CRPE-PRÉPARER L`ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS NUMÉRIQUES
1. NOTION DE FONCTION
1.1. Exemples préliminaires
Pour comprendre la notion de fonction, donnons quelques exemples préliminaires.
Dans les exemples suivants seront abordées certaines notions comme les pourcentages, qui
seront étudiés plus en détail dans la suite du chapitre. Pour les exemples qui utilisent l’aire et
le périmètre, vous vous reporterez au chapitre 6.
Voici quelques situations pour lesquelles on peut établir des relations numériques entre
les quantités ou grandeurs en présence, relations que l’on peut représenter dans des tableaux
de nombres. Ces relations s’appellent des fonctions (@GL.).
Situation 1 : Prix d’un article avec 30% de réduction
Prix initial en euros : x
Prix en euros après réduction : y
0
0
60
42
120
84
150
105
180
126
250
175
La relation qui lie x et y est obtenue en sachant que le prix après réduction est égal au
prix initial, diminué de la réduction. Cette réduction s’obtient en prenant 30 % du prix initial,
c’est-à-dire
de ce prix :
Situation 2 : Aire d’un carré en fonction de la longueur du côté
Longueur du côté du carré en cm : x
3
Aire du carré en cm2 : y
9
5 ,5
4
30,25 16
2
7
0
49
0
151
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
NOTION
NOTIONDE
DEFONCTION
FONCTION
L’aire d’un carré est égale au carré de la mesure de la longueur de son côté. La relation
qui lie x et y est y = x2.
Situation 3 : Longueur en fonction de la largeur pour un rectangle de périmètre constant
égal à 72 cm
Largeur en cm : x
Longueur en cm : y
0
36
1
35
4
32
7
29
10
26
14
22
5,5
30,5
Le périmètre d’un rectangle de côtés x et y est égal à 2 (x + y). Il mesure ici 72 cm ; le
demi-périmètre est donc égal à x + y soit 36 cm. On a donc : y = 36 − x.
Remarque : on admet que pour x = 0, on a un rectangle plat.
Situation 4 : Distance parcourue par un enfant en fonction du nombre de pas effectués,
sachant que la longueur des pas est régulière et mesure 50 cm.
Nombre de pas : x
Distance parcourue en m : y
152
La relation qui lie x et y est y =
0
0
1
0,5
5
2,5
7
3,5
10
5
12
6
0
0,5
72
La relation qui lie x et y est la suivante :
-
si 1 b x b4 alors y = 15x + 5 ;
si 5 b x b 9 alors y = 12x +10 ;
si x r 10 alors y = 10x + 20.
Situation 7 : Le prix de location d’un véhicule en fonction de la distance parcourue, sachant
que l’on paie un forfait de 30 euros et 1,50 euros par kilomètre parcouru.
Distance parcourue en km : x
Prix en euros : y
0
30
100
180
250
405
700
1080
500
780
1300
1980
La relation qui lie x et y est la suivante : y = 1,5x + 30.
1.2. Définitions
153
1.2.1. Fonction
.
Situation 5 : Longueur en fonction de la largeur pour un rectangle d’aire constante égale
à 36 cm2
Largeur en cm : x
Longueur en cm : y
Nombre d’exemplaires : x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
20 35 50 65 70 82 94 106 118 120 130 140 150
Prix en euros : y
1
36
2
18
3
12
4
9
6
6
Sachant que l’aire du rectangle est de 36 cm2 et que cette aire est le produit des deux
dimensions du rectangle, la relation qui lie x et y est xy = 36 ou y =
.
Soit A et B, des ensembles. Une fonction f de A dans B est un procédé qui, à
chaque élément x de A, fait correspondre :
* soit un et un seul élément de B, qu’on note f (x) (lu « f de x ») ou y, et qu’on appelle image
de x par la fonction f.
* soit aucun élément de B.
Notation : f : A m B
f (x) = y
Remarque : le contexte choisi ne permet pas de trouver la valeur de y correspondant à
la valeur 0 de x.
Situation 6 : Prix d’un envoi par la Poste de livres en fonction du nombre d’exemplaires,
selon les tarifs suivants :
-
de 1 à 4 exemplaires : 15 euros par livre et un forfait de 5 euros de port ;
5 à 9 exemplaires : 12 euros par livre et un forfait de 10 euros de port ;
au-delà de 10 exemplaires : 10 euros par livre et un forfait de 20 euros de port.
Nous pouvons noter que y = f (x). On lit cette notation « f est la fonction de A
dans B qui, à tout élément x de A, associe f (x) ». L’ensemble A est alors appelé « ensemble
de départ de la fonction f » et l’ensemble B est son ensemble d’arrivée. On dit que x est
l’antécédent de y et que y est l’image de x.
Ainsi, les situations précédentes ont permis de définir des fonctions. Par exemple,
dans la situation 5, le nombre 0,5 de l’ensemble de départ a pour image 72 dans l’ensemble
d’arrivée. Le nombre 12 de l’ensemble d’arrivée a pour antécédent 3 dans l’ensemble de
départ. Le nombre 0 n’a pas d’image.
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
NOTION
NOTIONDE
DEFONCTION
FONCTION
Nous résumons dans le tableau suivant, pour chaque situation du § 1.1, l’ensemble de départ,
l’ensemble d’arrivée et la relation qui lie x et y :
1
2
3
Ensemble
de départ
Ensemble
d’arrivée
4
5
6
7
Situation
Relation
qui lie x et y
y = 0,7x
y = x2
si 1 ! x ! 4 alors y = 15x + 5
si 5 ! x ! 9 alors y = 12x + 10
si x " 10 alors y = 10x + 20
y = 1,5x + 30
repère orthogonal
Figure 2
repère orthonormé
Figure 3
1.2.2. Représentation graphique d’une fonction
154
155
Il faut disposer pour cela d’un repère dans lequel chaque point dispose de ses
coordonnées cartésiennes. Un repère du plan est un triplet de points non alignés (O, I, J). O
est l’origine du repère. L’axe des abscisses est la droite (OI) sur laquelle on a choisi l’origine O,
le sens de O vers I et l’unité OI. L’axe des ordonnées est de même la droite (OJ) sur laquelle
on a choisi l’origine O, le sens de O vers J et l’unité OJ.
Le choix des unités permet de graduer les deux axes.
Figure 4
Figure 1
Sur la figure 2, le repère est dit orthogonal car le triangle OIJ est rectangle en O.
Sur la figure 3, on parle de repère orthonormé (@GL.) car, en plus de la caractéristique
précédente, OI = OJ.
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
Comment décrire un point M du plan par ses coordonnées dans un repère ?
Soit un point M du plan. On cherche à le décrire à l’aide de ses coordonnées
dans un repère donné.
Pour cela, on trace la parallèle à l’axe des ordonnées passant par M. Celle-ci
coupe l’axe des abscisses en un point M’ d’abscisse x sur l’axe des abscisses.
On trace la parallèle à l’axe des abscisses passant par M. Celle-ci coupe l’axe
des ordonnées en un point M’’ d’abscisse y sur l’axe des ordonnées.
Le point M du plan est alors repéré par ses coordonnées cartésiennes (@GL.)
x et y. On note M (x ; y) le point M et ses coordonnées x et y (x sur l’axe des abscisses et y
sur l’axe des ordonnées).
Sur la figure 4 ci-dessus, on a placé les points A (3 ; 2) ; B (#1 ; 3) ; C (2 ; 3) ;
D (#4 ; -2) ; E (4 ; #3) ; F (#2,5 ; 0,5) et G (
156
;
).
