Séries chronologiques

Séries chronologiques
10 janvier 2007
1
Exercice 1
Nous avons simulé les séries suivantes, où εt est un bruit aléatoire, st une série d’effets saisonniers, ft
une tendance sinusoïdale et a une constante positive :
yt = εt , yt = st + εt , yt = at + st + εt ,
yt = at × st × εt , yt = ft × εt , yt = ft + εt ,
−2
−3
−2
0
−1
0
serie
2
serie
1
4
2
3
6
4
Associez à chaque série son graphique, en justifiant.
0
10
20
30
40
50
60
0
100
200
300
400
temps
0
5
10
15
serie
20
25
30
temps
0
10
20
30
40
50
60
−2
0
serie
0
−4
−1
−6
−2
serie
2
1
4
2
6
temps
0
100
200
300
400
0
temps
100
200
temps
1
300
400
2
Exercice 2 : Utilisation des moyennes mobiles centrées sur une
tendance linéaire
Soit deux séries chronologiques X et Y , comprenant une tendance linéaire, définies de la manière
suivante :
xt
yt
=
=
2 × t + 100
3 × t + 200
t = 1 . . . , 16
1. Calculer les moyennes mobiles de longueur 3 et de longueur 4 sur les séries X et Y , notées mm3 (X),
mm4 (X), mm3 (Y ) et mm4 (Y ).
2. Comparer la série X aux deux moyennes mobiles mm3 (X) et mm4 (X). Commenter les résultats.
3. Soit la série Z la somme des deux séries chronologiques X et Y .
3.1. Calculer les moyennes mobiles de longueur 3 et de longueur 4 sur la série Z, notées mm3 (Z) et
mm4 (Z).
3.2. Calculer les sommes mm3 (X) + mm3 (Y ) et mm4 (X) + mm4 (Y ). Comparer ces résultats à ceux de
la question précédente. Que peut-on constater ?
Séries
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
X
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
Y
203
206
209
212
215
218
221
224
227
230
233
236
239
242
245
248
Z
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
370
375
380
Tab. 1 – Valeurs des séries chronologiques X, Y et Z
2
3
Exercice 3 : Lissage par moyenne mobile simple et désaisonnalisation
Nous donnons au tableau 2 la série yt des indices trimestriels de la production industrielle (base 100
en 1970) de 1963 à 1982 :
Année
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
Trimestre 1
100
107
114
122
129
117
127
133
133
138
145
Trimestre 2
104
108
115
122
129
117
127
130
134
136
138
Trimestre 3
87
92
96
103
108
97
108
107
110
118
115
Trimestre 4
110
117
123
130
126
125
134
132
140
146
141
Tab. 2 – indice trimestriel de la production industrielle
1. A quoi cela sert-il de désaisonnaliser la chronique étudiée ? A quel type de questions cherche-t-on à
répondre lorsque l’on décompose une chronique ?
2. Au vu du graphique, quel modèle de décomposition proposez-vous pour cette série ?
3. Nous allons adopter un schéma de décomposition additif pour cette série :
yt = ft + st + εt ,
(1)
où ft est la tendance de la série, st le coefficient saisonner et εt la perturbation erratique. Rappelez la
signification et les hypothèses habituelles faites pour ces différentes composantes. En particulier, rappelez
le principe de conservation des aires pour les coefficients saisonniers. Pourquoi cette contrainte de renormalisation est-elle nécessaire ?
4. Estimation de la tendance par une moyenne mobile simple centrée sur 4 points
160
140
120
100
80
60
40
7
19
0
7
19
1
7
19
2
7
19
Données brutes
3
7
19
4
7
19
5
7
19
6
7
19
7
7
19
8
série corrigée des variations saisonnières
7
19
9
8
19
0
moyenne mobile
Fig. 1 – Indice trimestriel de la production industrielle
4.1. Rappelez le principe de la moyenne mobile simple centrée sur 4 points.
4.2. Calculez les valeurs manquantes du tableau 3 (année 1975).
4.3. Calculez les valeurs manquantes du tableau 4 donnant des estimations provisoires des coefficients
saisonniers (année 1979).
