Semi-conducteur intrinsèque
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Semi-conducteur intrinsèque
Semi-conducteur intrinsèque Introduction On dit qu’un semi-conducteur est intrinsèque quand il ne contient aucune impureté délibérément introduite lors de sa fabrication. Par exemple, on suppose qu’un cristal de silicium intrinsèque est un cristal ne contenant que des atomes de silicium. En pratique, ce cas idéal n’est bien sûr pas réalisé et il existe toujours une concentration d’impuretés résiduelles que l’on s’attache à minimiser lors de l’élaboration. Dans la suite, nous considérerons le cas idéal. La description du fonctionnement des dispositifs à semi-conducteurs nécessite la connaissance de la densité de porteurs libres (électrons en bande de conduction, trous en bande de valence). Pour un semi-conducteur intrinsèque, ces porteurs libres ne proviennent que de transitions électroniques de la bande de valence vers la bande de conduction sous l’effet d’excitations extérieures, optiques ou thermiques par exemple. Ainsi, un semi conducteur intrinsèque est un isolant à 0K mais devient progressivement conducteur quand sa température augmente car le nombre de porteurs libres (nul à 0K) augmente avec la température (cf. figure 1) Figure 1 : concentration intrinsèque de porteurs en fonction de l’inverse de la température dans Si, Ge et GaAs Pour calculer la densité de porteurs libres, il faut connaître la densité d’états en bande de conduction et en bande de valence et la probabilité d’occupation de ces états. La densité d’états se calcule à partir de la structure de bandes qui, dans le cas général, est complexe (cf. figure 2). Cependant, les variations de la densité de porteurs libres se produisent essentiellement au voisinage du sommet de la bande de valence et du minimum de la bande de conduction et ce sont donc ces domaines de la structure de bandes qui jouent un r rôle primordial. Dès lors, pour ces 2 régions, on va approximer les courbes E (k ) de la structure de bandes par des paraboles, soit : r h 2k 2 pour la bande de conduction (1.1) E (k ) = Ec + 2me* r h2k 2 pour la bande de valence (1.2) et E (k ) = Ev − 2mh* avec me* et mh* les masses effectives respectivement des électrons en bas de bande de conduction et des trous en haut de bande de valence. Cette approximation revient à considérer les porteurs au voisinage des extrema des bandes comme des électrons (trous) libres mais avec une masse effective m * différente de la masse de l’électron (trou) dans le vide m0 . Le calcul de la densité d’états est alors le même que pour un gaz d’électrons (trous) libres en remplaçant m0 par m * . Figure 2 : Structures de bandes de Ge, Si et GaAs, où Eg est le gap. Les signes (+) et (-) représentent des trous en bande de valence et des électrons en bande de conduction respectivement. (D’après Chelikowsky et Cohen) La probabilité d’occupation des états est donnée par la statistique de Fermi : 1 f (E) = E − EF 1 + exp( ) kT A) Cas de bandes isotropes et non dégénérées 1) Déterminer l’expression de la densité d’états pour une bande de conduction et une bande de valence décrites par les expressions (1.1) et (1.2). 2) Ecrire les équations donnant la densité d’électrons libres en bande de conduction (n) et de trous libres en bande de valence (p). 