Sur les immersions de Boy

S U m LES IMMERSIONS DE BOY
p a r J. LANNES
O n p r e c i s e les e n t i e r s p o s i t i f s n p o u r lesquels fl existe une i m m e r s i o n
g ~ n ~ r i q u e d'une v a r i 4 t ~ ferm~e de d i m e n s i o n n-I dans l'espace e u c l i d i e n de
d i m e n s i o n n a y a n t un nombre impair de points n-uples. O n m o n t r e en p a r t i c u lier que le seul n divisible par 4 qui convienne est 4, c o m p l ~ t a n t ainsi
les r~sultats de P. J. Eccles
O.
[4].
LE P R O B L E M E DES IMMERSIONS DE BOY
L a q u e s t i o n que l'on p o s e est la suivante
: p o u r quels entiers p o s i t i f s
n e x i s t e - t - i l une i m m e r s i o n g~n~rique, d'une vari~t~ ferm~e de d i m e n s i o n
n-I dans l'espace e u c l i d i e n de d i m e n s i o n n, ayant u n nombre impair de
points n - u p l e s ?
Un exemple d ' u n e telle immersion est fourni par l ' i m m e r s i o n du p l a n
p r o j e c t i f r~el dans l'espace e u c l i d i e n de d i m e n s i o n 3 dont l'image est
connue sous le nom de surface de Boy [6]. C ' e s t cette v ~ n ~ r a b l e curiosit~
m a t h 4 m a t i q u e qui justifie le n o m que nous donnons ~ la q u e s t i o n p o s 4 e cidessus.
Le p r o b l ~ m e des immersions de Boy orient~es est r ~ s o l u par P. J. Eccles
dans
[3]
(voir aussi [9]). Dans [4] P. J. Eccles donne une s o l u t i o n du
p r o b l ~ m e sans r e s t r i c t i o n sur l ' o r i e n t a t i o n dans le cas o~ n n ' e s t pas
divisible p a r 4. Dans la p r ~ s e n t e note nous compl~tons cette solution.
Les t r a v a u x de P. V o g e l
[13] p e r m e t t e n t de ramener le p r o b l ~ m e des
immersions de Boy & une q u e s t i o n c o n c e r n a n t l ' h o m o m o r p h i s m e d ' H u r e w i c z
n
:
n
aussi avant d'exposer notre solution, c o m m e n q e r o n s - n o u s a r a s s e m b l e r q u e l q u e s
r~sultats relatifs ~ la t o p o l o g i e alg~brique des espaces
~S~X
ou p l u t 6 t
des espaces de configurations.
I.
RAPPELS S U R LES ESPACES DE C O N F I G U R A T I O N S
Soit X un espace point4, on note C X l'espace des c o n f i g u r a t i o n s associ4
X et s : CX
~
S~X l'application naturelle
(qui est une ~ q u i v a l e n c e
264
d'homotopie
r : CX
si X est connexe
~ >X l'application
I )
le point base @tant suppos@
stable dont l'adjointe
d@signe une application
"bon"). On note
est s (une fl@che barr~e
stable).
Soient m I> 1 une entier et E ~ m un espace contractile
groupe sym~trique
(E ~ m ) + A
Y+ d@signe
[Pm : CX
appel@es
agit librement.
m,n
CX
_
)C
"James-Hopf
c
x
: CX
l ~ ~m~n
~ m x les applications
invariants"
x
k0m
_
sur lequel le
~ m x le quotient de l'espace
la r@union disjointe de Y e t
~
)
n
> c~
2. QUELQUES FORMULES
L'application
pas avec les
m
X
n
rl
X __~
de multiplicit6s
[i] [8].
~m x
m
~c <~
r~
nx
>
~m~n
la formule ci-dessous
x
DE L'ESPACE CX.
l )X n'@tant qu'une application
kj-produits,
de [13]
suivantes
INSTABLES DANS LA COHOMOLOGIE
r : CX
(si Y
r m : CX---+ ~ m x,
les compositions
C ~
~m
d'un point base).
dans la terminologie anglo-saxonne
On note enfin respectivement
r
On note
(X A x A...A x) , x m fois, par l'action diagonale de
est un espace,
On note
~m
:
pr@cise
stable ne commute
le d@faut de
commutativit@.
