Chapitre 4.X1 – Le moment cinétique orbital et spin

Chapitre 4.X1 – Le moment cinétique orbital et spin
Le moment cinétique orbital et spin
Le moment cinétique L z d’un corps peut être fractionné
en deux parties : moment cinétique orbital et spin. Le
moment cinétique orbitale L z O correspond au
moment cinétique selon l’axe z associé à la translation
du centre de masse autour du point de référence et le
moment cinétique spin L z CM correspond au moment
cinétique selon l’axe z associé à la rotation du corps
autour de son propre centre de masse CM :
v
Lz O
*
rCM
*
*
Point
référence
θ = 0o
θ = 60o
θ = 120o
θ = 180o
v
pCM
CM
* v
ωz
v
Lz CM
L z = L z O + L z CM
tel
où
L z O = rCM p CM sin (θ )
et
Lz CM = I CMω z CM
L z : Moment cinétique total du corps par rapport au point de référence ( kg ⋅ m 2 /s )
L z O : Moment cinétique orbital du corps : moment cinétique du CM autour du point de
référence ( kg ⋅ m 2 /s )
L z CM : Moment cinétique spin du corps : moment cinétique autour du CM ( kg ⋅ m 2 /s )
rCM : Distance dans le plan xy entre le point de référence et le CM du corps (m)
p CM : Module de la quantité de mouvement du corps dans le plan xy ( kg ⋅ m/s ou Ns )
θ : Angle dans le plan xy entre rCM et pCM
I CM : Inertie de l’objet en rotation autour de l’axe z passant par le CM ( kg ⋅ m 2 )
ω z CM : Vitesse angulaire de rotation du corps autour du centre de masse selon l’axe z (rad/s)
Preuve : (considérant que ω z = ω z O = ω z CM )
À l’aide de la définition du moment cinétique d’un corps et du théorème des axes parallèles,
développons une nouvelle expression pour le moment cinétique L z faisant intervenir deux
composantes distinctes tel que le moment orbital L z O et le moment spin L z CM :
L z = Iω z
⇒
L z = (mh 2 + I CM )ω z
(Théorème axe parallèle : I = mh 2 + I CM )
⇒
L z = mh 2ω z + I CM ω z
(Distribuer ω z )
⇒
L z = mh 2ω z + Lz CM
(Remplacer ω z = ω z CM et L z CM = I CM ω z CM )
⇒
L z = m rCM ω z + Lz CM
(Remplacer rCM = h )
⇒
L z = m rCM v // CM + Lz CM
(Remplacer v // CM = rCM ω z )
⇒
L z = m rCM vCM sin (θ ) + Lz CM
(Remplacer v // CM = vCM sin (θ ) )
⇒
L z = rCM p CM sin (θ ) + Lz CM
(Remplacer p CM = vCM sin (θ )
⇒
L z = Lz O + Lz CM
(Remplacer L z O = rCM p CM sin (θ ) )
2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
■
Page 1
Décomposition du moment de force
Un moment de force τ z peut être décomposé en
moment de force orbital et spin. Le moment de
force orbital τ z O mesure l’efficacité de la force à
faire tourner le centre de masse autour du point de
référence. Le moment de force spin τ z CM mesure
l’efficacité de la force à faire tourner le corps autour
de son propre centre de masse :
v
v τ z CM
où
τ z O = ± rCM F sin (α )
et
β
F
v
τz
r
v
F
τ z = τ z O + τ z CM
tel que
θ
rcorps
α
*CMv
rCM
τ zO
τ z CM = ± rcorps F sin (β )
τ z : Moment de force selon l’axe z ( N ⋅ m )
τ z O : Moment de force orbitale selon l’axe z ( N ⋅ m )
τ z CM : Moment de force spin selon l’axe z ( N ⋅ m )
rCM : Distance dans le plan xy entre le point de référence et le centre de masse (m)
rcorps : Distance dans le plan xy entre le centre de masse et l’endroit où est appliquée la force (m)
F : Force qui effectue le moment de force projetée dans le plan xy (N)
α : Angle dans le plan xy entre rCM et F
β : Angle dans le plan xy entre rcorps et F
Preuve :
Décomposons les distance r ,v rCM et rcorps en
composantes perpendiculaire à F (bras de levier) à