La représentation graphique d’une fonction est définie de la façon suivante :
Soit A et B des parties de et f une fonction de A dans B. La représentation graphique de f
est l’ensemble C des points M de coordonnées (x ; y) tels que :
NOTION
NOTIONDE
DEFONCTION
FONCTION
Nous verrons plus loin que dans certains cas, la connaissance de la forme de la
relation y = f (x) permet de prévoir l’allure de la courbe représentative de la fonction f. Des
techniques expertes permettent de déterminer avec précision la forme exacte de la courbe
représentative d’une fonction mais ces techniques ne sont pas exigibles d’un candidat au
CRPE.
Voici les représentations graphiques dans des repères orthogonaux des
fonctions correspondant aux situations 1 à 7 : les contextes sont tels qu’il est inutile de
représenter les parties des axes ayant une abscisse négative. Le choix des unités est fait en
fonction des nombres qui vont figurer sur le graphique. Certains repères sont orthonormés
(situation 1 : même unité sur les deux axes), d’autres non (situations 2, 3, 4, 5, 6 et 7 : unités
différentes sur les deux axes).
Situation
Équation de la courbe
1
y = 0,7x
2
3
y = x2
y = −x + 36
4
5
6
On dit aussi que C a pour équation y = f (x) et que C est la courbe représentative de la
fonction f.
Dans le cadre du CRPE, on peut tracer les courbes représentatives point par
point, c’est-à-dire en choisissant un nombre suffisant de valeurs pour les abscisses et en
calculant grâce à l’équation y = f (x) les valeurs correspondantes de y. C’est ce qui a été fait
dans les tableaux ci-dessus (situations 1 à 7). Le nombre de points n’est pas imposé mais
nous verrons plus loin que dans certains cas, il peut être réduit.
Si l’ensemble de départ est (ensemble des nombres réels), la représentation
graphique est une ligne continue (situations 2, 3 et 5).
Si l’ensemble de départ est une partie de , la représentation graphique est un
nuage de points plus ou moins dense. Ces points peuvent, dans certains cas, être reliés par
une courbe (éventuellement droite) d’allure connue (situations 1, 4, 6 et 7).
7
Allure de la représentation
graphique
Nuage de points formant une droite
passant par l’origine.
Demi-parabole.
Droite ne passant pas par l’origine.
Nuage de points formant une droite
passant par l’origine.
Demi-hyperbole.
Nuage de points avec présence d’alignesi 1 !x !alors y = 15 x + 5 ments : les 4 premiers points sont alignés
si 5 !x !9alors y = 12 x + 10 selon une droite, les 4 suivants sont alisi x !10alors y = 10 x + 20. gnés sur une autre droite, les 4 suivants
sont alignés sur une 3e droite.
Nuage de points formant une droite ne
y = 1,5 x + 30
passant pas par l’origine.
157
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
Situation 1
NOTION
NOTIONDE
DEFONCTION
FONCTION
Situation 2
1.3. Étude de quelques types de fonctions particulières et de leurs représentations
graphiques
1.3.1. Fonctions affines et cas particuliers de fonctions affines : fonction
linéaire, fonction constante, fonction affine par intervalles
• Définition d’une fonction affine (@GL.)
Une fonction f est affine sur un intervalle A s’il existe des nombres réels a et b
tels qu’à tout réel x de A, la fonction f associe ax + b. On a donc f (x) = ax + b.
Exemples
Situation 3
Situation 4
La fonction correspondant à la situation 7 : f (x) = 1,5x + 30. Ici a = 1,5 et b = 30.
La fonction correspondant à la situation 3 : f (x) = 36 – x = −x + 36. Ici a = −1 et b = 36.
Nous admettrons que si l’ensemble de départ est , la représentation graphique d’une
fonction affine est une droite. Si le coefficient b est différent de 0, cette droite ne passe pas
par l’origine.
158
Situation 5
Situation 6
Si l’ensemble de départ est une partie de , la représentation graphique est constituée de
points alignés (nuage de points alignés, demi-droite ou segment).
a. Fonction linéaire (@GL.)
Une fonction f est linéaire sur un intervalle A s’il existe un nombre réel a tel
qu’à tout réel x de A, la fonction f associe ax. On a donc f (x) = ax.
Il apparaît qu’une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine.
C’est une fonction affine dont le coefficient b est nul.
Exemples
La fonction correspondant à la situation 1 : f (x) = 0,7x. Ici, a = 0,7.
La fonction correspondant à la situation 4 : f (x) =
Situation 7
(@AI.) Coordonnées et équations de droites)
x. Ici, a =
.
Dans ce cas, si l’ensemble de départ est , la représentation graphique est une droite qui
passe par l’origine. En effet, si, pour tout nombre x de l’ensemble de départ, on a f (x) = ax,
alors en particulier pour le nombre 0, on a f (0) = a s 0 = 0.
159
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
b. Fonction constante (@GL.)
NOTION
NOTIONDE
DEFONCTION
FONCTION
Exemple : si f est linéaire et si l’image de 2 par f est 5, il existe un réel a tel que pour tout
réel x, on ait f (x) = ax.
Une fonction f est constante sur un intervalle A s’il existe un nombre réel b
tel qu’à tout réel x de A, la fonction f associe b.
Pour x = 2, on a 5 = a s 2 d’où a =
Exemple : f (x) = 5 est une fonction constante sur .
Donc pour tout réel x, f (x) =
Il apparaît qu’une fonction constante est aussi un cas particulier de fonction affine. C’est une
fonction affine dont le coefficient a est nul.
Propriétés de linéarité (@GL.)
Dans ce cas, si l’ensemble de départ est , la représentation graphique est une droite parallèle
à l’axe des abscisses.
x.
• Énoncé : si f est une fonction linéaire, pour tout couple de réels (u, v) et pour tout réel m,
on a :
f (mu) = m f (u).
c. Fonction affine par intervalles
Une fonction est affine par intervalles (ou par morceaux) s’il est possible de
partager A en intervalles tels que, sur chacun d’eux, f soit affine.
Cette propriété est appelée « propriété de linéarité multiplicative » et m est appelé coefficient
scalaire (@GL.). Il est sans unité.
f (u + v) = f (u) + f (v)
160
Exemple : Cette fonction correspond à la situation 6. En effet, l’ensemble de départ est
découpé en trois intervalles : 1 ! x ! 4 ; 5 ! x ! 9 et x " 10et sur chaque intervalle, f est
une fonction affine :
-
si 1 ! x ! 4alors f (x) = 15x + 5
si 5 ! x ! 9 alors f (x) = 12x + 10
si x " 10 alors f (x) = 10x + 20.
Dans cet exemple, la représentation graphique est constituée de groupes de points alignés :
-
premier groupe de points pour 1 ! x ! 4 ;
deuxième groupe de points pour 5 ! x ! 9 ;
troisième groupe de points pour x " 10 .
(@DOC. Fonction affine par intervalles)
• Propriétés des fonctions affines
a. Cas des fonctions linéaires
. Une fonction linéaire est entièrement déterminée par la donnée de son
coefficient.
. Une fonction linéaire est connue si et seulement si on connaît l’image
qu’elle donne d’un nombre non nul.
Cette propriété est appelée « propriété de linéarité additive ».
Attention, ces propriétés sont caractéristiques des fonctions linéaires et seulement des
fonctions linéaires.
• Exemples d’utilisation des propriétés de linéarité :
Exemple 1 :
Si l’on sait que f est linéaire et que f (1,2) = −2, en utilisant la propriété de linéarité
multiplicative, on peut calculer f (12) :
f (12) = f (10 × 1,2) = 10 × f (1,2) = 10 s (−2) = −20.