Proposition
2.1
:
Soient
classes de cohomologie
(CX; A I ~ A 2) la formule
r
(u1~
o0 tr d4signe
2.2
A 1, A2
dans ~*(X,
deux groupes ab@l~ens
et u I , u 2 deux
il), H (X; A 2) respectivement.
On a dans
:
u2) = (r u I) k-; (r u 2) - r2tr(u I × u 2)
la transfert
A v a n t d'~noncer
:
(X A x; A I ~ A2)--~
les deux formules
suivantes
(~2x;
A1 ~
A2).
il nous faut d'abord intro-
duire certains polynSmes.
2.2.1.
Soient A un anneau commutatif
et {ai} i 6 I
une famille
de A. Pour toute pattie non vide J de A on pose aj =
Sm, la m ~me fonction sym4trique
des a i
:
\
s
=
m
Plus g4n~ralement
/
.,
#J = m
a
J
on pose
Sm'n
= >
, (aj) n
#J = m
7
i 6 J
finie d'41~ments
al . On note
265
On note enfin t
la m eme fonction sym~trique
mrn
~ n ~l~ments de I.
des parties
On consid&re
la variable T
l'anneau de polyn6mes
des aj, J d4crivant
l'ensemble
~ [TI,T2,...,Tm,... ] ; on attribue
le poids m.
m
II existe un unique polyn6me
~
(resp. @
) tel que l'on ait,
m,n
m,n
pour tout anneau commutatif A et route famille
{ai}i 6 I d'~l~ments de A
:
resp.
Les polyn6mes
%,n'
fait des polynSmes
Lemme 2.2.2
:
respectivement
Sm, n =
% , n ( S l , S 2 .... )
tin,n =
@ m , n ( S l , S 2 .... )
%,n
sont homog~nement
en T1, T2,...,Tmn
Les coefficients
(-1)m(n-1)n et
p o n d ~ r ~ de poids mn; ce sont en
.
de T
darts les polynSmes
(m-T~ (n-l)
~
et @
sont
m,n
m,n
(-1)
S0it u une classe de ~q(x; A)
avec A = ~ / 2 si q est impair et
~me
si q est pair, on note p u la m
puissance externe de
m
Steenrod appartenant & ~mq( ~ X ; A ) [12 ; p . 9 9 ] .
m
A
= ~/2
ou ~
Proposition
r~Pmun =
2.2.3
(formule de Newton)
On a dans H
(CX; A ) la formule
~m,n(r u,r2P2u , r3P3u .... ).
Corollaire
2.2.4
r~P u n
m rn
-
:
On a dans H
-= ( l)m(n-l)n r* ~ u
mn mn
Proposition
2.2.~
rm,nPm Pnu =
2.2.6
r
m
2.3
la congruence
On a dans H
(cx;A)
~
:
~(cx;A).
la formule
Qm,n(r u,r2P2u,r3P3u,...).
Corollaire
P P u
m,n m n
:
(CX;A)
modulo ~(cx;A)
:
On a dans H ( c x ; A )
(-i) (m-l) (n-l) r ~ P u
ran mn
La derni~re
Pontryagin
~
:
la congruence
modulo ~ ~ (CX;A) k j ~
formule de ce paragraphe
~2k(
;~/2)
>~4k(
:
(CXlA)
fait intervenir
;~/4) , elle mesure
.
le carr4 de
le "d4faut de
stabilit4" de cette operation.
Proposition
~4k (CX ;~Z/4)
2.3
:
Soit u une classe dans ~2k(x;Z~/2) , on a dans
la formule
:
r* u :
+ 2,r2P2u
266
2,
d~signant
l'inclusion
l'application
de ~ / 2
Cette
H
m = Iet
DES I M M E R S I O N S
Le groupe de c o b o r d i s m e
[14][13]
modulo
A nest
isomorphe
et en faisant
n-uples
CMO(1)
on d ~ f i n i t
3.1
n
de l ' i n v a r i a n t
est fond~e
Casn
est aussi
la c o m p o s i t i o n
m i (mod.
r P U
n n
est r 4 s o l u dans
n CMO(1)
n
o~
l,
d~signe
2). D ' a p r ~ s
suivante
Puisque
Th~or~me
trivial
3.1.1
)~/2
) ~/2
positifs
n pour
lesquels
La solution
q u e nous en donnons
2.2.4.
