Incertitude et Probabilités en Théorie de la Décision

Incertitude et Probabilités en Théorie de
la Décision!
Olivier lʼHaridon"
Univ. Rennes 1 & IUF!
1!
Definitions!
Incertitude"
- Knight (1921)!
- - Incertitude mesurable: existence dʼune mesure de probabilité!
Incertitude non mesurable: non existence dʼune mesure de probabilité!
- Keynes (1921)!
- Probabilité: “balance of evidence” en faveur dʼune proposition
particulière.!
- Poids de lʼevidence: quantité de preuve supportant cette balance.!
- Incertitude fondamentale (radicale): pas dʼevidence!
- De Finetti (1937), Ramsey (1931)!
- Des probabilités subjectives peuvent toujours être dérivées des choix
observables.!
2!
Exemples!
"
""
"
une Loterie""
1/2
"
"
"
"
"
"
un “Acte”!
100
1/2
{100,1/2;0,1/2}!
Cac >= 4000
Cac < 4000
0
100
0
{100,cac>=4000;0,cac<4000}!
{100,cac>=4000;0}!
{100,1/2;0}!
{100,p;0}!
{100,E;0}!
{x,p;y}!
{x,E;y}!
3!
Plan!
1. Incertitude et probabilités connues"
2. Applications"
3. Incertitude et probabilités inconnues "
4. Quelques exemples de choix."
"
5. Quelques prolongements"
4!
1. Incertitude et probabilités connues"
5 Distributions de probabilités (1/3)!
P = {100,1/2;0}!
1/2
1/2
Q = {50,3/4;10}!
100
3/4
1/4
0
50
10
3/4
1/2
1/4
0
0
0
100
0 10
50
100
6!
Distributions de probabilités (2/3)!
R = {100,1/3;50,1/4,10,1/12;0}!
1/3
100
1/4
50
1/12
10
1/3
0
1/3
1/4
1/12
0
0 10
50
100
7!
Distributions de probabilités (3/3)!
P = {100,1/2;0}!
3/4
Q = {50,3/4;10}!
1/2
1/4
0
0
0
100
0 10
x 2/3!
50
100
x 1/3!
1/3
1/4
1/12
0
0 10
50
2/3 P + 1/3 Q!
100
8!
Operation: Combinaison!
P = {100,1/2;0}!
1/2
1/2
x 2/3!
Q = {50,3/4;10}!
100
3/4
1/4
0
+!
50
10
x 1/3!
R = {100,1/3;50,1/4,10,1/12;0}!
1/3
100
1/4
50
1/12
10
1/3
0
9!
Operation: Réduction des loteries composées (1/2)!
P = {100,1/2;0}!
1/2
100
1/2
0
0
2/3
1/3
1/2
3/4
0
50
100
x 2/3!
3/4
Q = {50,3/4;10}!
1/4
1/4
10
0
0 10
50
x 1/3!
100
10!
Operation: Réduction des loteries composées (2/2)!
1/2
2/3
1/3
1/2
3/4
1/4
100
1/3
0
100
1/4
50
1/12
10
1/3
0
50
1/3
1/4
10
1/12
0
0 10
50
2/3 P + 1/3 Q!
100
11!
Choix!
P = {100,1/2;0} vs. Q = {50,3/4;10}!
1/2
100
1/2
1/2
3/4
E(X)=50!
σ (X)=50!
Sk=0;!
Ku=1;!
0
0
50
0
100
3/4
E(X)=40!
σ (X)=17!
Sk=-1.15;!
Ku=2.33;!
1/4
1/4
10
0
0 10
50
100
12!
Un autre choix!
P = {96,0.9;14,0.05;12} vs. Q = {96,0.85;90,0.05;12}!
0.90
0.05
0.05
96
0.85
14
0.05
12
0.10
96
90
12
13!
… et le même choix!
