Sur les pôles des fonctions uniformes k plusieurs variables

Sur les pôles des fonctions uniformes k plusieurs variables
indépendantes.
Par
L. AUTONNE à Lyon.
Soit X une fonction uniforme de r -f- 1 variables indépendantes
y9 x±, • • •, xry coordonnées d'un point Ç dans une espace Er+i à r + 1
dimensions. Si un point eo, par exemple l'origine y = x± = • • • = xr = 0
des coordonnées, est pour X un point singulier non essentiel ou pôle,
alors on a, par définition, pour des modules des variables suffisamment petits, X = P(#, #i, • • -, #r) • PO(^> %i> • • •)> les deux fonctions
P et PQ étant holomorphes et nulles au pôle; les deux séries P et P0
sont supposées premières entre elles au sens de Weierstrass.
Aux abords du pôle, X a (Weierstrass) une valeur arbitraire ou
même n'a aucune valeur. Je me suis proposé d'étudier l'indétermination
de X en co.
Appelons valeur Xo, de X au pôle la limite vers laquelle tend
X, lorsque le point g tend vers co. Xo, dépend évidemment de la loi
suivant laquelle décroissent indéfiniment les modules des variables, ou,
pour parler un langage géométrique, de l'itinéraire SB suivant lequel g
tend vers œ. Il y a d'ailleurs avantage à considérer plusieurs fractions
telles que P:P 0 , affectées d'un même dénominateur P0. Voici alors
une manière plus commode de poser la question.
Prenons dans un espace EN à N dimensions, N*^r-{-\ les
JV-f-1 coordonnées homogènes £/ [j = 0, 1, • • •, N] d'un point g.
Les N + 1 équations
(1)
Qb —
Pjfaxi,--;**)
[p = facteur de proportionnalité, Pj = fonction holomorphe, régulière et
nulle en o] définissent le point g comme image du point g. Quelle est
l'image Qr+i du pôle w lui-même? flr+i est constituée, par définition, par
B. Vortrâge der Sektionssitzungen.
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l'ensemble des points f vers lesquels tend |, quand g tend vers CD par
tous les itinéraires SB possibles. J'appelle ^problème [r + 1]" la construction de l'image ûr+i.
Il est évident que la résolution du problème [r + 1] fait connaître les allures de la fonction uniforme
dans le voisinage de son pôle co et répond d'une façon complète à la
question que je me suis posée.
Le problème [r + 1] est résolu en étant ramené au problème [r]
c'est-à-dire, de proche en proche, au problème [1], pour lequel la
solution est immédiate. Voici la marche générale du raisonnement.
D'abord le théorème fondamental de Weierstrass permet d'écrire
l=n
\_tojm = constante non nulle; o/i, qj = fonction holomorphe nulle en co],
le tout, bien entendu, en effectuant au besoin sur les %j une collinéation
convenable.
A la limite, les rapports des P3- et ceux des /} sont les mêmes;
on est ramené à résoudre le problème [r -f- 1] sur le système
(2)
&-fi.
Ce système, pour y seule variable, définit dans l'espace EN une variété
unicursale ou courbe Fx, qui ne dépend que du point #, ayant les
x
±* xî> ' ' '; xr pour coordonnées dans un espace Er. Les N—1
équations de Fx
4b(So, tu ' • •> ÉJT; a\, BI, • • -, *r) — 0
[k = 1, 2, - -., N—
1},
obtenues par l'élimination de Q et de y entre les équations du système (2),
ont pour coefficients des fonctions uniformes des xl9 • • •, xr. Si l'on
sait résoudre le problème [r\ on saura construire toutes les limites JT
vers lesquelles tend rx, quand x tend vers le point xl = • • • = xr = 0.
Une démonstration, qui a ses difficultés, mène alors au théorème
suivant: ,,La figure &r-\-i est exclusivement constituée par l'ensemble
des courbes JT." Quelques-unes des courbes F sont éventuellement
des points.
Ainsi le problème [y + 1] es* ramené au problème [r] c'est-àdire résolu.
Yerh. d. 1. internat. Mathem.-Kongr. Zurich 1897.
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IL Teil: Wissenschaftliche Vortrâge.
On peut dire que mon procédé permet de lever l'indétermination
des symboles — à un nombre quelconque de variables.
Voici, pour finir, une autre application. Dans la transformation
birationnelle de l'espace {X, Y, • • -, Z'= polynômes}
_
y, z) > * ~ T>
qui a pour inverse la transformation
y',O
T
/» — X'te'
^ if y
i /
9j —_ _
x
~ T>',
y', g')>
T
- __
Z'_
y — Tf > *— T' >
M. Nœther (Eindeutige Raumtransformationen, Mathematische Annalen,
tome III) étudie les points fondamentaux, communs par définition
aux quatre surfaces
(3)
X — 0, T=0,
Z— 0,
T=Q.
Il en distingue deux espèces, que je nomme pour abréger zénith et
nadir. Par définition, l'image d'un zénith est un système de points,
de courbes et de surfaces; celle d'un nadir ne comprend que des points
et des courbes. M. Nœther fait la distinction des zéniths et des nadirs
pour des singularités simples des surfaces (3).
Mon procédé permet de faire cette distinction dans tous les cas,
pour une singularité aussi compliquée que l'on voudra, et de construire effectivement les surfaces, images des zéniths, les courbes,
images des nadirs. On établit notamment que le nombre des zéniths
est toujours fini.
Ce dernier théorème est un cas particulier d'une proposition plus
générale: ,,Si, pour r = 2, les zéros communs aux JflT-f- 1 fonctions
PJ du système (1) forment un ensemble continu Ei à une dimension,
le point courant sur El est un nadir." J'appelle d'ailleurs surface
toute variété à deux dimensions dans l'espace EN.
Je signalerai en terminant l'existence d'itinéraires qui ne fournissent aucun point-limite £ de |. Voici un exemple très simple de cette
circonstance.
Supposons, pour r = 2, que les Pj soient des polynômes et que
les N + 1 surfaces (au sens ordinaire du mot) algébriques Pj = 0
aient une courbe commune (7, issue du pôle o. Si l'itinéraire SES coïncide avec C, | ne tend vers aucune limite.
Pour plus de détails, on peut consulter mes autres publications sur
la matière: Comptes Rendus (11 Nov., 9 et 30 Dec. 1895); Rendiconti du
Cercle Mathématique de Païenne (1896); Acta Mathematica (1897).