Ici, m = 10
Exemple 2 (pris dans la situation 4) :
On sait que 5 pas correspondent à une longueur de 2,5 m et on cherche la distance
correspondant à 10 pas : c’est deux fois plus (ou le double), c’est-à-dire 5 m. Ceci peut se
traduire mathématiquement par :
f (5) = 2,5 donc f (10) = f (2 × 5) = 2 × f (5) = 2 × 2,5 = 5.
161
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
On sait que 5 pas correspondent à une longueur de 2,5 m et que 7 pas correspondent à
3,5 m. On cherche la distance correspondant à 12 pas : on ajoute les deux distances, ce qui
fait 6 m.
NOTION
NOTIONDE
DEFONCTION
FONCTION
Selon l’ensemble de départ considéré, sa représentation graphique est une parabole ou une
partie de parabole ou encore un nuage de points répartis sur une parabole.
Exemple 2 (pris dans la situation 5) :
Ceci peut se traduire mathématiquement par :
f (12) = f (5 + 7) = f (5) + f (7) = 2,5 + 3,5 = 6.
La fonction définie par f (x) =
est un cas particulier de fonction inverse. Les fonctions
inverses se caractérisent par la relation f (x) =
où a est un nombre réel donné.
b. Fonctions affines
. Une fonction affine est entièrement déterminée par la donnée de ses
coefficients a et b dans la relation f (x) = ax + b.
Selon l’ensemble de départ considéré, la représentation graphique est une hyperbole ou une
partie d’hyperbole ou encore un nuage de points répartis sur une hyperbole. N
. Une fonction affine est connue si on connaît les images qu’elle donne de
deux nombres distincts.
Exemple : si f est affine et si on a f (–2) = 3 et f (1) = –3, il existe des réels a et b tels que
pour tout réel x, on ait f (x) = ax + b.
162
Pour x = −2, on a : 3 = a × (−2) + b soit 3 = −2a + b d’où b = 3 + 2a. (1)
Pour x = 1, on a : –3 = a × 1 + b soit –3 = a + b d’où b = –3 – a. (2)
En égalisant les deux expressions de b dans (1) et (2), on a donc :
3 + 2a = −3 – a
d’où 3a = −6 et a = −2.
On remplace a par – 2 dans l’expression de b dans (1) : b = 3 + 2a = 3 + 2 × (− 2) = − 1.
Donc pour tout réel x, f (x) = – 2x – 1.
(@AI. Nature d’une fonction)
c. Autres types de fonctions
Parmi les situations 1 à 7, nous avons donné quelques exemples à titre
seulement de contre-exemples de fonctions affines, car peu de connaissances sont exigibles
à ce sujet pour passer le concours.
Exemple 1 (pris dans la situation 2) :
Il s’agit d’une fonction carrée : f (x) = x 2.
163
PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS NUMÉRIQUES
2. PROPORTIONNALITÉ
La proportionnalité peut être examinée dans un cadre purement numérique, dans lequel
les nombres sont manipulés sans référence à une situation concrète ou dans le cadre des
grandeurs, dans lequel les nombres correspondent à des quantités ou des mesures ou dans le
cadre graphique, quand il s’agit de représenter une fonction linéaire.
165
2.1. Définition de deux suites proportionnelles (@GL.)
Soit x1, x2, x3… les éléments d’une suite X de nombres réels et y1, y2, y3… les éléments
associés d’une autre suite Y de nombres réels :
X
x1
x2
x3
x4
…
Y
y1
y2
y3
y4
…
sk
Les quatre définitions suivantes sont équivalentes. Pour exprimer qu’une suite Y de nombres
est proportionnelle à une suite X, on peut utiliser l’une des quatre définitions suivantes :
• la suite Y est proportionnelle à la suite X s’il existe une constante réelle k telle que
y1 = kx1, y2 = kx2, y3 = kx3… Le tableau précédent est un tableau de proportionnalité et
k est le coefficient de proportionnalité : le coefficient de proportionnalité est le coefficient
multiplicatif qui permet de passer d’une suite à l’autre.
• La suite Y est proportionnelle à la suite X si aucun dénominateur n’est nul et si on
peut aussi écrire :
=…= k
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉ
2.2.2. Situations où la proportionnalité modélise un phénomène
mathématique ou physique
Si l’une des valeurs de X est nulle, la valeur correspondante de Y doit aussi être nulle et
dans ce cas, on n’écrit pas le rapport correspondant.
La valeur commune à ces rapports est le coefficient de proportionnalité.
La longueur p d’un cercle est proportionnelle à la longueur d de son diamètre :
p = P× d. Le nombre Pest le coefficient de proportionnalité.
• La suite Y est proportionnelle à la suite X si la fonction qui, à chaque valeur
de X, associe la valeur correspondante de Y est linéaire. Son coefficient est le coefficient de
proportionnalité.
Lorsqu’on agrandit une figure, les dimensions de la figure agrandie sont
proportionnelles aux dimensions de la figure initiale. Le coefficient d’agrandissement est le
coefficient de proportionnalité.
• La suite Y est proportionnelle à la suite X si, sur la représentation graphique, les
points de coordonnées (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)… sont alignés avec l’origine.
L’allongement l d’un ressort est proportionnel à la masse m qui lui est
suspendue : l = k × m. Le coefficient de proportionnalité k est un nombre qui dépend de la
nature du ressort.
Remarque
Si la suite Y est proportionnelle à la suite X avec le coefficient de proportionnalité k, alors la
La longueur d de la diagonale d’un carré est proportionnelle à la longueur c du
côté du carré. En effet, on sait que
. Le coefficient de proportionnalité est .
La longueur h de la hauteur d’un triangle équilatéral est proportionnelle à la
suite X est proportionnelle à la suite Y avec le coefficient .
longueur a de son côté. En effet, on sait que
166
On dit que les deux suites sont proportionnelles. Pour passer des éléments de la suite X à ceux
de la suite Y, on multiplie par k. Pour passer des éléments de la suite Y à ceux de la suite X,
on multiplie par
, ce qui revient à diviser par k.
.
2.2. Situations de proportionnalité
Une situation de proportionnalité est une situation que l’on peut modéliser par une
relation entre deux suites proportionnelles, relation qui est une fonction linéaire.
(@DOC. Exemples de problèmes de proportionnalité)
On peut classer les situations de proportionnalité en trois catégories.
2.2.1. Situations de la vie courante dans lesquelles la proportionnalité est
une convention sociale
Par exemple, le prix de l’essence est proportionnel au volume acheté, celui de
la viande est proportionnel à la masse (les vendeurs appliquent parfois une limite à la masse
vendue). Par contre, le prix à payer pour affranchir une lettre n’est pas proportionnel à la
masse, la taille d’un nourrisson n’est pas proportionnelle à son âge.
est
.
Le coefficient de proportionnalité
.
2.2.3. Situations où la proportionnalité permet de définir un nouveau
concept
Nous savons, par exemple, que pour un objet constitué d’une matière homogène
ou pour un liquide, la masse est proportionnelle au volume. Ceci permet de définir le concept
de masse volumique. La masse volumique est la masse par unité de volume
ou
bien m = M × v. La masse volumique M apparaît comme le coefficient de proportionnalité
permettant de passer du volume à la masse. Ainsi la masse volumique du cuivre est
8 920 kg/m3.
Lorsque de l’eau s’écoule régulièrement d’un robinet, le volume d’eau V débité
est proportionnel à la durée t du débit :
V = k × t.
Le coefficient de proportionnalité k (ou débit) représente le volume d’eau qui s’écoule par
unité de durée.
Lorsqu’on agrandit une figure, les dimensions de la figure agrandie sont
proportionnelles aux dimensions de la figure initiale. Ceci permet de définir le concept
d’échelle (cf. § 2.3.4.c.). L’échelle est le rapport entre une dimension mesurée sur un plan
et la dimension correspondante sur le terrain, ces deux dimensions étant exprimées avec la
même unité.