0.90
0.95
1
96 au moins
0.85
14 au moins
0.90
12 au moins
1
96 au moins
90 au moins
12 au moins
14!
Comment évaluer des situations incertaines?!
- Pascal/ Fermat: Valeur espérée!
- !
!
Paradoxe de Saint Petersbourg (1713): prix pour la participation à une loterie!
!
!
!
1. Une pièce équilibrée est lancée.!
!
!
- D. Bernouilli (1738): utilité marginale décroissante (relation non linéaire entre
richesse et utilité).!
- Zzzzzz jusquʼà von Neumann (1928, and Morgenstern, 1944).!
2. Si pile apparaît au nth tirage, alors le paiement est 2n!
15!
Modéliser les choix!
Approche par les relations de preference"
1. Identifier lʼensemble de choix est ses propriétés structurelles.!
2a. Définir une relation binaire de base: la relation de préférence.!
2b. Définir des propriétés plus spécifiques pour cette relation.!
3. Poser et prouver un thérorème de représentation (pour obtenir une
fonction)!
Si les axiomes sont vérifiés!
La représentation est possible!
Si la représentation est vérifiée!
Les axiomes doivent être vérifiés!
Axiomes sont suffisant !
Axiomes sont nécessaires!
4. Conditions pour lʼunicité de la représentation.!
16!
!
!
Relation de Preference!
Comparison de paires dʼalternatives!
au moins aussi bon que
!
:!
!
(complétude)!
 la relation entre les paires est bien définie, “meditation”.!
(transitivité)!
 Impossible de cycler!
(complete) & (transitive): preference relation!
rational preference relation, weak order, complete preorder…!
 Peut être représentée par une fonction (Cantor, 1895) !
17!
Les axiomes: Ordre faible et continuité!
Le décideur a des préférences sur lʼensemble des loteries X.!
Axiomes de VnM :!
A1." Préordre total: la relation de préférence est rationnelle.!
A2." Continuité: !
Axiome Technique."
P: traverser la rue pour faire un achat.!
Q: ne pas traverser la rue (et ne pas faire lʼachat)!
R: être heurté par une voiture au milieu de la rue.!
-Prévenir lʼexistence de conséquences à effets infinis (enfer, paradis).!
18!
Les Axiomes: Independance!
A3. Independance"
Axiome comportemental"
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
: mélange de probabilités de P et C!
donne α fois la probabilité de P + (1-α) fois la probabilité de C !
pour chaque conséquence.!
- Remplacer un ingrédient de Q dans un mélange, par un meilleur ingrédient P
améliore le mélange.!
- Comparer deux paquets= comparer leur pieces individuelles.!
- La lotterie commune nʼa pas dʼimpact sur le choix.!
- Pas de complémentarités entre les évènements.!
19!
Théorème de von Neumann & Morgenstern!
satisfiait A1-A3, si et seulement, il existe ! !
!
!
tel que, pour tout!
:!
u est unique à une transformation affine près:!
- Fondé sur des préférences entre des distributions de probabilités.!
- Espérance en termes dʼutilité: !
- Le comportement est entièrement décrit par la fonction dʼutilité.!
- P FSD Q!
20!
Continuity!
If distributions do not have finite support, it is necessary to add a dominance axiom:!
A4. Dominance: "
If all outcomes of the distribution P are preferred to c, then P is prefered to the
degenerate distribution on c.!
If X is already ordered (e.g ), it is necessary to impose a monotonicity axiom to
ensures compatibility of orderings.!
A5. Monotonicity:"
21!
2. Applications"
22 Aversion au risque!
x
p
P:
1-p
y
Valeur actuarielle de P:!
Valeur espérée de la richesse:!
: aversion pour le risque!
: neutralité au risque!
: goût pour le risque!
23!
Représentation graphique!
u(E[P])
pu(x)+(1-p)u(y)=u(CE)
y
x
E[P]: px+(1-p)y
CE: u-1(pu(x)+(1-p)u(y))
Risk Premium"
24!
