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LA THÉORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS
Introduction
Renouvellement de la question des savoirs
I. Situations, schèmes et concepts
1. Les situations
a) Définition et exemples
Gérard
Vergnaud,
psychologue,
aborde
la
question
de
l ’apprentissage en tenant compte à la fois du sujet (de ses
connaissances) et des savoirs constitués.
La notion de situation a été définie en didactique des mathématiques,
par Guy Brousseau notamment, en lui conférant une dimension
affective et cognitive (voir cours sur la théorie des situations).
Il s’inscrit dans la continuité des travaux de Piaget qui a dirigé sa
thèse, mais il prend une distance avec la réorganisation des
connaissances
dans
des
structures
logico-mathématiques
générales.
Chez Vergnaud, les situation désignent l’ensemble des circonstances
dans lesquelles se trouve une notion mathématique.
Il ne dissocie pas le savoir de son utilisation :
Exemples de situations d’addition.
« La connaissance rationnelle est opératoire ou n'est pas. »
Finalité de la théorie des champs conceptuel
Fournir des moyens pour comprendre les filiations et les ruptures
entre les connaissances d ’un sujet :
A. Dans la classe, il y a des garçons et des filles.
B. L’infirmière a toisé les élèves, elle a dit que j’ai grandi.
C. Maud est plus âgée que moi et Elsa est plus jeune que moi.
-sujet enfant ou adolescent (savoir-faire et savoirs exprimés) ;
-sujet adulte (contraint par des habitudes professionnelles).
I. Situations, schèmes et concepts
1. Les situations
I. Situations, schèmes et concepts
1. Les situations
b) Les situations et l’apprentissage des notions sous-jacentes
c) Analyse des situations et des problèmes qu’elles posent
Deux aspects sont à prendre en compte dans l’examen des situations
proposées pour l’enseignement d’une notion :
L’analyse des situations conduit à négliger les informations peu ou
pas pertinentes au profit de celles qui le sont (variables connues et
inconnues) et des relations entre elles.
-d’une part leur extraordinaire diversité pour une même notion
mathématique ;
-d’autre part le rôle de chacune d’elles dans la construction des
connaissances des élèves à propos de cette notion.
En conséquence, se pose la question de l’ordre dans lequel les
situations sont proposées, de la fréquence avec laquelle on rencontre
ces situations dans l’enseignement ou dans la vie courante.
Cela pose aussi la question de l’enseignement à proposer pour que
les élèves sachent utiliser les notions qu’ils ont apprises, y compris
pour résoudre des problèmes qu’ils n ’ont pas rencontrés auparavant.
Une telle analyse permet de déterminer les problèmes issus d’une
situation, au-delà même de ceux qu’on rencontre dans la vie
courante.
Exemple : hier matin j ’ai acheté une baguette « tradition » à la
boulangerie de mon quartier, elle coûte un peu plus cher que la
baguette ordinaire, mais elle est bien meilleur ! J ’ai payé avec
une pièce de 2 euros cette baguette à 1,20 euros, la boulangère
m ’a rendu huit pièces de 10 centimes car elle n ’avait pas
d ’autre monnaie.
Trois problèmes issus de cette situation d’achat d’un article payé
en espèce avec rendu de monnaie.
I. Situations, schèmes et concepts
1. Les situations
I. Situations, schèmes et concepts
2. Les schèmes
d) Classes de situations
a) Définition
La relation entre situations et notions mathématiques n’est pas
simple : il y a souvent différentes situations pour une même notion,
et souvent différentes notions pour une même situation.
Un schème est l’organisation invariante de la conduite d’un sujet qui
permet traiter une même classe de situations.
En prenant le terme de situation au sens large (comprenant à la fois
les circonstances dans lesquelles se trouve une notion mathématique
et les problèmes qui sont issus de cette situation) Gérard Vergnaud
propose de classer les situations en fonction leur traitement : deux
situations seront dans la même classe si elles appellent le même
traitement.
Exemple : la classe des situations où une petite collection
d’objets est à dénombrer.
Le traitement est le même, on « compte » les objets un par un.
I. Situations, schèmes et concepts
2. Les schèmes
Le schème est fonctionnel, il comporte à la fois l’organisation des
gestes, des formes langagières, des opérations de pensées, des
interactions sociales qui permettent de traiter une classe de
situations.
Exemple : le schème du dénombrement des petites collections.
