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TSTMG1
DEVOIR A LA MAISON N°4
Une entreprise décide de fabriquer et commercialiser un produit. Sa capacité maximale de
production mensuelle est de 24 tonnes. Le coût en euros, d’une production mensuelle de x
tonnes est modélisé par la fonction C définie sur [ 0 ; 24] par : C(x) = x3 – 36x2 + 445x
Partie A : Etude du coût moyen
Le coût moyen de fabrication, noté CM, est donné en fonction de x par : CM(x) =
C(x)
x
1. Montrer que pour tout réel x de ]0 ; 24], CM(x) = x2 – 36x + 445
2. Calculer CM’(x)
3. Etudier le signe de CM’(x) et en déduire les variations de la fonction CM sur ]0 ; 24].
4. En déduire le coût moyen minimum, en euros par tonne.
Partie B - Étude du coût total et de la recette
Après une étude de marché, l’entreprise décide de vendre son produit 160 € la tonne. On admet
que tout produit fabriqué est vendu le mois de sa fabrication. On note R la fonction qui modélise
la recette, exprimée en euros , pour x tonnes de produit fabriqué et vendu.
On donne la courbe représentative de la fonction C sur [0 , 24] ci-dessous :
1. a. Donner l’ expression de R(x) en fonction de x.
b. Représenter la fonction R sur [0 ; 24] dans le repère ci-dessus. Justifier.
2 . Donner par lecture graphique :
a. la quantité de produit correspondant à un coût total de production de 2 000 €.
b. La quantité de produit que doit fabriquer et vendre l’entreprise pour réaliser un bénéfice.
PARTIE C : Etude du bénéfice
On note B la fonction qui modélise le bénéfice mensuel, exprimé d’euros, sur l’intervalle [0 ; 24].
1. Montrer que B(x) = - x3 + 36x2 – 285x pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 24]
2. Calculer B’(x) et étudier son signe sur [0 ; 24].
3. En déduire les variations de la fonction B sur [0 ; 24].
4. Quel est le bénéfice mensuel maximum que peut réaliser l’entreprise ? Pour quelle
production ?
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CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N°4
Partie A : Etude du coût moyen
1. Pour tout réel x de ]0 ; 24] :
C(x) x3 – 36x2 + 445x
x (x2 – 36x + 445)
CM(x) =
=
=
= x2 – 36x + 445
x
x
x
2. CM’(x) = 2x – 36
3. CM’ est une fonction affine avec a = 2 > 0
36
CM’(x) = 0
2x – 36 = 0 x = = 18
2
On en déduit donc le tableau de signe de CM’(x)
ainsi que le tableau de variation de CM suivant :
4. D’après le tableau de variation, la fonction CM admet un minimum égal à 121 sur ] 0 ; 24] donc
le coût moyen minimum est de 121 € par tonne de produit (pour 18 tonnes de produit fabriqué)
Partie B - Étude du coût total et de la recette
1. a. R(x) = 160x
b. La fonction R est une fonction linéaire. Sa
représentation graphique est la droite qui passe par
l’origine et, par exemple, le point A(10 ; 1 600) (car
R(10) = 1 600 )
2 . a. La quantité de produit correspondant à un coût
total de production de 2 000 € est de 16 tonnes
b. La droite représentant R est au dessus de la
courbe représentant C sur ] 11,8 ; 24]
L’entreprise doit fabriqué plus de 11,8 tonnes de
produit pour réaliser un bénéfice.
PARTIE C : Etude du bénéfice
1. Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 24]
B(x) = R(x) – C(x) = 160x – (x3 – 36x2 + 445x ) = 160x - x3 + 36x2 – 445x = - x3 + 36x2 – 285x
2. B’(x) = - 3x2 + 2 x 36x – 285 x 1 = - 3x2 + 72x – 285
B′(x) est un trinôme du second degré avec a = - 3 b = 72 et c = - 285
= 722 – 4 x (- 3) x (- 285) = 1764 > 0 donc le trinôme admet deux racines :
- 72 - 42
- 72 + 42
-b-b+
x1 =
=
= 19 et x2 =
=
=5
-6
-6
2a
2a
B’(x) est du signe de a = - 3 < 0 sauf entre ses racines
c'est-à-dire sur [ 5 ; 19]
3. On en déduit le tableau de variation suivant :
4. D’après le tableau de variation, B admet un
maximum de 722 sur [ 0 ; 24] atteint en 19.
Donc le bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise est de 722 € pour une production de 19
tonnes de produit.