167
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉ
Lorsqu’un véhicule se déplace régulièrement sans accélérer ni freiner, la distance d qu’il
parcourt est proportionnelle à la durée t mise pour faire le trajet : d = v × t. Le coefficient
de proportionnalité se nomme « vitesse moyenne », c’est la distance parcourue par unité de
durée (cf. § 2.3.4.b.).
Exemple 2
(@AI. Situations de proportionnalité)
Réponse : non, le prix du filet de bœuf n’est pas proportionnel à la masse car
À la boucherie Sanzot, 2 kg de filet de bœuf coûtent 44 euros et 5 kg coûtent 100 euros.
Dans cette boucherie, le prix du filet de bœuf est-il proportionnel à la masse ?
et
.
2.3. Différents types de problèmes de proportionnalité
2.3.2. Problèmes dits de « quatrième proportionnelle » (@GL.)
2.3.1. Problèmes dans lesquels il s’agit de reconnaître la proportionnalité
Il s’agit de problèmes dans lesquels on a à faire à deux suites proportionnelles,
telles que les données chiffrées de l’énoncé peuvent entrer dans un tableau à 4 cases dont
on connaît 3 cases. On cherche le nombre qui figure dans la quatrième case. Appelons a, b et
c les trois nombres connus et d celui que l’on cherche.
Exemple 1
Chacun des tableaux suivants est-il un tableau de proportionnalité ?
168
8
40
2,5
4,5
14
35
1re suite
7
35
5,5
9,9
8
20
2 suite
22
110
8
14,4
1
2,5
29
145
2
3,6
4
9
30
150
4,5
8,1
10
3,2
Tableau 1
Tableau 2
Solution : dans le tableau 1, on constate que
sont proportionnelles (voir § 2.1.).
Tableau 3
.
e
-
Autre solution : supposons que les suites soient proportionnelles. Si elles le sont, le coefficient
de proportionnalité est obtenu, par exemple, en divisant 40 par 8, ce qui fait 5.
Donc les suites sont bien proportionnelles.
Dans le tableau 2, on vérifie de la même façon que les suites sont proportionnelles et que le
coefficient de proportionnalité est 1,8.
Par contre, dans le tableau 3, on a :
, ce qui laisse supposer un
coefficient de proportionnalité égal à 2,5. Mais 4 × 2,5 x 9 et 10 × 2,5 x 3,2, donc il ne
s’agit pas d’un tableau de proportionnalité.
c
1re suite
a
d?
b
d?
2 suite
b
c
e
Il existe plusieurs façons de trouver le nombre qui manque dans le tableau.
Le choix de la méthode est déterminé par les nombres qui sont en jeu et des relations
arithmétiques entre ces nombres, ce qui favorise parfois une méthode plutôt qu’une autre au
niveau des calculs. On distingue généralement :
Ces suites
Par ailleurs, on a bien : 7 × 5 = 35 ; 22 × 5 = 110 ; 29 × 5 = 145 ; 30 × 5 = 150.
a
l’utilisation du coefficient de proportionnalité ;
l’utilisation de propriétés de linéarité additive ou multiplicative ;
le retour à l’unité ou règle de trois ;
l’utilisation du produit en croix.
Nous allons illustrer ces méthodes par quelques exemples :
Exemple 1
On sait que pour faire 12 meringues, il faut 240 g de sucre. Combien faut-il de sucre pour
faire 30 meringues ? Et 42 meringues ?
Solution : La situation suppose (connaissance sociale) que la masse de sucre nécessaire est
proportionnelle au nombre de meringues. Le nombre de meringues et la masse de sucre sont
donc les grandeurs en jeu. Pour déterminer la quantité nécessaire pour 30 meringues, on peut
faire le tableau suivant :
Nombre de meringues
12
30
Masse de sucre en grammes
240
?
169
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉ
c. Utilisation de la linéarité multiplicative
Exemple 2
Un piquet mesure 80 cm et son ombre 1,20 m. Un petit arbre a une ombre qui mesure 6 m.
Quelle est sa hauteur ?
Solution : On sait que la longueur de l’ombre est proportionnelle à la hauteur de l’objet. Les
deux grandeurs en jeu sont des longueurs. On peut faire le tableau suivant :
Piquet
Petit arbre
Hauteur de l’objet en mètres
0,8
?
Longueur de l’ombre en mètres
1,2
6
Piquet
Petit arbre
Hauteur de l’objet en mètres
0,8
c?
Longueur de l’ombre en mètres
1,2
6
×5
Dans l’exemple 2, on repère que 6 = 5 × 1,2. On en déduit que la hauteur de l’arbre sera 5
fois plus grande que celle du piquet. Ceci peut se traduire par :
a. Utilisation du coefficient de proportionnalité
6 = 5 × f (0,8) = f (5 × 0,8) = f (4).
On recherche d’abord le coefficient de proportionnalité k :
1re suite
a
c
2 suite
b
d?
e
170
On a
Donc la hauteur de l’arbre est de 4 mètres.
d. Méthode des produits en croix
×k
Pour résoudre un problème de « quatrième proportionnelle », on peut utiliser la méthode dite
des « produits en croix » (cf. chapitre 4 § 1.2.1.)
et c × k = d donc
Dans l’exemple qui suit, on cherche d :
Dans l’exemple 1, ceci se traduit par :
.
La masse de sucre pour 30 meringues est donc : 20 × 30 = 600 grammes
1re suite
a
c
2 suite
b
d?
e
b. Utilisation de la propriété de linéarité additive
Dans l’exemple 1, on nous demande également la quantité de sucre nécessaire
pour faire 42 meringues :
Nombre de meringues
12
30
42
Masse de sucre en grammes
240
600
?
Appelons f la fonction linéaire qui au nombre de meringues associe la masse de sucre
nécessaire.
f (42) = f (12 + 30) = f (12) + f (30) = 240 + 600 = 840.
Pour faire 42 meringues, il suffit de considérer les quantités de sucre pour 12 et 30 meringues,
soit 840 g de sucre.
Ici, on a utilisé la propriété additive de linéarité.
Les suites étant proportionnelles, nous avons
, donc ad = bc d’ou
On peut également utiliser cette méthode dans l’exemple 2 :
Piquet
Petit arbre
Hauteur de l’objet en mètres
0,8
h?
Longueur de l’ombre en mètres
1,2
6
0,8 × 6 = h × 1,2 donc
.
.
171
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉ
e) Méthode dite du « passage à l’unité » ou « règle de trois »
« Pour préparer un pichet de sirop de grenadine, Pierre mélange 4 verres de sirop et 6 verres
d’eau. Jeanne, quant à elle, utilise 6 verres de sirop et 8 verres d’eau. Quel est le mélange le
plus sucré ? »
Dans l’exemple qui suit, on cherche d.
1re suite
a
c
2 suite
b
d?
e
Une méthode consiste à comparer les rapports quantité de sirop/quantité
d’eau, par exemple dans les deux mélanges : 4/6 ou 2/3 et 6/8 ou 3/4. Comme 3/4 > 2/3, on
en déduit que le mélange de Jeanne est le plus sucré.
Le raisonnement est le suivant :
pour la quantité « a », on a la quantité « b » ;
pour la quantité « 1 », on a la quantité «
En voici un exemple :
Une deuxième méthode consiste à ramener les deux solutions aux mêmes
quantités de sirop par exemple. Ainsi :
»;
-
pour la quantité « c », on a la quantité
.