4.4. Complétez le tableau 5 donnant les estimations provisoires et finale des coefficients saisonniers et
commentez les valeurs trouvées :
3
Année
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
Trimestre 1
Trimestre 2
103,625
110,000
116,625
123,375
105,125
111,250
118,375
123,500
120,375
126,125
126,875
132,000
136,375
122,875
125,750
128,250
133,750
135,375
Trimestre 3
101,125
106,875
113,000
120,125
121,500
Trimestre 4
102,500
108,625
114,875
121,875
118,500
124,750
125,500
129,875
135,375
125,875
126,000
130,750
136,500
Tab. 3 – Moyenne mobile simple centrée sur 4 points
Année
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
Trimestre 1
Trimestre 2
3,375
4,000
5,375
5,625
1,375
6,625
6,875
6,125
2,875
3,750
3,625
5,500
2,875
4,125
4,250
5,750
8,625
2,625
Trimestre 3
-14,125
-14,875
-17,000
-17,125
-13,500
-18,250
-16,750
-18,500
-19,875
Trimestre 4
7,500
8,375
8,125
8,125
7,500
7,250
8,125
6,000
9,250
Tab. 4 – Première estimation des coefficients saisonniers
Estimation
provisoire
finale
1er trim
2eme trim
3eme trim
-16,738
3,663
4eme trim
7,875
Tab. 5 – Estimation finale des coefficients saisonniers
4.5. Calculez les valeurs manquantes (année 1974) de la série corrigée des variations saisonnières (tableau
6).
Année
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
Trimestre 1
94,700
101,700
108,700
116,700
Trimestre 2
100,338
104,338
111,338
118,338
Trimestre 3
103,838
108,838
112,838
119,838
Trimestre 4
102,125
109,125
115,125
122,125
111,700
121,700
127,700
127,700
132,700
139,700
113,338
123,338
126,338
130,338
132,338
134,338
113,838
124,838
123,838
126,838
134,838
131,838
117,125
126,125
124,125
132,125
138,125
133,125
Tab. 6 – Série corrigée des variations saisonnières
4
4
Exercice 4 : Régression et désaisonnalisation pour une tendance
linéaire
On reprend les données de l’exercice 3 à partir du premier trimestre de l’année 1976. Notre objectif
est maintenant d’obtenir la tendance par une régression linéaire, puis d’en déduire à partir de la série
corrigée les coefficients saisonniers.
1. Pourquoi a-t-on choisi la période premier trimestre 1976- dernier trimestre 1982 pour faire la régression
linéaire ?
2. On modélise l’indice trimestriel yt de la production industrielle par : yt = a t + b pour t = 1, · · · 28
correspondant à chacun des trimestres entre 1976 et 1982. On donne :
28
X
t=1
t = 406,
28
X
yt = 3647,
t=1
28
X
t2 = 7714,
t=1
28
X
28
X
yt2 = 478765,
t=1
tyt = 53500.
t=1
Calculer cov(Y, T ), V (T ), V (Y ), Ȳ , T̄ . Calculer les estimations des moindres carrés b
a et bb de a et b.
2
Calculez le coefficient de détermination R de la régression.
3. Comment calculer les coefficients saisonniers ? Pourquoi le principe de conservation des aires est-il
automatiquement satisfait ?
4. Compléter les tableaux suivants :
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Y
127
127
108
134
133
130
107
132
133
134
110
140
138
136
118
146
145
138
115
141
137
136
115
143
137
136
111
140
εb = Y − Yb
1,320
0,982
-18,357
7,305
5,966
2,628
-20,711
3,950
4,612
5,273
Yb = b
aT + bb
125,680
126,018
126,357
126,695
128,727
129,065
129,404
129,742
130,081
130,419
130,758
131,096
131,435
131,773
132,112
132,450
132,789
133,128
133,466
133,805
134,143
134,482
134,820
15,242
13,904
6,565
-16,773
8,888
4,550
3,211
-18,128
9,534
3,195
1,857
-23,482
5,180
Trimestre
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Tab. 7 – Valeurs expliquées par la régression et estimation provisoire des coefficients saisonniers
Trimestres
Coefficients saisonniers
1
5
2
3,776
3
-18,419
4
5. Comparer avec les valeurs trouvées à l’exercice 3. Interprétez.
6. Comment utiliser les résultats précédents pour faire des prévisions ? Prévoir les valeurs de l’indice pour
l’année 1987.
