe
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Devoir n°4
(G, x ) , avec un débit massique D
mC.
b
Les gaz brûlés ressortent avec un débit DmS constant et une
vitesse v S = − vS xb .
DmC
arrivée de carburant
(zone de combustion)
P0
vS
vE
P0
P0
xb
P0
DmE
DmS
P0
P0
arrivée de carburant
(zone de combustion)
Figure 6 : schéma de l’écoulement dans un réacteur
a) Lorsque le réacteur, de masse mR, est à l’arrêt, entièrement entouré d’air à la pres
sion P0, quelle est la force F 0 qu’exerce le réacteur sur l’aile à laquelle il est attaché ? (bien faire
attention à la définition de F 0 ).
b) En expliquant bien la méthode et le ou les systèmes considérés, déterminer la
force de poussée F 1 , c’est-à-dire la partie de la force qu’exerce le réacteur sur l’aile à laquelle il est
attaché, du fait de son fonctionnement en régime stationnaire. On exprimera F 1 à l’aide des vitesses
v E , v S et des débits DmE et DmC .
c) Que suggérez vous pour augmenter la poussée d’un réacteur ?
Question II-2 : On étudie le vol de croisière pour lequel l’avion est réputé « lisse », c’est-àdire que les volets et les becs sont rentrés.
a) Pour les angles d’incidence inférieurs à 15°, Cz est une fonction croissante de
l’angle d’incidence . Dans le même domaine, Cx est-il une fonction croissante ou décroissante de
α?
b) Quelles sont les valeurs numériques de Cx et Cz pour α = 5°?
c) Quelle est la finesse de l’aile pour cette valeur de l’angle d’incidence ?
d) Si un planeur avait la finesse calculée précédemment, quelle altitude perdrait-il en
l’absence de vent et de courant ascendant, si sa coordonnée horizontale variait de 1,0 km ?
A PARTIR DE CE POINT REDIGER LE DS SUR LA COPIE D’INFO
Étude du décollage
On souhaite réaliser l’étude du mouvement lors du décollage de l’avion grâce à l’outil informatique (on utilisera le langage Python). L’une des équations traduisant la phase de décollage de
l’avion est la suivante :
1 2
ρv SC x ( α ) sin ( α ) − Mg cos ( γ1 + α ) = 0 (equ D)
2
Question II-3 : On suppose données deux collections triées, l’une (baptisée collec1)
correspondant à une succession de couples de valeurs de Cx et de Cz, et l’autre (baptisée collec2)
correspondant à une succession de couples de valeurs de α et de Cz. Ces valeurs obtenues expérimentalement ont permis de tracer les courbes de l’annexe 2. Dans la suite, on se limite aux domaines de définition tels que les fonctions f(α) et g(Cx) sont strictement croissantes.
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Devoir n°4
a) Préciser, en justifiant le choix, le type (tuple ou liste) des collections collec1 et
collec2.
b) À partir des courbes de l’annexe 2, écrire quatre éléments de collec2 pour des valeurs de α régulièrement réparties entre 0 et 15° (valeurs comprises) correspondant au décollage.
Question II-4 : Les valeurs de Cz des collections collec1 et collec2 ne sont pas nécessairement communes car elles sont obtenues lors d’expériences distinctes. Or on a besoin de valeurs de
la fonction Cx = f(α) dans l’équation D. Il faut donc établir un algorithme permettant de déterminer
à partir de la collection collec1, la valeur de Cx la plus appropriée pour toute valeur de Cz de
collec2 correspondant à une valeur donnée de α.
a) Écrire une fonction non_app(C, col) ou C est un float et col est une collection
de tuples contenant chacun 2 floats telle que non_app(C, collec1) renvoie False si C n’est
pas dans le segment qui contient les valeurs CZ de collec1.
Par exemple, si collec1 ne contient que les éléments (0.1 , 1), (0.2 , 2) et
(0.3, 3), non_app(0.05, collec1) et non_app(5, collec1) renvoient False alors que
non_app(0.25, collec1) renvoie True.
collec1
b) On cherche à écrire une fonction trouve_encad(C,coll) où coll est du type de
et qui fournit deux tuples : encadCx, encadCz.
Le tuple encadCz contient les 2 valeurs de Cz contenue dans coll qui sont de part et d’autre
de C et encadCx les deux valeurs de Cx correspondantes.