2.2.4
=
~
) g
sin
:
S
n
h
) ~/2
:
de I~P~
de Hopf.
est s u r j e c t i f
(P. J. Eccles)
n
) ~/2
i n d u i t e p a r le p l o n g e m e n t h a b i t u e l
l'invariant
d u fameux r ~ s u l t a t
si et s e u l e m e n t
8
; Un
~*
gS~p~.
n
A = ~/2)
(avec m = I e t
:
e s t la c o m p o s i t i o n
n
l'application
consequence
: ~ CMO(1)
n
(~ la s o l u t i o n pros
) H CMO(1)
n
dans SO et o~ h d4signe
comme
n
[4]
Hurewicz
8
g~n~rique
@
de dimen-
~SMo(1) = ~ CMO(1)
n
n
le nombre
~ a r 4.
de Kervaire!).
CMO(1)
O n en d 4 d u i t q u e
ferm~es
stable
un h o m o m o r p h i s m e
les entiers
sur la c o n g r u e n c e
3.1.1
n
de v a r i ~ t ~ s
est non trivial.
Dans ce cas le p r o b l ~ m e
ci-dessous
[16].
2 de MO(1).
est de d ~ t e r m i n e r
L e ca 9 o~ n n ' e s t ~ a s d i v i s i b l e
du probl~me
2.2.3 avec
:
la classe de T h o m m o d u l o
~
dans
a une i m m e r s i o n
) H CMO(1)
n
Le p r o b l ~ m e
cet h o m o m o r p h i s m e
induite p a r
DE BOY
Hurewicz
o~ U d ~ s i g n e
;~/4)
de la p r o p o s i t i o n
d'immersions
[13] est la c o m p o s i t i o n
n
)H~(-
au g r o u p e d ' h o m o t ~ i e
correspondre
2 de ses p o i n t s
qui d'apr~s
;~/2)
n = 2, elle est g ~ n ~ r a l i s 4 e
SOLUTION DU PROBLEME
sion n-i dans
(
formule est une c o n s e q u e n c e
q = 2k, A = ~ ,
3.
:
dans ~ / 4 .
sur la 2 - c o m p o s a n t e
sur l ' i n v a r i a n t
P o u r n impair
= I, 3, 7.
de
de H o p f
~S[7]
n
:
l'homomorphisme
on o b t i e n t
@
n
est non
267
3.1.2
Casn
A = ~/2 ) @
m 2
(mod. 4). P o s o n s
est aussi
n
n = 2£
la c o m p o s i t i o n
suivante
Hurewicz
r2P2U
~nCMO(1)
Ace
point
m 2
2.2.4
= r2(P2U )
> =/2
(mod. 4) se s u b d i v i s e
en d e u x sous-cas.
~+
I n ' e s t p a s une p u i s s a n c e
de 2 on u t i l i s e
dQ & N. B o u d r i g a
et S. Zarati p o u r m o n t r e r
que
Lemme
3.1.2.1
:
d'augmentation
puissance
S o i e n t I la classe
de l'alg~bre
de 2 alors
Si
£ + iest
m ~ m e des formes
C M O (1 }
<
d~signe
=
S~p~
n
l'invariant
on obtient donc
Th~or~me
3.1.2.2
est t r i v i a l
@
n
~*
n
de K ( ~ / 2 , 2 )
2. Si
Z+I
et I l'id4al
n ' e s t p a s une
(K(=/2,2);~/2).
de 2 on m o n t r e
~ p a r t i r de la d 4 f i n i t i o n
e s t la c o m p o s i t i o n
> ~
le lemme s u i v a n t
est trivial.