-
172
Quand on fait d’abord la division de b par a suivie de la multiplication par c, on parle de
« passage à l’unité ». Mais le calcul peut également être effectué en faisant d’abord la
multiplication de b par c et en divisant ensuite le résultat obtenu par a. Cela est d’ailleurs
conseillé afin d’éviter des valeurs approchées issues de la division de b par a.
(@DOC. Problème de comparaison de proportions et de composition de
proportionnalité).
pour 12 meringues, il faut 240 g de sucre ;
g de sucre, c’est-à-dire 20 g ;
pour 30 meringues, il en faut 30 fois plus soit
Il revient au même de calculer
la division par 12.
Conclusion : le mélange de Jeanne est le plus sucré.
Deux autres types de problèmes existent : il s’agit des problèmes de composition
de proportionnalité et les problèmes de proportionnalité multiple.
Traitement de l’exercice 1 par cette méthode :
pour 1 meringues, il faut 12 fois moins de sucre soit
12 = 4 × 3 donc pour 12 verres de sirop, il faut 18 verres d’eau pour le
mélange de Pierre ;
12 = 6 × 2 donc pour 12 verres de sirop il faut 16 verres d’eau pour le
mélange de Jeanne.
2.3.4. Étude de quelques types de situations de proportionnalité particulières :
pourcentages, agrandissement et réduction, échelles, vitesse
g de sucre.
a. Pourcentages
en effectuant d’abord le produit de 240 par 30 puis
(@DOC. Recherche de 4 proportionnelle - exemples complémentaires ; @AI.
Tableaux de proportionnalité)
e
2.3.3. Problèmes de comparaison de proportions
Dans ces problèmes, 4 données sont proposées et la question attendue n’est
généralement pas numérique mais suppose de comparer des rapports entre les données.
On trouve des exemples de situations de proportionnalité dans les exercices sur
les pourcentages (voir § 2.2.).
Deux types de problèmes peuvent se poser : déterminer un pourcentage ou
appliquer un pourcentage.
Rappelons d’abord ce qu’est un pourcentage :
soit A un ensemble fini ayant a éléments et B une partie de A comportant b
éléments. Pour trouver le pourcentage que représente B de A, on commence par chercher le
taux
d’éléments de B parmi ceux de A. Le pourcentage que B représente dans A est obtenu
173
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉ
en imaginant que A comporte 100 éléments et que le taux d’éléments de B parmi ceux de A
reste le même. Le tableau suivant rend compte de cette situation :
Nombre d’éléments de l’ensemble A
a
100
Nombre d’éléments de l’ensemble A
b
?
Exemple 2 : Déterminer un pourcentage d’augmentation ou de diminution
Suite à une augmentation du cours du baril de pétrole brut, le litre de gas-oil est passé de
0,719 euros à 0,74 euros . Quel est le pourcentage d’augmentation du cours du baril de
pétrole brut ?
Ceci revient à multiplier le taux par 100 ; le pourcentage que représente B dans A est
.
Z Cas 1 - Exemples de détermination d’un pourcentage
Il faut d’abord comprendre qu’il s’agit de l’augmentation par rapport au prix initial. Cette
augmentation est, en euros 0,74 − 0,719 = 0,021.
On peut traduire cette situation par le tableau de proportionnalité suivant, en se demandant
quelle serait l’augmentation si le prix initial était 100 euros :
Exemple 1
Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles et 12 garçons. Cherchons le pourcentage de filles
par rapport au nombre total d’élèves.
Prix initial en euros
0,719
100
Augmentation en euros
0,021
?
Cela revient à imaginer que la classe comporte 100 élèves et que le taux de filles reste
le même, c’est-à-dire la fraction
, ici égale à
. On peut illustrer cette
.
On peut donc écrire que le prix a augmenté de 2,9 % environ.
situation par le tableau de proportionnalité suivant.
174
Le pourcentage d’augmentation est
Nombre total d’élèves
30
100
Nombre de filles
18
?
Le pourcentage de filles par rapport au nombre total d’élèves est
175
Z Cas 2 - Appliquer un pourcentage
Soit E un ensemble fini ayant n éléments et a un réel (0 ! a ! 100). Pour prendre a % des
éléments de E, on fait comme si E avait 100 éléments. Prendre a % d’un nombre, c’est le
. On a bien
multiplier par
.
Exemple 1
.
Remarquons que le coefficient de proportionnalité est
.
Dans une école de 210 élèves, il y a 30 % d’élèves qui mangent à la cantine. Déterminons le
nombre d’élèves qui mangent à la cantine.
Il y a donc 60 % de filles dans la classe.
Le nombre d’élèves qui mangent à la cantine est
.
De la même façon, on déterminerait le pourcentage de garçons par rapport au nombre total
d’élèves par le calcul
.
La situation peut être illustrée par le tableau de proportionnalité suivant : on sait qu’il y a
30 % d’élèves qui mangent à la cantine, ce qui signifie que dans une école de 100 élèves,
30 mangeraient à la cantine.
Il y a 40 % de garçons dans la classe (On vérifie bien que 60 + 40 = 100).
Nombre d’élèves qui mangent à la cantine
30
?
Nombre total d’élèves
100
210
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉ
Exemple 2 : Appliquer un pourcentage d’augmentation ou de diminution
Exemple 3
Calculer une augmentation de 5 % sur des objets dont le prix est en euros : 8 ; 12 ; 20 ; 24 ;
34 ; 200.
Reprenons l’exemple 2. Il s’agit de déterminer non pas l’augmentation, mais le prix final
après augmentation. Bien entendu, on pourrait rajouter l’augmentation au prix initial. On
obtiendrait le tableau suivant :
Chaque prix doit être multiplié par la fraction
augmentation de 5.
8×
200 ×
= 0,4 ; 12 ×
: un prix initial de 100 correspondra à une
Prix initial en euros
= 0,6 ; 20 ×
= 1 ; 24 ×
= 1,2 ; 34 ×
= 17 ;
= 10.
Prix final
100
8
12
20
24
34
200
5
0,4
0,6
1
1,2
17
10
105
8,4
12,6
21
25,2
51
210
?
× 1,05
315
Cependant, il est important de considérer qu’il s’agit d’une situation de proportionnalité et
Encore une fois, on peut traduire cette situation par un tableau de proportionnalité. La suite des
réductions est proportionnelle à la suite des prix initiaux et le coefficient de proportionnalité
est
:
Prix initial en euros
Augmentation
176
Augmentation
100
8
12
20
24
34
200
5
0,4
0,6
1
1,2
17
10
×
qu’il existe un coefficient multiplicateur permettant de déterminer le prix final. Ainsi, dans le
tableau précédent, ce coefficient vaut
, soit 1,05. On peut aussi le déterminer rapidement
en estimant qu’augmenter un prix de 5 %, c’est payer 105 % du prix, or
= 1,05.
De même pour une réduction de 30 %, la suite Y des prix réduits est proportionnelle à la suite
X des prix initiaux. Le coefficient de proportionnalité est 0,7. Cela signifie que le prix réduit
correspond à 70 % du prix initial.
Remarque : dans cet exemple, on voit le bénéfice que l’on peut tirer de l’utilisation des
propriétés de linéarité. En effet, si l’on appelle f la fonction qui, au prix initial, fait correspondre
l’augmentation, on sait que cette fonction est linéaire : f (x) = 0,05 x.
f (20) = f (8) + f (12) = 0,4 + 0,6 = 1 ;
Remarque : ce lien avec la multiplication s’avère incontournable quand il s’agit de déterminer
par exemple le prix initial, connaissant le prix final et le taux d’augmentation ou de réduction.
L’opération inverse est alors la division. Ainsi, pour connaître le prix initial d’un article dont
le prix actuel après hausse de 5 % est de 315 euros, il suffit de diviser 315 par 1,05, ce qui
donne 300.
f (200) = f (2 × 100) = 2 × f (100) = 2 × 5 = 10 ou f (200) = f (10 × 20)
= 10 × f (20) = 10 × 1 = 10.