3) Dans le cas où E F est distant de plusieurs kT de E c et E v (semi-conducteur non dégénéré), calculer n et p. Montrer qu’ils peuvent se mettre sous la forme : E F − Ec ) kT E − EF p = N v exp( v ) kT n = N c exp( avec avec 2πme* kT 3 / 2 ) h2 2πmh* kT 3 / 2 ) N v = 2( h2 N c = 2( Dans l’expression de N c et N v , seule intervient la masse effective comme paramètre de la structure de bandes. 4) En considérant l’électroneutralité du système, déterminer la position du niveau de Fermi en fonction de la température. 5) Calculer la concentration en porteurs libres du semi-conducteur intrinsèque ni. B) Applications aux semi-conducteurs usuels Les expressions ci-dessus sont dérivées pour le cas où la masse effective est isotrope, c’est-à-dire que les surfaces d’énergie constante sont des sphères. Dans le cas de semiconducteurs réels, ce n’est pas toujours le cas. On peut alors se ramener aux expressions précédentes en utilisant une masse effective apparente ma* . Dans le cas d’une bande de valence réelle (Ge, Si ou GaAs, fig.2), le sommet de la bande se divise en 2 bandes isotropes vérifiant la relation de dispersion (1.2) avec les masses 2/3 3/ 2 3/ 2 * (‘heavy holes’). Dans ce cas, m *a = m *lh + m *hh . effectives mlh* (‘light holes’) et mhh Dans le cas d’une bande de conduction réelle, il peut exister plusieurs minima équivalents (Ge ou Si, figure 3) vérifiant la relation de dispersion : r h 2 k12 k 22 k 32 E (k ) = E c + ( + + ) 2 m1* m2* m3* Les indices 1,2,3 se rapportent à 3 directions orthogonales constituant les axes principaux d’une ellipsoïde d’énergie constante. On a alors ma* = (m1* m2* m3* )1 / 3 . En général, m1* = ml* (masse effective longitudinale suivant le grand axe de l’ellipsoïde) et m2* = m3* = mt* (masse effective transverse). Enfin, la densité d’états est à multiplier par le nombre de minima équivalents de la bande de conduction (8 pour Ge, 6 pour Si). Figure 3 : Surfaces d’énergie constante au voisinage du minimum de la bande de conduction pour Ge, Si et GaAs représentées dans l’espace réciproque. Pour Ge, il existe 8 ellipsoïdes de révolution le long des axes [111]. Pour Si, il y a 6 ellipsoïdes le long des axes [100]. Pour GaAs, la surface est sphérique au centre de la zone de Brillouin. Semiconducteur Si Ge GaAs InAs bande interdite (eV) 300K 0K 1.12 1.17 0.66 0.74 1.42 1.52 0.36 0.42 m*e/m0 électrons m*l m*t 0.98 0.19 1.64 0.082 0.067 0.067 0.026 0.026 m*e/m0 trous m*lh m*hh 0.16 0.49 0.044 0.28 0.082 0.45 0.025 0.41 mobilité à 300K (cm2/V.s) électrons Trous 1500 450 3900 1900 8500 400 33000 460 Tableau 4 : Propriétés de quelques semi-conducteurs 1) A partir des données fournies dans le tableau 4, calculer la concentration intrinsèque de porteurs libres pour Si, Ge, GaAs et InAs à 300K. Comparer à un métal. 2) La conductivité σ d’un semi-conducteur est donnée par : σ = nµne + pµpe où n (p) et µn (µp) sont respectivement la concentration et la mobilité des électrons (des trous) en bande de conduction (de valence). Calculer la conductivité intrinsèque des 4 semi-conducteurs précédents à 300K. Eléments de réponse V A.1) bande de conduction : Dc(E) = 4π 2 V Bande de valence : Dv(E) = 4π 2 3/ 2 3/ 2 (E − Ec )1 / 2 (Ev − E )1 / 2 à x2 pour tenir compte du spin à x2 pour tenir compte du spin Ev ∞ A.2) n = ∫ D c (E) f (E, T )dE p = ∫ D v (E) [1 - f (E, T)]dE -∞ Ec A.4) E F = 2mh* 2 h 2me* 2 h E C + E v kT N E + E v 3kT m* + Ln ( v ) = C + Ln( h ) 2 2 Nc 2 4 m *e A.5) n i = N c N v exp(− Eg 2kT ) B.1) Semi-conducteur ni à 300K (cm-3) Si 7.6 109 Ge 2.8 1013 GaAs 2.6 106 InAs 8.3 1014 Semi-conducteur σ à 300K (Ω-1cm-1) Si 2.4 10-6 Ge 2.6 10-2 GaAs 4 10-9 InAs 4.4 B.2)