l’aide des angles α , β et θ . Puisque ces trois
distances forment un triangle, la somme des
distances décomposées précédemment est égale à
zéro si l’on attribue un signe au sens du parcours
dans le triangle. Ceci nous permet d’affirmer la
relation suivante :
v
v τz
F
r sin(θ )
θ
β
α
r
rCM
rcorps rcorps sin(β )
*CM
r sin(α )
CM
r sin (θ ) = rCM sin (α ) + rcorps sin (β )
Remplaçons cette relation dans l’expression du moment de force τ z et décomposons notre
moment de force en τ z O et τ z CM :
τ z = r F sin (θ )
⇒
τ z = r sin (θ ) F
(Réécriture)
⇒
τ z = (rCM sin (α ) + rcorps sin (β )) F
(Remplacer r sin (θ ) )
⇒
τ z = rCM F sin (α ) + rcorps F sin (β )
(Distribuer F)
⇒
τ z = τ z O + τ z CM
(Remplacer la définition)
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
■
Page 2
Dynamique de rotation selon l’axe z
Le moment cinétique total L z selon l’axe z d’un
v
ωS CM
v
corps peut toujours être décomposé en composante
ωT CM
v
v
orbitale L z O et spin L z CM même si la vitesse
ωL CM
ωT O
angulaire orbitale ω z O n’est pas égale à la vitesse
angulaire de spin ω z CM , car on peut toujours
v
décomposer tout moment de force en composantes
ωL O
orbitales et spins. Ainsi, le moment de force
Système Soleil-Terre-Lune
orbitale τ z O modifie le moment
cinétique
ωT O = 1,991× 10−7 rad/s
orbitale L z O dans le temps et le moment de force TT O = 365,24 jours
spin τ z CM modifie le moment cinétique spin L z CM TT CM = 23h 56 min 4 s ωT CM = 7,29 × 10−5 rad/s
dans le temps :
tel que ω = 2π / T
τ zO =
d Lz O
τ z CM =
et
dt
d L z CM
dt
τ z O : Moment de force orbitale selon l’axe z ( N ⋅ m )
où
L z O : Moment cinétique orbital du corps (CM autour du point de référence) ( kg ⋅ m 2 /s )
τ z CM : Moment de force spin selon l’axe z ( N ⋅ m )
L z CM : Moment cinétique spin du corps (corps autour du CM ) ( kg ⋅ m 2 /s )
Preuve :
Décomposons l’expression générale de la 2ième loi de Newton en rotation en composante
orbitale et spin et associons des termes ensembles :
τz =
d Lz
dt
d (L z O + L z CM )
⇒
τz =
⇒
τz =
⇒
τ z O + τ z CM =
(Remplacer L z = L z O + Lz CM )
dt
d Lz O
dt
+
d Lz CM
dt
d Lz O
dt
+
(Distribuer la dérivée)
d L z CM
dt
(Remplacer τ z = τ z O + τ z CM )
Démontrons une 1ière association :
τ zO =
d Lz O
dt
d (rCM p // CM )
⇒
τ zO =
⇒
τ z O = rCM
⇒
τ z O = rCM F//
(2ième loi de Newton : F = dp / dt )
⇒
τ z O = rCM F sin (α )
(Remplacer F// = F sin (α ) )
⇒
τ zO = τ zO
(Remplacer τ z O = rCM F sin (α ) )
dt
d ( p // CM )
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
dt
■
(Remplacer L z O = rCM p // CM )
(Factoriser constante)
Page 3
Démontrons une 2ième association :
τ z CM =
d L z CM
dt
d (I CM ω z CM )
⇒
τ z CM =
⇒
τ z CM = I CM
⇒
τ z CM = I CMα z CM
(Remplacer α z CM = dω z CM / dt )
⇒
τ z CM = τ z CM ■
(Remplacer τ z CM = I CM α z CM )
dt
d ω z CM
dt
(Remplacer L z CM = I CM ω z CM )
(Factoriser constante)
Lancer une balle de baseball
Lancer au baseball une balle rapide avec un « backspin »
illustre très bien l’intérêt de décomposer le moment
cinétique en composant orbital et spin, car la vitesse
angulaire ω z O associé au moment cinétique orbital L z O
est aucunement reliée à la vitesse angulaire ω z CM associée
au moment cinétique spin L z CM . Pour simplifier la
situation, nous allons négliger la résistance de l’air :
v
• La force gravitationnelle mg est appliquée au CM de la balle.