(@DOC. Pourcentages appliqués à une augmentation ou une réduction ; @AI.
Proportionnalité et pourcentages)
Supposons que l’on ait déjà calculé f (100) ; f (8) ; f (12). Sans utiliser le coefficient de
proportionnalité, on peut calculer f (20) et f (200). On a donc :
b. Vitesse moyenne
Si un mobile se déplace à une vitesse constante v, la distance parcourue d est proportionnelle
à la durée t mise pour effectuer le trajet : d = v × t
Durée t en heures
1
10
3
Distance d parcourue en km
80
800
240
60
5
1,75
400
140
× 80
177
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉ
On a d = 80 t dans ce cas précis. Le coefficient de proportionnalité est 80. Il est égal à la
distance parcourue en une unité de durée, c’est-à-dire une heure. On voit que ce coefficient
de proportionnalité représente la vitesse moyenne du mobile.
L’utilisation d’une échelle appartient à cette catégorie de situation. L’échelle E
d’une carte, d’un plan peut être définie comme le rapport de la dimension sur la carte sur la
dimension réelle :
Généralisation
, les deux mesures étant exprimées dans la même unité.
Si un mobile se déplace à la vitesse constante v (exprimée en km/h), il parcourt pendant une
durée t (en heures) la distance d = v × t (kilomètres).
S’il a parcouru la distance d, la durée du trajet a été de
.
Exemple
Sur un extrait du cadastre de la ville de Mende, l’échelle est de 1/2 000 (on lit « un deux
millièmes »). Dire que l’échelle est 1/2 000 signifie que :
Remarque
La vitesse peut être exprimée dans d’autres unités, comme en mètres par seconde (m/s). Il est
important de considérer cet aspect et d’effectuer éventuellement des conversions d’unités.
-
à 1 cm sur le dessin correspondent 2 000 cm soit 20 m dans la réalité ;
-
pour obtenir ce plan, les dimensions sur le terrain ont été multipliées par
dire divisées par 2 000). Inversement, cela veut aussi dire que pour obtenir les dimensions
(@AI. Calculs à partir d’une vitesse)
réelles, les dimensions sur le plan doivent être multipliées par 2 000. Les dimensions sur
c. Agrandissement et réduction, échelle
178
le plan sont proportionnelles aux dimensions réelles.
Les situations d’agrandissement et de réduction de figures sont des situations
de proportionnalité (cf. chapitre 3 § 1.6.2.) : les dimensions de la nouvelle figure sont
proportionnelles aux dimensions initiales. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient
d’agrandissement ou de réduction.
Supposons qu’on dispose d’une figure dont les dimensions sont inscrites dans
la première ligne du tableau suivant et qu’on veuille la transformer (l’agrandir ou la réduire)
dans un rapport k (k réel positif). Les dimensions de la nouvelle figure se trouvent dans la
seconde ligne du tableau :
Dimensions initiales
Dimensions de la nouvelle figure
(c’est-à-
d1
d2
d3
…
k sd
k sd
k sd
…
Généralisation
-
Les échelles relatives à une réduction sont couramment exprimées par des rationnels
de la forme
où a est un entier naturel non nul simple comme 2, 10, 100 000 ou
1 000 000… On écrit par exemple 1/25 000 (et on lit « un vingt-cinq millièmes »).
-
Le double principe d’utilisation des échelles est toujours le même :
• pour faire une carte ou un plan ou un dessin technique à l’échelle 1/a, on prend les
mesures réelles et on les multiplie par
(c’est-à-dire qu’on les divise par a) ;
• pour utiliser un plan à l’échelle 1/a, c’est-à-dire pour connaître les dimensions réelles
d’un objet, on multiplie ses dimensions sur le plan par a.
On sait que si k > 1, il s’agit d’un agrandissement dans la mesure où les
dimensions de la figure augmentent et si 0 < k < 1, il s’agit d’une réduction, les dimensions
diminuant dans ce cas.
(@AI. Calcul d’échelles ; @AI. Conversion à partir d’une échelle) N
179
PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS NUMÉRIQUES
3. STATISTIQUES
Exemple
Les 25 employés d’une entreprise ont répondu au questionnaire suivant :
a.
Combien de trajets effectuez-vous par semaine pour venir travailler ?
b.
Quel moyen de transport utilisez-vous pour venir travailler ?
c.
Combien de temps vous faut-il pour venir travailler ?
Les réponses à ce sondage peuvent être présentées sous trois formes.
a. Sous forme d’un tableau (réponse à la question a)
Nombre de trajets
6
8
10
12
14
16
Effectif
3
7
10
2
2
1
Le nombre de trajets est appelé caractère quantitatif (@GL.) et prend 6 valeurs : 6, 8, 10,
12, 14 et 16. Le terme quantitatif signifie que les valeurs du caractère sont des nombres.
181
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
b. Sous forme de représentation graphique (réponse à la question b)
STATISTIQUES
STATISTIQUES
Z Le caractère est une propriété commune aux individus d’une population.
• Dans l’exemple b, le caractère est le mode de transport. Ce caractère est un
caractère qualitatif qui a ici cinq valeurs (à pied, en voiture, en bus, en train et
avec un deux-roues). Un caractère est qualitatif quand il n’est pas exprimé sous
forme de nombre.
• Dans l’exemple c, le caractère peut prendre toutes les valeurs entre 0 et
120 minutes. C’est un caractère quantitatif continu.
• Dans l’exemple a par contre, le caractère est le nombre de trajets, donc des
nombres entiers isolés. Il ne peut pas prendre toutes les valeurs entre 6 et 16
(absence de 7, de 7,5 etc.). C’est un caractère quantitatif discret.
Z L’effectif (@GL.) relatif à une valeur d’un caractère est le nombre d’individus ayant
cette valeur. L’effectif total est le nombre total d’individus de la population.
182
Le mode de trajet est appelé caractère qualitatif (@GL.) et a 5 valeurs : à pied, en voiture,
en bus, en train et en deux-roues. Le terme qualitatif signifie que les caractères sont sous
une forme non numérique (des mots). On parle de « variable nominale ». La représentation
graphique proposée est appelée diagramme en barres ou en bandes. Les caractères sont
indiqués sur l’axe des abscisses et les effectifs sur l’axe des ordonnées. Les hauteurs des
barres sont proportionnelles aux effectifs des valeurs du caractère.
c. Sous forme d’une liste de données (réponse à la question c )
5 min – 8 min – 9 min – 9 min 30 s - 12 min – 14 min – 15 min – 20 min – 25 min – 30 min
– 32 min – 35 min – 35 min – 40 min – 45 min – 45 min – 55 min – 1 h – 1 h 5 min 1 h 10 min – 1 h 20 min – 1 h 25 min – 1 h 30 min – 1 h 45 min – 2 h.
La durée de trajet est appelée caractère quantitatif et prend des valeurs qui sont des variables
numériques comprises entre 0 minute et 120 minutes.
3.1. Définitions
Z La population (@GL.) est l’ensemble sur lequel porte l’étude statistique. Dans
notre exemple, la population est l’ensemble des employés de l’entreprise.
Z Un individu (@GL.) est un élément de la population étudiée. Il y a 25 individus
dans la population étudiée.
Z La fréquence (@GL.) d’une valeur d’un caractère est le quotient de l’effectif relatif
à cette valeur par l’effectif total. Une fréquence peut s’exprimer par une fraction, un nombre
décimal, un pourcentage.