S
n
<
~
:
=12
de Kervaire.
:
(P. J. Eccles)
sin
~ IH
une p u i s s a n c e
que
e
fondamentale
de S t e e n r o d m o d u l o
appartient
de K e r v a i r e
n
o6
I£
(avec m = 2 et
:
7HnCMO(1)
l& le c a s n
Si
, d'apr~s
:
Pour n m 2
+ 2 n ' e s t pas une p u i s s a n c e
(mod.4)
de 2; s i n
l'homomorphisme
e
n
+ 2 est une p u i s s a n c e
de 2, 8
est non t r i v i a l si et s e u l e m e n t si l ' i n v a r i a n t de K e r v a i r e
:
n
~S
D =/2
est non trivial ( e est donc non trivial en p a r t i c u l i e r
n
n
n = 2, 6, 14, 30, 62).
3.2
Le cas oG n e s t
d i v i s i b l e p a r 4.
Ii reste d o n c ~ t r a i t e r
que dans le cas
est s u g g ~ r 4
dans
celle d ~ c r i t e
n m 4
e
le cas oG n e s t
est non t r i v i a l
n
[4]
si
, signalons
divisible
si et s e u l e m e n t
~galement
en 3.1.2 N. B o u d r i g a
sin
p a r 4. On va v o i r
= 4. c e r ~ s u l t a t
qu'en e m p l o y a n t
et S. Zarati m o n t r e n t
une m ~ t h o d e
dans
analogue
[2] que p o u r
(mod. 8)
Th~or~me
@ e s t t r i v i a l s i n + 4 n'est pas une p u i s s a n c e de 2.
n
O n va u t i l i s e r cette fois-ci les f o r m u l e s 2.2.6, 2.3 et 2.1.
3.2.1
:
Soit k un e n t i e r positif,
: V___-__+~ 4k , d'une v a r i 4 t ~
d i e n de d i m e n s i o n
m e n t si k = I.
il existe une i m m e r s i o n
ferm~e de d i m e n s i o n
4k, ayant un nombre
4k-i dans
impair de p o i n t s
g~n~rique
l'espace
4k-uples
eucli-
si et seule-
2~8
Pour preparer
la d4monstration
duire les deux propositions
Proposition
3.2.2
M _ _ - _ _ ~ 4k
de
:
de ce th4or~me il nous faut intro-
suivantes.
Soient M u n e
vari~t~
une immersion g~n~rique,
ferm~e de dimension
2k et
alors le nombre M 2 de points doubles
8 est donn~e modulo 2 par la congruence
:
1
M 2 - ~ X(~)
o~
~8
d~signe
~ <wlw2k_l( ~ M ), [M]>
le fibr4 normal de
(qui est un entier pair),
8
et
(mod. 2)
X( V 8) le nombre d'Euler de ce fibr4
9M le fibr4 normal stable de M
jacent ~ 9 8 )' et [M] la classe d'orientation
Cette proposition,
qui g~n4ralise
M. Mahowald dans le cas de plongements
de la formule 2.3 et de l'expression
Proposition
et
3.2.3
y : N
normal
--4k
<WlW2k_l(V
D4monstration
~m
:
:
N
w Iet
ferm4e de dimension
g4n4rique,
~
un fibr~ vectoriel
Gm
3k, avec k pair,
N
2
de
~
est nul.
et m un entier positif,
~m. Pour d~montrer
H
on note
la proposition
dessus on ~crit ~ l'aide de 2.1 la classe r20 w l w 2 k _ l ( ~ 2 ~y)
l'isomorphisme
.
alors le nombre caract~ristique
2
Soit
de la classe d'Euler,
W2k_l , de ce fibr~ [ii]
), [N2]> de la vari~t~ double
~ le fibr~ vectoriel E ~ m
de H. Whitney et
[Ii], est une consequence
2k en fonction,
Soient N une vari4t4
une immersion
[10]
du carr~ de Pontryagin de la classe de
Thom modulo 2 d'une fibr~ de dimension
et des classes de Stieffel-Whitney
des r4sultats
[15]
(qui est sous-
modulo 2 de M.
ci-
(@ d~signe
de Thorn modulo 2) comme une som/ne de ~2-produits
dans
( C T ~ y ;~/2).