Écrire les instructions donnant encadCx et encadCz à l’aide de coll, dans les cas où coll
contient 2 éléments puis 3 éléments (dans ce cas, il y a deux résultats possibles suivant la valeur de
C ; il faut donc écrire le test correspondant).
c) Dans le cas où coll contient plus que 3 éléments, on procède par dichotomie en
ne gardant que la moitié de coll qui contient l’encadrement de C. Écrire l’ensemble de la fonction
trouve_encad(C, coll) en commentant les lignes importantes.
Remarque : Cette fonction utilise la fonction non_app(C, coll) définie précédemment et
renvoie un message d’erreur s’il n’existe pas d’encadrement de C dans les valeurs Cz de coll.
d) Pour obtenir la valeur de Cx associée à une valeur de Cz connaissant leurs encadrements, on utilise une interpolation linéaire. Écrire la fonction interpol(C, coll) qui donne la
valeur de Cx associée à la valeur de Cz = C.
Par exemple, si collec1 ne contient que les éléments (0.1 , 1), (0.2 , 2) et
(0.3, 3), interpol(1,collec1) renvoie 0.1 et interpol(1.5,collec1) renvoie 0.15.
Remarque 1 : Cette fonction utilise la fonction trouve_encad(C, coll) définie précédemment.
Remarque 2 : On supposera que C est bien dans le domaine des valeurs de Cz contenues dans
coll.
e) Écrire la fonction creer_liste_alpha_cx(coll1, coll2) qui créer une collection de tuples à deux éléments float, le premier étant une valeur de α contenue dans collec2, la
deuxième la valeur de Cx (approchée) correspondante.
Remarque : Cette fonction utilise les fonctions non_app(C, coll) et interpol(C, coll)
définies précédemment.
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Devoir n°4
A PARTIR DE CE POINT REDIGER LE DS SUR LA COPIE DE S.I.I.
Influence des gouvernes sur le comportement de l’avion
Dans cette partie, on distingue les forces aérodynamiques (dues à la vitesse V de l’avion) qui
s’exercent au centre de poussée des ailes et celles qui s’exercent au centre de poussée du PHR. Elles
admettent chacune a priori deux composantes, une force de portance F P et une force de traînée
FT .
Dans les expressions suivantes les angles α, β et δ sont exprimés en degré.
F PA
XB
F TA A
α
XA
V
ZA
1
F PA = − ρCZA AA V 2 z A
2
avec CZA = 0,2 + 0,1 α ;
1
F TA = − ρC XA AA V 2 x A
2
avec CXA = 0,02 + 2×10–3 α ;
AA = 845 m2.
Ailes : Centre de poussée A
La force de portance F PB du PHR appliquée au centre de poussée B admet deux composan
tes, F PP (force de portance du PHR sans les gouvernes) et F PG (force de portance des gouvernes
seules). La force de traînée est négligée soit F TB = 0 .
XC
β
F PG
XP
δ
B
XB
α
XA
V
F PP
ZA
PHR et gouvernes : Centre de poussée B
Avec :
ρ : masse volumique de l’air ;
Ai : aire de la surface i ;
Czi : coefficient de portance de la surface i ;
Cxi : coefficient de traînée ou résistance à
l’avancement de la surface i.
En raison de la symétrie des surfaces, les centres
de poussée sont alignés sur l’axe xB. La position du centre de gravité peut varier en fonction du nombre de passagers, du fret, de la quantité de carburant restant dans
les réservoirs, etc.
1
F PP = − ρCZP AP V 2 z A
2
avec CZP = – 0,2 + 0,1 (α + δ)
AP = 114 m2 (surface du PHR sans
les gouvernes) ;
1
F PG = − ρCZG AG V 2 z A
2
avec CZG = 3×10–3 (α + δ + β)
AG = 50 m2 (surface totale des
gouvernes).
32 m
B
XA
A
G
xB
yB
Centres de gravité et de poussée
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Devoir n°4
On se place dans le cas d’un vol stationnaire (voir Figure 7), l’avion vole à vitesse et altitude
constante. La configuration est la suivante : α = 3°, δ = –4°, β = 0°.