Ce schème repose sur différents principes : abstraction, ordre
indifférent, bijection, cardinalité...
Ces principes sont des concepts (bijection, cardinalité) ou des
théorèmes (abstraction, ordre indifférent) qui n ’ont pas besoin d’être
formulés pour être utilisés : ce sont des concepts-en-acte et des
théorèmes-en-acte.
I. Situations, schèmes et concepts
2. Les schèmes
b) Composantes des schèmes
c) Efficacité des schèmes
On distingue quatre éléments organisateurs des schèmes :
Les erreurs viennent d ’une mauvaise adaptation d ’un schème à la
particularité de la situation (problème d’inférence), d ’une
mobilisation d ’un schème inadapté à la situation (défaut de
conceptualisation), d ’un théorème-en-acte faux, etc..
-le ou les buts, les sous-buts et les anticipations ;
-les règles d’action, de prise d’information et de contrôle, dont la
fonction est de générer la conduite ;
-les invariants opératoires (concepts-en-acte, théorèmes-en-acte) qui
permettent de sélectionner l’information pertinente et de la traiter ;
-les inférences en fonction des particularités de la situation
rencontrée et qui s’effectuent à partir des informations et du but visé.
•Exemple 1
Il y a 9 enfants dans la ronde.
•Exemples 2 et 3
35
- 17
22
•Exemple 4
1/2 + 1/3 = 2/5
Problème : Maud a 4 ans de moins que Raphaël.
Maud a 17 ans. Quel est l ’âge de Raphaël ?
Réponse : Raphaël a 13 ans.
I. Situations, schèmes et concepts
3. Les concepts
I. Situations, schèmes et concepts
3. Les concepts
a) Définition des concepts
b) Exemple : le concept d’addition
Dans une étudie didactique ou psychologique, Vergnaud propose de
ne réduire les concepts ni à leurs définition, ni à leur utilisation :
•Cette opération est définie mathématiquement en fonction des
éléments sur lesquels elle porte.
« Un concept ne se peut pas se réduire à sa définition, du moins
si l’on s’intéresse à son apprentissage et à son enseignement »
Exemple : Si les entiers naturels sont définis comme des
cardinaux, l’addition des entiers naturels se définit par la réunion
d’ensembles disjoints.
« Un concept-en-acte n’est pas un concept, un théorème-en-acte
n’est pas un théorème »
Vergnaud définit un concept par trois ensembles :
-La référence : l’ensemble des situations qui donnent du sens au
concept ;
-Le signifié : l’ensemble des invariants sur lesquels repose l’efficacité
des schèmes ;
-Le signifiant : l’ensemble des formes langagières et non langagières
qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses
propriétés, les situations, et les procédures de traitement.
II. Les champs conceptuels
1. Des modèles différents pour analyser les problèmes
L’analyse d’une situation ou d’un problème convoque des modèles
différents suivant les objectifs de l’analyse (linguistique, logique,
etc.), la théorie des champs conceptuels donne un rôle essentiel aux
concepts eux-mêmes.
Problème 1 : Maud a joué aux billes à la récréation de 10h avec
son amie Claire. Elle en a perdu 8. Avec combien de billes Maud
repartira-t-elle sachant qu ’elle est arrivée avec 24 billes ?
Problème 2 : Maud a joué au billes. Elle en a perdu 8, il lui en
reste 16. Combien en avait-elle ?
Une analyse linguistique et une analyse des schèmes de traitement
de la situation mettent en relief des complexités différentes, elles ne
conduisent pas toujours aux mêmes conclusions quant à la difficulté
des problèmes.
•Dans la théorie de Vergnaud, le concept d’addition est défini par :
-l’ensemble des situations d’addition (partie/tout, report de longueur,
etc.) ;
-l’ensemble propriétés de l’addition, y compris celles qui sont sousjacentes aux techniques (ordre indifférent des nombres, mais pas des
chiffres, effet sur l’égalité, etc.) ;
-l’ensemble des formes langagières et non langagières (les termes
plus, somme, ajouter, retenue, etc., les expressions « je pose », « je
retiens », etc., les symboles +, (), = , etc.)
II. Les champs conceptuels
2. Filiations entre connaissances et champ conceptuel
Une situation et les problèmes qui en sont issus ne portent jamais sur
une seule notion mathématique. En conséquence, certaines notions
sont liées dans les processus d’enseignement et d’apprentissage.