3.2. Tableau de données et graphiques
Il est utile de savoir passer d’un tableau de données à un graphique et inversement d’un
graphique à un tableau de données. Les principales sortes de graphiques sont les diagrammes
en barres ou en bâtons, les diagrammes circulaires, les histogrammes.
Un diagramme à barres (@GL.) présente habituellement des intervalles de classe.
Il comporte un axe et une série de barres horizontales ou verticales. Les barres montrent les
fréquences des différentes valeurs ou simplement les différentes valeurs elles-mêmes. Elles
sont de même largeur, mais de hauteur différente (voir l’exemple de la question b du § 3)
Un diagramme circulaire (@GL.) est formé d’un disque divisé en secteurs. Chaque
secteur représente une catégorie particulière. L’aire de la surface de chaque secteur représente
la même proportion du disque que la catégorie face à l’ensemble des données. Il s’agit donc
de montrer la partie d’un tout.
Un histogramme (@GL.) sépare les valeurs possibles des données en classes. Pour
chaque classe, un rectangle est construit. La base du rectangle correspond aux valeurs de la
classe. Les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences) des
classes. Cela signifie que les rectangles seront d’une hauteur différente.
183
PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS NUMÉRIQUES
PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS NUMÉRIQUES
Remarque
Un diagramme à barres verticales diffère d’un histogramme par les éléments suivants :
-
dans un histogramme, la fréquence est mesurée par l’aire du rectangle ;
dans un diagramme à barres verticales, la fréquence est mesurée par la hauteur de
la barre.
4. ENSEIGNEMENT
(@DOC. Exemples de graphiques)
3.3. Moyenne arithmétique d’une série
La moyenne arithmétique (@GL.) est une mesure qui marque le point d’équilibre
d’une série. C’est la mesure la plus connue et la plus couramment utilisée.
4.1. Que disent les instructions officielles en 2008 ?
Soit une population composée de n individus et x1, x2, …, xn les n valeurs observées
d’une variable X, alors la moyenne arithmétique a pour valeur :
184
.
NB : xi, valeurs des observations de la variable X ; n, nombre d’observations.
Exemple
Voilà une série de notes obtenues par un élève : 4, 5, 15, 12, 10. Calculons sa moyenne.
La moyenne est
Dans certains cas, les valeurs d’une variable se répètent plus d’une fois. C’est le cas
pour des notes affectées de coefficient. On utilise alors la moyenne arithmétique pondérée.
(@DOC. Exemples de calcul de la moyenne d’une série ; @AI. Calcul de moyennes ;
@AI. Petits problèmes de moyenne ; @METH. Double proportionnalité) N
Des éléments relatifs aux fonctions et à la proportionnalité apparaissent dans les
instructions officielles 2008 au cycle 2, dans le paragraphe 4 intitulé « Organisation et gestion
de données » : « L’élève utilise progressivement les représentations usuelles : tableaux,
graphiques ».
Au cycle 3, on retrouve dans le paragraphe « Organisation et gestion de données » :
« Les capacités d’organisation et de gestion de données se développent par la résolution
de problèmes de la vie courante ou tirés d’autres enseignements. Il s’agit d’apprendre
progressivement à trier des données, à les classer, à lire ou à produire des tableaux, des
graphiques et à les analyser. La proportionnalité est abordée à partir de situations faisant
intervenir les notions de pourcentage, d’échelle, de conversion, d’agrandissement ou de
réduction de figures. Pour cela, plusieurs procédures (en particulier celle de la règle de
trois) sont utilisées. » (@DOC. Lecture de graphiques et manuels de cycle 3 ; @DOC.
Questions complémentaires sur la lecture de graphiques)
Les compétences attendues en fin de cycle 3 sont précisées : « Résoudre des problèmes
relevant de la proportionnalité, règle de trois ; Savoir organiser les informations numériques ;
Lire, interpréter et construire quelques représentations simples : tableaux, graphiques. ».
Dans la progression proposée par les instructions officielles de 2008, on voit tout
d’abord que l’accent est mis sur la lecture de tableaux et graphiques, ceci dès le CP. La
réalisation et l’interprétation de tableaux et graphiques intervient à partir du CM1. (@DOC.
Questions didactiques : problème de proportionnalité et graphique)
185
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
ENSEIGNEMENT
ENSEIGNEMENT
Dans les manuels, les représentations graphiques que l’on trouve sont variées ; elles
font souvent référence à des contextes proches des élèves (@DOC. Lecture de graphiques
et manuels de cycle 3). Elles peuvent aussi être issues de la géographie ou des sciences.
Le but est toujours à la fois de varier les supports de réflexion et, comme le demandent les
programmes, de confronter les élèves à la lecture et à l’interprétation de graphiques.
Problème : Complète le tableau suivant :
Les apprentissages concernant la proportionnalité interviennent à partir du CM1 et seront
poursuivis au collège (@DOC. Proportionnalité – exemple de question complémentaire). Pour résoudre les problèmes de « quatrième proportionnelle », plusieurs procédures
sont possibles. On assiste au retour de la méthode de la « règle de trois », méthode qui ne
figurait pas au programme de 2002.
La fonction f sous-jacente est définie pour n appartenant à {3, 5, 6, 10} par f (n) = n2.
Elle est du second degré.
Le mot « fonction » n’apparaît pas dans les programmes dans son sens mathématique. C’est
cependant une notion sous-jacente à différents contenus qui y figurent. En effet, au cycle 2,
de nombreuses situations font intervenir la notion d’opérateur constant :
- les élèves doivent « connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés
de nombres pairs inférieurs à 20 » au CP, puis au CE1 « les doubles et moitiés des nombres
186
d’usage courant » (les fonctions sous-jacentes sont
);
Côté du carré en cm
Aire du carré en cm
3
5
6
10
2
Procédures des élèves dans les problèmes de quatrième proportionnelle
Comme nous l’avons vu dans le § 2.3.2, il existe plusieurs façons de résoudre un
problème de quatrième proportionnelle. Les méthodes utilisables par les élèves sont de même
type pour la plupart d’entre elles :
- dans le cadre numérique : utilisation des propriétés de linéarité, utilisation du
coefficient de proportionnalité, utilisation du retour à l’unité ou de la règle de trois. Signalons
tout de suite que le produit en croix n’est pas utilisé à l’école élémentaire ;
- dans le cadre graphique : utilisation d’une représentation graphique.
- « connaître et utiliser les tables de multiplication par deux, trois, quatre et cinq, savoir
multiplier par dix » au CE1 ;
- « connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre,
kilogramme et gramme, euro et centime d’euro. Les unités usuelles et les relations qui les
lient : cm et m, kg et g » au CE1.
(@DOC. Procédures utilisables par les élèves ; @DOC. Analyse de production
d’élèves et problème de proportionnalité)
Les fonctions sur lesquelles s’appuient ces connaissances sont linéaires.
Dans les problèmes de proportionnalité, les nombres qui figurent dans le texte ainsi que
les relations entre ces nombres sont les variables didactiques essentielles et permettent ou
non l’utilisation de certaines procédures. En effet, le coefficient de proportionnalité peut être
entier ou décimal ou rationnel non décimal, donc inutilisable par un élève de cours moyen. Il
en est de même pour les coefficients scalaires, c’est-à-dire les rapports entre nombres relevant
d’une même grandeur, qui peuvent également faciliter ou non l’obtention de certains résultats
(@DOC. Analyse de production d’élèves et problème de proportionnalité)
Au cycle 3, le travail précédent est consolidé. L’introduction d’autres mesures de grandeurs et
d’autres unités conduit à l’extension du travail effectué au cycle 2 dans ce domaine.