Éric Gagné lance
une balle rapide
• On néglige la résistance de l’air.
• La trajectoire de la balle est une parabole, car a x = 0 et a y = − g selon
v
v
∑ F = ma .
• La balle tourne sur elle-même, car elle possède une vitesse angulaire spin initiale ω z CM .
v
v
• p CM n’est pas conservée, car ∑ Fext ≠ 0 (la trajectoire n’est pas rectiligne).
• L z O n’est pas conservé, car
• L z CM est conservé, car
∑τ
∑τ
z O ext
z CM ext
≠ 0 (la trajectoire n’est pas circulaire ni rectiligne).
= 0 . De plus, ω z CM est constant car I CM est constant.
• L z = L z O + L z CM n’est pas conservé.
Remarque :
Schéma : Trajectoire d’une balle de baseball
o L z O ↓ et p y ↓
dans la monté.
o L z O ↑ et p y ↓
dans la descente.
o L z CM est constant.
o p x est constant.
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Situation A : Albert au bowling. Albert fait rouler une boule de
bowling de 4 kg et de 20 cm de diamètre à une vitesse de 1,8 m/s
et à une vitesse angulaire de 15 rad/s orientée vers l’avant sur
une allée de bowling horizontale. La boule glisse et roule en
même temps sur l’allée ( vCM ≠ rω CM ). En raison de l’huile
déposée sur l’allée, le coefficient frottement cinétique entre la
boule et l’allée est uniquement de 0,01.
On désire évaluer (a) le sens du frottement qu’applique l’allée sur la boule et (b) le
temps requis pour que la boule roule sans glisser sur l’allée.
Pour évaluer le sens du frottement, il faut évaluer la vitesse
de l’élément de la boule en contact au sol par rapport au sol.
Pour ce faire, nous allons utiliser l’addition relative des
vitesses (voir chapitre 1.4 : Vitesses relatives en une
dimension) :
vxAR = vxAB + vxBR
v
ω z CM
y
x
*
v
vCM
⇒
vsol = ± v rot + vCM
( + vCM , car déplacement vers la droite)
⇒
vsol = −vrot + vCM
( − vrot , car rotation vers l’avant)
⇒
vsol = −(rω z CM ) + vCM
(Vitesse tangentielle : v rot = rω z CM )
⇒
vsol = v CM − rω z CM
(Réécriture)
Si vsol > 0 : ( ω z CM petit)
Si vsol = 0 : ( ω z CM adéquat)
Si vsol < 0 : ( ω z CM grand)
L’élément de boule en contact
au sol se déplace vers
v lav droite
et le frottement f = f c sera
orienté vers la gauche.
L’élément de boule en contact
au sol est immobile et
puisqu’il n’y a pas de force
autre
v v que le frottement,
f = fs = 0 .
L’élément de boule en contact
au sol se déplace vers la
gauche
et le frottement
v v
f = f c sera orienté vers la
droite.
v
*
v
f
v
vsol
v
v
ω z CM
ω z CM
ω z CM
v
vCM
Conséquence :
vCM ↓ et ω z CM ↑
v
f =0
*
v
vCM
v
vsol = 0
Conséquence :
La boule continue de rouler
sans glisser.
*
v
vsol
v
f
v
vCM
Conséquence :
vCM ↑ et ω z CM ↓
Évaluer le sens du frottement initialement :
vsol = v CM − rω z CM
⇒
vsol = (1,8) − (0,20)(15)
⇒
vsol = −1,2 m/s (a) et nous avons un frottement vers l’avant.