Aversion au risque et prime de risque (1/2)!
Avec une fonction croissance et deux fois dérivable, uʼʼ(W) peut servir dʼindice
dʼaversion au risque.!
Pb: dépend de toute transformation linéaire arbitraire de u
 Nécessaire de contrôler par u′(W).
Indice dʼaversion au risque (Arrow-Pratt index): r(W)=-uʼʼ(W)/uʼ(W)."
x
p
Pari actuariellement neutre (risque pur): E[G]=px-(1-p)y=0.!
La prime de risque!
!
!
!
!
!
!
!
1-p
est:!
!
!
G:
-y
!
=0
25!
Aversion au risque et prime de risque (2/2)!
Taylor:!
la richesse actuelle
est sûre!
G est actuariellement
neutre!
Partie
subjective!
Partie objective!
26!
3. Incertitude et probabilités inconnues "
27 Probabilités Subjectives!
Ramsey (1931), de Finetti (1937): des probabilités subjectives peuvent être dérivées
de choix observables.!
« Quand est ce que les croyances des individus sur les vraisemblances relatives des
évènements peuvent être considérées comme cohérentes avec la théorie des
probabilités? ».!
-1
E1
Les choix portent sur des paris sur des états de la nature.!
2
Le cheval i va gagner la course (evènement Ei).!
E2
La relation de préférence est sur les paris.!
D1. Weak order (complete and transitive).!
D2. Continue.!
En
-1
D3. Additive.!
D4. Monotone (prefer more to less).!
D5. Non triviale (au moins un des paris est préféré à un autre)
28!
).!
Théorème de de Finetti!
D3 Additivité"
Améliorer un événement améliore la somme.!
E1
-1
E1
2
E1
0
E1
3
E2
2
E2 -1
E2
3
E2
0
En
-1
En
-1
En
0
En
0
satisfait D1-D5, si et seulement si il existe un unique vecteur de probabilité p tel
que pour tout x, y in X:!
Maximisation de valeur espérée avec probabilité subjective.!
29!
4. Quelques exemples de choix"
30 Exemple 1!
Decision (1):!
89%
100%
1000, 000
10%
1%
1000, 000
5000, 000
0
Decision (2):!
11%
89%
1000, 000
10%
0
90%
5000, 000
0
31!
Paradoxe dʼAllais (1953)!
Decision (1):!
89%
10%
1%
1000, 000
1000, 000
1000, 000
89%
10%
1000, 000
5000, 000
0
1%
Decision (2):!
89%
10%
1%
0
1000, 000
1000, 000
89%
10%
1%
0
5000, 000
0
32!
Exemple 2!
Decision (1): est ce que vous préférez parier 100 sur rouge !
!
!
!
ou sur noir!
Decision (2): est ce que vous préférez parier 100 sur rouge ou jaune ou sur noir ou
jaune.!
Red Black Yellow f 100 0 0 g 0 100 0 f’ 100 0 100 g’ 0 100 100 33!
Paradoxe dʼEllsberg!
red
Decision (1):!
100
0
black
0
yellow
red
Decision (2):!
black
yellow
100
0
100
0
red
black
100
0
yellow
red
black
yellow
0
100
100
Violation de lʼindépendance!
Impossible dʼavoir une mesure de probabilité subjectives!
!
!
Decision (1): P(black)<P(red)=1/3!
Decision (2): P(red)+ P(yellow) < P(black) + P(yellow)=2/3.!
34!
5. Quelques prolongements"
35 Nouvelles approches!
Allais:!
!
!
!
!
 les individus sont sensibles à la certitude et à lʼimpossibilité.!
!
 Transformation de probabilités!
Ellsberg:! les individus sont averses à lʼambiguité.!
!
!
 croyances « multiples »!
!
!
 paris sur la composition de lʼurne!
!
!
 utilité à la Choquet.!
36!
Merci de votre attention"
37