Malgré la remarque faite plus haut sur la nature des fonctions en jeu à l’école, essentiellement
des fonctions linéaires, il arrive que d’autres types de fonctions soient présents, à titre de
contre-exemple. Cependant, aucune compétence particulière n’est attendue sur le thème des
fonctions.
4.2. Variables didactiques dans les problèmes de proportionnalité
Enfin, le nombre de couples donnés est également une variable didactique, puisqu’il
peut faciliter ou non l’utilisation de certaines procédures.
Exemples
Problème : Yasmina a 10 ans, son frère Xavier a 5 ans. Quel âge aura Yasmina quand Xavier
aura 7 ans, puis 12 ans, puis 20 ans ?
La fonction f sous-jacente, définie pour n appartenant à {5, 7, 12, 20} par f (n) = n + 5, est
affine.
• Dans le tableau de proportionnalité suivant, deux couples de valeurs sont donnés
et facilitent le calcul de l’image de 30 :
12
18
30
16
24
?
187
PROPORTIONNALITÉ
PROPORTIONNALITÉET
ETFONCTIONS
FONCTIONSNUMÉRIQUES
NUMÉRIQUES
Il suffit de remarquer que 30 = 12 + 18. L’image de 30 s’obtient en ajoutant l’image de
12 et celle de 18, c’est-à-dire 16 + 24, ce qui fait 40. On a utilisé la propriété de linéarité
additive.
• Si un seul couple de valeurs est donné, il n’est plus possible d’utiliser cette
propriété :
s2,5
12
30
16
?
L’utilisation du coefficient de proportionnalité est impossible pour un élève de CM,
puisqu’il s’agit d’un rationnel non décimal :
coefficient scalaire
. Il est, par contre, possible d’utiliser le
, qui est un nombre décimal. Le nombre qui manque dans le
tableau s’obtient par le calcul du produit de 16 par 2,5, ce qui fait 40.
188
ENSEIGNEMENT
ENSEIGNEMENT
chapitre 3 § 1.6.2.). En effet, l’idée d’agrandissement ou de réduction est souvent liée à l’idée
d’ajouter ou de soustraire, alors que ces problèmes doivent être résolus par des procédures
multiplicatives. Si on propose le problème suivant « On agrandit un rectangle de longueur
4 cm et de largeur 3 cm, de façon que le segment dont la mesure est 4 cm sur le modèle
mesure 7 cm sur l’agrandissement. Que devient alors la largeur de ce rectangle ? », il y a de
fortes chances que l’élève soit tenté de répondre en ajoutant 3 cm à l’autre dimension.
La deuxième difficulté consiste à identifier dans le texte les grandeurs qui sont en jeu
pour pouvoir réaliser un tableau. Savoir faire le tableau, c’est avoir résolu en grande partie le
problème.
La troisième difficulté consiste à savoir choisir une procédure de résolution. Nous avons
vu que ce choix est lié aux nombres qui sont dans le texte, nombres qui sont les variables
didactiques décisives. L’enseignant qui veut favoriser le recours à telle ou telle méthode doit
les choisir avec soin.
La dernière difficulté est dans la mise en œuvre de la méthode choisie. Dans le cas où
l’enseignant n’autorise pas l’utilisation de la calculatrice, l’exécution des calculs peut être une
source de difficulté non négligeable pour un élève de cours moyen, surtout s’il faut recourir à
des nombres décimaux.
4.3. Difficultés des élèves dans les problèmes de proportionnalité.
4.4. Conclusion sur l’enseignement de la proportionnalité
La première difficulté est de reconnaître la proportionnalité, c’est-à-dire de savoir si la
situation proposée relève ou non de la proportionnalité (@DOC. Analyse de production
d’élèves et problème de proportionnalité). Ceci n’est, en effet, pas toujours explicitement
dit dans le texte.
On peut avancer que reconnaître une situation de proportionnalité, c’est :
- soit reconnaître une situation familière (achat de plusieurs articles à un prix unitaire
indépendant de la quantité, recettes de cuisine, consommation d’essence au kilomètre…) ;
- soit reconnaître une situation-type que l’on a appris à traiter (échelle, agrandissement
ou réduction d’une figure, pourcentage, déplacement à vitesse constante…) ;
- soit identifier, dans la situation proposée, deux grandeurs qui varient « de la même
manière » : si l’une double (triple, quadruple…), l’autre double (triple, quadruple, etc.).
Reconnaître la proportionnalité nécessite de savoir distinguer des situations qui relèvent
de ce modèle, d’autres qui n’en relèvent pas. Pour cela, il est utile que le maître ait présenté
des situations qui ne relèvent pas du modèle proportionnel.
Il faut noter que certaines situations font obstacle à la reconnaissance du modèle
proportionnel. C’est le cas des contextes d’agrandissement ou de réduction de figure (cf.
L’enseignant va devoir travailler dans plusieurs directions conjointes.
- Explorer les contextes qui sont les plus familiers pour mettre au point, avec les élèves,
les méthodes de traitement pertinentes (elles dépendent souvent des données), s’assurer
que les méthodes pertinentes sont bien maîtrisées par les élèves, inciter à l’utilisation des
propriétés de linéarité (sans chercher à les énoncer de manière formelle, mais en multipliant
plutôt les exemples avec des données bien choisies).
- Dégager, avec les élèves, ce que ces situations ont de particulier par rapport à
des situations proches qui ne relèvent pas de la proportionnalité, en traitant, dans le même
contexte, des situations de proportionnalité et des situations de non proportionnalité (par
exemple, des problèmes d’achats groupés bénéficiant d’un barème dégressif en fonction de
la quantité d’articles, les tarifs postaux, etc.).
- Enseigner, expliquer le fonctionnement des situations-types non familières aux
élèves : un élève ne peut seul découvrir la signification d’une échelle ou d’un pourcentage.
Les exemples choisis doivent d’abord être simples, dans des contextes pas trop éloignés des
centres d’intérêt des élèves.
- Faire vivre des situations dans lesquelles la pertinence du modèle de la
proportionnalité peut être expérimentée : l’étude comparative des variations de la hauteur
d’eau en fonction de la quantité dans deux verres doseurs, l’un cylindrique, l’autre conique,
est un exemple intéressant à cet égard.
189
PROPORTIONNALITÉ ET FONCTIONS NUMÉRIQUES
Les considérations précédentes nous amènent à penser qu’un maître ne peut inclure
dans sa progression un chapitre unique consacré à la proportionnalité. Il s’agit plutôt de
chercher à créer des liens entre toutes ces situations travaillées en conservant les synthèses
élaborées par le maître avec les élèves, à l’issue de leurs traitements, sur des affiches murales
ou sur des fiches de référence, individuelles, classées, organisées, accessibles à tout moment.
Le maître veillera à ce que ces traces écrites deviennent de plus en plus homogènes dans
leur présentation grâce à l’emploi d’outils de représentation, mis au point avec les élèves.
Ces outils de représentation, colonnes de nombres, tableaux de nombres, schémas fléchés,
graphiques, vocabulaire, expressions, etc., sont ces langages habituellement associés à la
proportionnalité qui, s’ils sont utilisés dans tous les contextes travaillés (ce ne peut pas être
le cas au début), aideront les élèves à sentir les parentés de traitement entre toutes ces
situations malgré les différences de contexte.
On voit ici la nécessité d’une programmation de cycle, afin que les élèves ne soient pas
toujours confrontés aux mêmes situations, alors que d’autres ne sont pas étudiées.
190
Pour terminer, si les compétences attendues en fin de cycle 3 ne sont pas acquises, il
y a quelques raisons pour l’enseignant d’être patient car l’étude de la proportionnalité se
poursuit au collège, et les compétences à acquérir à l’école primaire sont limitées.
(@AE.)
(@BIB.) N