D4monstration
: N
~4k
du th~or~me 3.2.1
:
Soient N 3k la vari~t4 k-uple de ~,
une immersion g~n~rique
r~guli~rement
induite par ~ , M 2k la vari~t~ double de
g4n4rique r~guli~rement
homotope
y
et
~ l'immersion
~ : M -induite par
2.2.6 montre que le hombre de points 4k-uples de
nombre de points quadruples
8
de
y
homotope
~ l'immersion
>
4k
une immersion
y . La formule
d est congru modulo 2 au
ou encore au nombre de points doubles de
•
La proposition
(F)
en effet l'entier
3.2.2 donne alors
@4k (~) =
X(~8)
:
<wlw2k-I ( ~ M )' [M]>;
est nul puisque
~8
est image r4ciproque de
269
~2
~k
~ '
~ d ~ s i g n a n t le fibr4 c a n o n i q u e sur BO(1), et que donc la
ciasse
d'Euler e(~8) est de torsion.
D ' a u t r e p a r t le non@0re c a r a c t 4 r i s t i q u e
<WlW2k_l(~M),[M]>
est
nul si k n'est pas une p u i s s a n c e de 2 sans aucune h y p o t h ~ s e s u p p l ~ m e n t a i r e sur
M. En outre, d'apr~s 3.2.3, comme M est la v a r i 4 t ~ double de
~ , ce nombre
c a r a c t ~ r i s t i q u e est nul si k ~ i.
E n f i n pour k = i la formule
(F) implique que la c o m p o s i t i o n
e4
zS
3 =
est l'invariant de Hopf
~MSO(1)
[5]
, ~MO(I
et donc que
• ~/2
e 4 est non trivial.
R~f~rences
[I]
M. G. B a r r a t t et P. J. Eccles
tureof~
[2]
~ A, T o p o l o g y 13
N. B o u d r i g a et S. Zarati
:
F + s t r u c t u r e s III : the stable
Struc-
(1974), 199-207.
:
Points m u l t i p l e s isol4s d'immersions de
c o d i m e n s i o n 2 (~ paraitre).
[3]
P. J. Eccles
:
Multiple points of c o d i m e n s i o n one immersions of o r i e n t e d
manifolds, Math. Proc. C a m b r i d g e Philos. Soc. 87
[4]
P. J. Eccles
:
C o d i m e n s i o n one immersions and the K e r v a i r e invariant
problem, Math. Proc. C a m b r i d g e Philos. Soc. 9 0
[5]
M. H. F r e e d m a n
Helv.
[6]
53
(1980), 213-220.
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(1981), 483-493.
Quadruple p o i n t s of 3-manifolds in S 4, Comment. Math.
(1978), 385-394.
D. H i l b e r t et S. C o h n - V o s s e n
:
G e o m e t r y and the imagination. C h e l s e a
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[7]
D. S. Kahn et S. B. P r i d d y
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Math. Proc. C a m b r i d g e Philos.
[8]
Soc. 83
U. K o s c h o r k e et B. J. S a n d e r s o n
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[9]
The transfer and stable h o m o t o p y theory,
J. Lannes
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(1978), 103-111.
Self intersections and higher Hopf
(1978), 283-290.
Immersions et h o m o m o r p h i s m e d'Hurewicz
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270
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(1964), 1335-1341.
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P a c i f i c J. Math. 31
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[16]
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Centre de M a t h ~ m a t i q u e s
Ecole Polytechnique
91128 P a l a i s e a u C e d e x (France)
O n Boy immersions.
We s p e c i f y the p o s i t i v e integers n for w h i c h there exists a s e l f - t r a n v e r s e
immersion of a closed
(n-l)-manifold in the E u c l i d e a n n - s p a c e w i t h a n o d d
number of n - f o l d points.
In p a r t i c u l a r it is s h o w n that the only n divisible
b y 4 that fits is 4 itself; this completes ~le results of P. J. Eccles
[4].