FPA
FTA
B
A
FR
G
V
xP, xC
xB
xA, x0
FPB
z0
P
Figure 7 : Vol stationnaire
z
Les données sont les suivantes :
masse de l’avion : m = 5×105 kg ;
densité de l’air à l’altitude considérée : ρ = 0,6 kg⋅m–3 ;
accélération de la pesanteur : g = 10 m⋅s–2.
Question II-5 : Déterminer, pour que de telles conditions de vol soient possibles :
a) la vitesse V (en m⋅s–1 et en km⋅h–1) à laquelle doit voler l’avion ;
b) la force de poussée FR des réacteurs ;
c) la position xA du centre de gravité G.
Le pilote incline la gouverne de profondeur d’un angle β < 0 ce qui provoque une croissance
instantanée de l’angle d’incidence α.
Question II-6 : Sachant que la vitesse de l’avion par rapport au galiléen est V = V ( t ) x A ,
 dV 
déterminer le vecteur accélération Γ = 
 de l’avion par rapport au galiléen.
 dt  R0
Question II-7 : Sachant que m Γ = ∑ F EXT , écrire les équations associées à cette relation :
a) en projection sur x A ;
b) en projection sur z A .
 A
On désigne par  0
 − E
0
− E
B 0  la matrice d’inertie en G de l’avion dans le repère RB.
0 C 
Question II-8 : Donner les expressions :
a) du moment cinétique en G ;
b) du moment dynamique en G.
Sans développer les calculs, quelle information complémentaire aux deux déjà écrites question II-7 apporte le principe de la dynamique ?
La vitesse de l’avion s’étant à nouveau stabilisée à une valeur moindre que sa valeur initiale,
se manifeste alors le phénomène dit de rappel de propulsion.
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Devoir n°4
Question II-9 :: Montrer, à partir des équations établies question II-7, que les évolutions de
dV
CxA et CzA ont pour conséquence une diminution de la vitesse de l’avion soit
< 0 et une prise
dt
dγ
d’altitude soit
> 0 (γ angle de pente de l’avion).
dt
PARTIE III :
ANALYSE DE LA FONCTION :
PIVOTER LA GOUVERNE DE PROFONDEUR AUTOUR DE L’AXE DES CHARNIERES
Dans la réalité, les centres de poussée des gouvernes de profondeur différent de celui du
PHR et sont pratiquement confondus avec leur centre de gravité CPG comme l’illustre la figure 8.
Le moment résultant M R = M R y C maxi des forces aérodynamiques et du poids des gouvernes sur
l’axe des charnières C a été évalué, pour une vitesse maximale de 1090 km/h et un angle β = –30° à
MR = 1,6×104 N⋅m.
CPG
xA
PHR
C
β
FPG
xC
Figure 8 : Force de portance sur une gouverne
Vérification des caractéristiques du vérin.
Objectif : vérifier que les caractéristiques du vérin permettent de satisfaire la fonction technique : « Générer un couple moteur autour de l'axe des charnières supérieur au couple résistant ».
Eléments du cahier des charges
Fonction Critères
Niveaux
Générer
un couple
moteur
à B0C.
Moment MR maxi des actions aérodynamiques pour β= –30°
1,6.10 4 Nm
Pression d’alimentation HP mini/maxi
Pression de retour BP
Section utile du vérin S
Distance nominale L0 entre attachements en position neutre
Longueur du bras de levier CB0
338/350 bars
7 bars
57,1 cm2
700 mm
155 mm
Nota : En position neutre (voir Figure 9), β = 0°, L0 =AB0 = 700 mm et AB0 perpendiculaire
xb
C
B0
A
30° 20°
Figure 9 : Gouvernes en position neutre (β = 0°))
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Devoir n°4
Le signe du moment M V exercé en C par le vérin sur la gouverne de profondeur dépend du
sens de déplacement de la tige du vérin. On note M R le moment résultant en C des forces aérodynamiques sur la gouverne.
Question III-1 : Indiquer dans le tableau ci-dessous que l’on reproduira sur feuille de copie
les signes (+ ou -) de M V et M R suivant que la tige du vérin sort ou rentre. En déduire les situations les plus défavorables.