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
Données
8
9
10
11
Régression
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Régression et coefficients saisonniers estimés
Fig. 2 – Séries Y (Données) Yb (Régression) et Yb redressée par les coefficients saisonniers.
5
Exercice 5 : Un modèle multiplicatif sur une série mensuelle
Une compagnie aérienne régionale désire connaître la structure du trafic aérien d’une de ses lignes.
Pour cela, elle fournit la série mensuelle du nombre de passagers entre 2000 et 2004.
Mois
janvier
février
mars
avril
mai
juin
juillet
août
septembre
octobre
novembre
décembre
2000
713
630
940
1040
720
1260
812
380
870
1120
1200
910
2001
800
700
1030
1280
840
1520
1010
510
1060
1280
1350
1000
2002
900
820
1190
1450
880
1730
1034
590
1203
1500
1550
1140
2003
1092
1000
1380
1700
960
1950
1203
660
1282
1600
1700
1160
2004
1070
1030
1440
1720
1060
2200
1190
730
1278
1760
1940
1320
Tab. 8 – Trafic mensuel d’une ligne aérienne en nombre de passagers
2500
2000
1500
1000
500
0
janv-00
juil-00
janv-01
juil-01
janv-02
juil-02
janv-03
juil-03
janv-04
juil-04
Fig. 3 – Trafic mensuel d’une ligne aérienne en nombre de passagers
6
1. Au vue du graphique, quel type de modèle faut-il appliquer ?
2. Après avoir justifié la longueur de la moyenne mobile à employer, calculer la série Y des moyennes
mobiles.
3. Calculer les coefficients saisonniers et donner la série Z corrigée des variations saisonnières. Vérifier
que ces coefficients vérifient les hypothèses de départ.
6
Exercice 6 : Prévision par régression
Nous nous intéressons à la consommation Ct de vin en France (en millions d’hectolitres) de t = 1967
à 1994.
70
60
50
40
30
20
10
0
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
Fig. 4 – Consommation de vin en France (en million d’hectolitres)
Année
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
T
0
1
2
3
4
5
6
C
58,561
58,413
57,463
55,634
54,389
56,632
56,469
Année
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
T
7
8
9
10
11
12
13
C
54,317
54,427
53,580
53,479
52,408
49,268
49,100
Année
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
T
14
15
16
17
18
19
20
On donne : T̄ = 13, 5, C̄ = 48, 295, Cov(C, T ) = −56, 747,
On choisit de modéliser la chronique par :
C
49,100
49,755
46,300
43,906
43,550
42,420
41,900
Année
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
V (T ) = 65, 250,
T
21
22
23
24
25
26
27
C
41,500
41,600
41,157
38,019
36,903
37,354
36,663
V (C) = 50, 741.
Ct = at + b,
(2)
où a et b sont des paramètres à estimer.
1. Interprétez les coefficients a et b.
2. Calculez les estimations des moindres carrés b
a et bb de a et b. Donnez le coefficient de détermination
de la régression et l’écart-type des résidus.
3. Afin d’éliminer la tendance linéaire, on introduit la chronique zt = Ct − Ct−1 pour t > 1967.
3.1. Montrez que lorsque C satisfait (2), la chronique z est telle que pour tout t > 1967, zt = a.
3.2. Donnez une relation entre z̄, C1967 et C1994 .
4. On désire prévoir la consommation de vin.
4.1 Comment faire des prévisions en utilisant le modèle de régression estimé précédemment ?
7