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Pour rouler sans glisser, il faut satisfaire l’équation suivante :
vsol = v CM − rω z CM
⇒
(0) = vCM − rω z CM
(Condition rouler sans glisser)
⇒
0 = v CM − (0,20)ω z CM
(Remplacer valeurs num.)
⇒
v x CM f = 0,2 ω z CM f
(Relation v x CM f et ω z CM f )
(1)
Évaluons la quantité de mouvement du centre de masse initiale :
p x CM i = m v x CM i
⇒
p x CM i = (4 )(1,8)
⇒
p x CM i = 7,2 kg ⋅ m/s
Évaluons l’expression de la quantité de mouvement du centre de masse finale :
p x CM f = m v x CM f
⇒
p x CM f = (4 ) v x CM f
⇒
p x CM f = 4 v x CM f
Évaluons le moment cinétique spin initial :
Lz CM = I CMω z CM
⇒
⇒
⇒
2

L z CM =  mR 2 ω z CM
5

2
2
L z CM = (4 )(0,2) (15)
5
(Inertie sphère pleine : I =
2
mR 2 )
5
(Remplacer valeurs num.)
L z CM i = 0,96 kg ⋅ m 2 /s
(Évaluer L z CM i = L z CM )
Évaluons l’expression du moment cinétique spin final :
L z CM f =
2
mR 2ω z CM f ⇒
5
L z CM f =
2
(4)(0,2)2 ω z CM f
5
⇒
Évaluons le frottement cinétique appliqué par l’allée sur
la boule : ( n = mg )
fc = µc n
⇒
⇒
⇒
f c = µ c (mg )
L z CM f = 0,064 ω z CM f
v
n
v
Lz CM
v
p CM
CM
*
f c = (0,01)(4 )(9,8)
v
mg
f c = 0,392 N
v
τ f CM
v
f
Appliquons la conservation de la quantité de mouvement avec impulsion pour établir un
lien avec le temps requis pour rouler sans glisser :
px f = pxi + J x
⇒
p x CM f = p x CM i + J x CM
(Appliquer au CM)
⇒
p x CM f = p x CM i + (Fx ∆t )
(Pour force constante : J x = Fx ∆t )
⇒
p x CM f = p x CM i + ( f c )∆t
(Remplacer F = f x )
⇒
(4v
(Remplacer valeurs num.)
⇒
4v x CM f = 7,2 + 0,392∆t
x CM f
) = (7,2) + (0392)∆t
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(2)
(Calcul)
Page 6
Appliquons la conservation du moment cinétique spin avec moment de force constant pour
établir un lien entre le temps requis pour rouler sans glisser :
L z CM f = L z CM i + ∆Lz CM
(Conservation moment cinétique selon z)
⇒
L z CM f = Lz CM i + (τ z ∆t )
(Pour force constante : ∆L z = τ z ∆t )
⇒
L z CM f = L z CM i + (± r F sin (θ )) ∆t
(Moment de force selon z : τ z = ± r F sin (θ ) )
⇒
L z CM f = L z CM i − r ( f c ) sin (90°) ∆t
(Remplacer F = f c et θ = 90° )
⇒
(0,064 ω
(Remplacer valeurs num.)
⇒
0,064 ω z CM f = 0,96 − 0,0784 ∆t
z CM f
) = (0,96) − (0,20)(0,392) ∆t
(3)
(Calcul)
Nous avons le système d’équations suivant à résoudre :
v x CM f = 0,2 ω z CM f
(1)
4v x CM f = 7,2 + 0,392∆t
(2)
0,064 ω z CM f = 0,96 − 0,0784 ∆t
(3)
Remplaçons l’équation (2) et (3) dans l’équation (1) et isolons le temps :
v x CM f = 0,2 ω z CM f
(Utiliser (1))
⇒
 0,96 − 0,0784 ∆t 
 7,2 + 0,392∆t 


 = 0,2 
4
0,064




(Remplacer v x CM f et ω z CM f avec (2) et (3))
⇒
1,8 + 0,098∆t = 3 − 0,245∆t
(Simplifier)
⇒
0,343∆t = 1,2
(Isoler terme avec ∆t )
⇒
∆t = 3,499 s
(b)
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Évaluer ∆t )
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