Comparaison de méthodes numériques pour le contact

Comparaison de méthodes numériques pour le contact
unilatéral et le frottement 3D
Sujet de stage post-doctoral INRIA. Projet BIPOP
L’objectif de ce stage post-doctoral est la comparaison de méthodes numériques pour les systèmes
dynamiques avec contact et frottement tridimensionnel en vue de leurs applications temps-réel pour la
robotique, la réalité virtuelle et les systèmes haptiques.
Contexte
La simulation numérique des systèmes dynamiques issus de la mécanique des milieux continus et des
solides rigides en présence de contact unilatéral et de frottement sec de Coulomb revêt une importance
primordiale pour les applications allant du prototypage virtuel des systèmes mécaniques, de la robotique,
de la réalité virtuelle et des systèmes à retour haptique. Ces applications nécessitent une prise en compte
efficace et robuste du contact et du frottement en tant qu’élément de base de l’interaction entre les objets et
entre l’homme et son environnement [11].
Outre la difficulté de la discrétisation et de l’intégration en temps de la dynamique non régulière [10, 8],
la formulation et la résolution numérique efficace et robuste du problème de contact unilatéral avec frottement sec de Coulomb restent un sujet encore largement ouvert. Si de nombreuses méthodes de résolution
numérique sont décrites dans la littérature, une comparaison exhaustive n’a pas encore été réalisée.
Les principales classes de méthodes qui seront étudiées sont pour la plupart issues de techniques de
l’optimisation. On s’intéressera en particulier aux méthodes directes et itératives basées sur des problèmes
de complémentarité linéaire (Lemke, splitting methods,. . .) [7, 4]. On s’intéressera ensuite aux méthodes de
complémentarité non linéaire [6, 5], aux méthodes de Gauss-Seidel [9] et du gradient conjugué projeté [12]
ainsi que sur différentes variantes de la méthode de Newton généralisée aux fonctions non régulières [1, 3].
Si ces méthodes ont montré leur efficacité dans de nombreuses applications, elles ne profitent pas pour
la plupart des principaux avantages des méthodes d’optimisation, c’est à dire, la stabilité des algorithmes
fondés sur le principe de minimisation et les résultats de convergence globale dans le cas non linéaire.
Enfin, on essaiera d’évaluer l’apport des méthodes basées sur des principes de minimisation de fonctions
[2] d’un point de vue de la robustesse.
Objectifs
Les objectifs de ce stage post-doctoral sont les suivants :
1. Tout d’abord, une revue exhaustive des méthodes existantes sera réalisée. Les formulations et les
résultats mathématiques de convergence seront comparés et critiqués au regard des hypothèses supposées. Du fait des applications visées, cette comparaison ne se fera pas uniquement sur des critères
mathématiques usuels (convergence, stabilité) mais aussi sur des critères de rapport qualité/coût de
calcul et de robustesse.
2. Pour mener à bien la comparaison numérique, on se basera sur les développements déjà effectués
dans la plate-forme opensource SICONOS1 . Certains nouveaux algorithmes seront à développer.
Le but final de ce post-doc est de rédiger un article de revue bibliographique avec comparaisons numériques dans un journal international du domaine des Mathématiques Appliquées et Mécanique Numérique.
1 http
://siconos.gforge.inria.fr
Compétences requises
De solides compétences en analyse numérique et en calcul scientifique sont requises pour ce sujet.
Une connaissance des algorithmes d’optimisation, de la dynamique non régulière sera aussi très appréciée.
Enfin, le candidat devra avoir un goût prononcé pour l’implémentation d’algorithmes numériques. Ces
développements seront réalisés en C++, C et FORTRAN.
Contact : Vincent Acary
[email protected]
BipOp project, INRIA Rhône-Alpes
ZIRST Montbonnot, 655 avenue de l’Europe, 38334 Saint Ismier cedex, France
tel : 33 (0)4 76 61 52 29 , fax : 33 (0)4 76 61 54 77
Références
[1] P. Alart and A. Curnier. A mixed formulation for frictional contact problems prone to Newton like solution
method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 92(3) :353–375, 1991.
[2] M. Anistescu. optimisation-based simulation of nonsmooth dynamics. Mathematical programming A, 105(113–
143), 2006.
[3] A. Christensen, P.W. Klarbring, J.S. Pang, and Strömberg. Formulation and comparison of algorithms for frictional contact problems. International Journal for Numerical Methods in engineering, 42 :145–173, 1998.
[4] R. W. Cottle, J. Pang, and R. E. Stone. The linear complementarity problem. Academic Press, Inc., Boston, MA,
1992.
[5] T. De Luca, F. Facchinei, and C. Kanzow. A theoritical and numerical comparison of some semismooth algorithms
for complementarity problems. 2000, 16 :173–205, Computational optimization and applications.
[6] C. Glocker. Formulation of spatial contact situations in rigid multibody systems. Comput. Methods Appl. Mech.
Engrg., 177 :199–214, 1999.
[7] A. Klarbring. A mathematical programming approach to three-dimensional contact problem with friction. Compt.
Methods Appl. Math. Engrg., 58 :175–200, 1986.
[8] J. J. Moreau. Unilateral contact and dry friction in finite freedom dynamics. In J.J. Moreau and eds. P.-D. Panagiotopoulos, editors, Non Smooth Mechanics and Applications, CISM Courses and Lectures, volume 302 (SpringerVerlag, Wien, New York), pages 1–82, 1988.
[9] J. J. Moreau. Numerical aspect of sweeping process. Compt. Methods Appl. Math. Engrg., 177 :329–349, 1999.
[10] J.J. Moreau. Modélisation et simulation des matériaux granulaires. In B. Mohammadi, editor, Actes du 35ème
Congrès National d’Analyse Numérique, 2-6 Juin 2003.
[11] M. Renouf, V. Acary, and G. Dumont. 3D frictional contact and impact multibody dynamics. A comparison of
algorithms suitable for real-time applications. In ECCOMAS Thematic Conference Multibody Dynamics 2005,
Madrid, June 2005.
[12] M. Renouf and P. Alart. Conjugate gradient type algorithms for frictional multicontact problems : applications to
granular materials. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 194(18-20) :2019–2041, 2004.
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