Problème 1 (numération de position et cardinal d ’un ensemble) :
Nadia a 18 euros. Elle a un billet de 10 et le reste en pièces de 1
euro. Combien a-t-elle en pièces ?
Problème 2 (mesure d ’une grandeur, transformation et
transformation inverse) : Bachir a grandi de 18 cm en un an. Il
mesure maintenant 1,75 m. Quelle était sa taille l ’an dernier ?
La notion de champ conceptuel permet d’aborder ensemble les
situations et les concepts, elle est définie pour un ensemble de
concepts par :
-l’ensemble des situations portant sur ces concepts ;
-ces concepts et les théorèmes permettant de résoudre les
problèmes issus de ces situations.
II. Les champs conceptuels
III. Le sujet et la théorie champs conceptuels
2. Filiations entre connaissances et champ conceptuel
1. Catégorisation des situations d’un champ conceptuel
Exemple
Le champ conceptuel des structures additives recouvre :
-l’ensemble des situations dont le traitement met en œuvre une
addition, une soustraction ou un enchaînement de ces opérations ;
-les concepts de cardinal, de mesure, de transformation temporelle
de mesure, de comparaison quantifiée de mesures, de nombre
naturel, relatif, d ’axe gradué, de déplacement orienté et quantifié,
d’abscisse, etc.
Les situations d’un même champ conceptuel sont nombreuses. La
catégorisation que propose Vergnaud tient compte à la fois des
structures mathématiques sous-jacentes aux situations et du
développement psychologique des moyens de traiter ces situations.
La catégorisation des situations du champ conceptuel des structures
additives sera présentée dans le cours sur les problèmes additifs.
Exemples de situations additives différenciées par Vergnaud :
- « j’ai trois bonbons dans ma main, j’en rajoute deux et je la
referme. Combien y a-t-il de bonbons dans ma main ? (réussite à
5 ans)
-les théorèmes qui décrivent les propriétés de l’addition et de la
soustraction (commutativité de l ’addition, neutralité du zéro, etc.),
ainsi que ceux qui permettent de traiter des situations :
- « Robert vient de perdre 5 billes, il en a maintenant 7. Combien
en avait-il avant de jouer ? » (difficultés jusqu’à 8 ans)
Cardinal de la réunion de deux ensemble :
card (A u B) = card (A) + card (B) - card (A n B)
- « Julie a joué aux billes, elle en a perdu 6 à la récréation de
l’après-midi. Au cours de la journée, elle a gagné 10 billes. Que
s’est-il passé le matin ? » (75% d ’échec à 12 ans)
Transformation et transformation inverse :
T(I) = F
implique
T
-1
(F) = I
III. Le sujet et la théorie champs conceptuels
III. Le sujet et la théorie champs conceptuels
2. Le rôle des signifiants dans l’activité du sujet
Langage naturel
fonctions :
et
symbolismes
particuliers
3. Le sens dans la théorie des champs conceptuels
remplissent
trois
•Une fonction de communication
Le sens d’un concept pour un sujet est sa relation aux situations et
aux signifiants de ce concept, c’est-à-dire les schèmes évoqués chez
le sujet par ces situations ou ces signifiants.
Problème
Les signifiants langagiers permettent au sujet de désigner ou de
percevoir tel objet de la situation, telle relation, telle propriété, telle
intention, tel but, etc.
Un pâtissier a fabriqué 274 chocolats. Il prépare des paquets.
Dans chaque paquet, il doit mettre 16 chocolats.
Combien peut-il remplir de paquets ?
•Une fonction calculatoire
Démarches de trois élèves A, B et C de CM1
Les signifiants langagiers permettent au sujet de d’organiser son
traitement de la situation : organiser et effectuer les calculs,
conserver les résultats intermédiaires, contrôler les résultats, etc.
A
pose l’opération 274 u 16.
B
pose l’opération 274 – 16.
•Une fonction d’accompagnement de la pensée
C
calcule 16
+
16
+
16
48
+
48
+
48
192 +
48
=
240
240 +
34
=
274
et, finalement, répond 34 paquets.
Les symboles en algèbre, les figures à main levée en géométrie, les
schémas en arithmétique sont autant de signifiants dont on use pour
résoudre un problème, y compris dans la recherche d’une démarche
efficace pour parvenir à la solution.
=
+
48
48
=
192