– 30° ≤ β < 0°
0° ≤ β < 20°
MV
MR
MV
MR
Sortie de tige du
vérin
Rentrée de tige du
vérin
On considère que la tige du vérin rentre. On utilise les repères et notations suivants (voir Figure 10 ) :
R0 = C , x 0 , y 0 , z 0 : repère lié au PHR 0
R1 = C , x1 , y1 , z1 : repère lié à la gouverne 1
R2 = B, x 2 , y 2 , z 2 : repère lié à la tige du vérin 2
R3 = A, x 3 , y 3 , z 3 : repère lié au corps du vérin 3
(
(
(
(
)
)
)
)
x1
R
0
x0
C
1
β
2
3
B
0
A
B0
z0
L0 = B0A
x2, x
z1
z2
Figure 10 : Repères associés
(
(
ϕ x0
z3
)
Le PHR a une liaison pivot d’axe A, y 0 avec le corps du vérin et une liaison pivot d’axe
C , y 0 avec la gouverne. La tige du vérin a une liaison pivot d’axe B, y 0 avec la gouverne et
)
(
)
une liaison pivot glissant avec le corps du vérin. L’angle ϕ = ( x0 , x3 ) est négatif.
Rappel : 1 bar = 105 Pa = 105 N⋅m–2.
Question III-2 : Déterminer, pour une pression minimale de 338 bars, le module de la force
F V développée par le vérin.
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Devoir n°4
Question III-3 : Les angles β et ϕ étant dépendants, démontrer rigoureusement la relation
R ( cos ( β ) − 1)
suivante liant ces deux paramètres : tan ( ϕ ) =
.
L0 − R sin ( β )
Mt (Nm)
Question III-4 : Donner l’expression du moment M V exercé par le vérin sur l’axe C des
charnières en fonction de β et ϕ.
Question III-5 : Calculer le moment exercé par le vérin sur l’axe des charnières C dans les
31000
deux cas suivants :
a) β = 0 ;
30000
b) β = –30°.
29000
Conclure quant à la satisfaction ou non satisfaction de la fonction technique « Générer un
28000
couple moteur ».
À titre indicatif, la figure 11 ci-contre mon27000
tre l’évolution du moment exercé par le vérin en
rentrée de tige pour une pression de 350 bars
26000
25000
-30
-20
-10
0
10
20
β ( °)
Figure 11 : Évolution du moment exercé par le
vérin pour une pression de 350 bars
Analyse de la fonction technique : Transformer le mouvement de translation de l'actionneur en mouvement de rotation de la gouverne autour de l'axe des charnières
Objectif : vérifier que la course du vérin est compatible avec le débattement des gouvernes.
Eléments du cahier des charges
Fonction
Critères
Niveaux
FT1-2
Distance nominale L0 entre attachements en position neutre
700 mm
Longueur du bras de levier R
155 mm
Course maxi de la tige du vérin à partir de la position neutre
± 90 mm
Section utile du vérin S
57,1 cm2
On utilise les repères et notations définis figure 10. On considère que β et ϕ sont liés par la
R ( cos ( β ) − 1)
relation : tan ( ϕ ) =
.
L0 − R sin ( β )
Question III-6 : Démontrer que la longueur L = AB entre les attachements A et B du vérin
pour une position β des gouvernes est donnée par l’expression :
L = 2 R 2 + L0 2 − 2 R ( R cos ( β ) + L0 sin ( β ) ) .
Question III-7 : En déduire l’expression de la course x2 du vérin en fonction de β et vérifier
qu’elle est compatible avec les spécifications du cahier des charges pour β = −30° et β = 20° .
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60
40
20
Course (m m )
Question III-8 : La Figure 12 représente
l’évolution de la course x2 du vérin en fonction
de β. Elle autorise l’hypothèse selon laquelle
l’évolution de β en fonction de x2 est linéaire,
c'est-à-dire de la forme β = K G x2 avec β en radians et x2 en mètres. Déterminer KG.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
β (°)
Figure 12 : Évolution de la course x2 du
vérin en fonction de β
Proposition technologique pour les charnières
La gouverne extérieure a une envergure ou longueur de 9 m. Le plan horizontal réglable est
déformable sous l’action des efforts aérodynamiques.
Question III-9 : Indiquer et justifier le choix des composants que l’on peut prescrire pour
réaliser la liaison pivot entre la gouverne et le PHR :
a) une rotule et une linéaire annulaire très proches,
b) une rotule et une linéaire annulaire très éloignées.
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ANNEXE 1
L’avion et son repère
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ANNEXE 2
Courbes Cz = f(α) et Cz = g(Cx)
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