GELE2511 Chapitre 4 : Transformée de Fourier

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GELE2511 Chapitre 4 :
Transformée de Fourier
Gabriel Cormier, Ph.D., ing.
Université de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM)
GELE2511 Chapitre 4
Hiver 2013
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Introduction
Contenu
Contenu
Définition de la transformée de Fourier
Convergence de la transformée de Fourier
Utilisation de la transformée de Laplace
Application
Théorème de Parseval
GELE2511 Chapitre 4
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Introduction
Introduction
Au chapitre précédent, on a vu comment on pouvait représenter une
fonction périodique par une somme de sinusoı̈des.
La transformée de Fourier permet de représenter en fréquence des
signaux qui ne sont pas périodiques.
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Introduction
Introduction
La transformée de Fourier est un cas spécial de la transformée de
Laplace.
En télécommunications, la transformée de Fourier est plus utile que la
transformée de Laplace.
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Dérivation de la transformée de Fourier
On peut obtenir la transformée de Fourier à partir de la série de
Fourier.
À partir de la définition de la série de Fourier, on va prendre un
signal, et rendre sa période infinie.
Rappel (série de Fourier) :
f (t) =
∞
X
Cn ejnω0 t
n=−∞
où
1
Cn =
T
Z
T /2
f (t)e−jnω0 t dt
−T /2
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On cherche une série de Fourier pour un signal apériodique.
Si on fait tendre la période T vers l’infini (T → ∞), on passe d’un
signal périodique à un signal apériodique.
On regarde alors les effets sur la série de Fourier.
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Si T augmente, la séparation entre les harmoniques devient de plus en
plus petite.
On passe donc d’un spectre qui est seulement définit à quelques
points à un spectre qui est continu (infinité d’harmoniques).
La différence entre deux points de la série de Fourier est :
∆ω = (n + 1)ω0 − nω0 = ω0
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Exemple
T=1
0.4
0.2
0.2
T
t
Le pulse dure 0.2s.
On augmente T
pour voir l’impact
sur la série de
Fourier.
0
0
2
4
6
Fréquence(Hz)
T=2
8
10
0
2
4
6
Fréquence(Hz)
T=4
8
10
0
2
4
6
Fréquence(Hz)
8
10
0.2
0.1
0
0.1
0.05
0
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La différence entre 2 harmoniques est tout simplement la fréquence
fondamentale.
Mais,
2π
T
Alors si T → ∞, la séparation entre les fréquences devient de plus en
plus petite, et devient dω.
ω0 =
On passe d’un spectre discret à un spectre continu.
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Au fur et à mesure que la période augmente,
nω0 → ω
Les coefficients de la série de Fourier deviendront de plus en plus
faibles : Cn → 0 lorsque T → ∞.
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Cependant, le produit Cn T ne devient pas nul :
Z ∞
Cn T =
f (t)e−jωt dt
−∞
Cette équation représente la transformée de Fourier.
Transformée de Fourier
Z
∞
F (ω) = F{f (t)} =
f (t)e−jωt dt
−∞
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Transformée inverse
La transformée inverse de Fourier :
Transformée inverse de Fourier
f (t) = F
−1
1
{F (ω)} =
2π
Z
∞
F (ω)ejωt dω
−∞
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Exemple
v(t)
Vm
Faire la transformée de Fourier
du pulse suivant.
−τ /2
τ /2
t
En appliquant directement l’équation :
Z τ /2
V (ω) =
Vm e−jωt dt
−τ /2
τ /2
e−jωt = Vm
−jω −τ /2
=
ωτ Vm
(−2j sin(ωτ /2)) = Vm τ sinc
jω
2
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Convergence
Pour que la transformée de Fourier existe, il faut que la fonction f (t)
converge.
Les pulses et exponentiels, très utilisés en génie électrique, sont des
intégrales qui converges.
Cependant, certains signaux intéressants, comme une constante ou
une sinusoı̈de, n’ont pas d’intégrale qui converge.
Dans ces cas, on fait un peu de gymnastique mathématique pour
obtenir la transformée de Fourier de ces signaux.
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Transformées fonctionnelles
Exemple : constante
Pour une constante A, son intégrale ne converge pas :
Z ∞
A dt = ∞
−∞
On fait alors l’approximation suivante : f (t) = Ae−||t . Si → 0, alors
f (t) → A.
1
e−0.2|t|
0.5
e−0.5|t|
e−|t|
0
−3
−2
−1
0
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1
2
3
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Exemple : constante (2)
La transformée de Fourier de f (t) est :
Z
0
t −jωt
Ae e
F (ω) =
Z
∞
dt +
−∞
Ae−t e−jωt dt
0
ce qui donne,
F (ω) =
A
A
2ω
+
= 2
− jω + jω
+ ω2
Et puis, on applique → 0 : ceci donne un pulse δ(ω). L’amplitude du
pulse est 2πA. La transformée de Fourier d’une constante est :
F(A) = 2πAδ(ω)
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Exemple : signum
sgn(t)
1
t
sgn(t) = u(t) − u(−t)
−1
Pour obtenir la transformée de Fourier de sgn(t), il faut aussi faire une
approximation.
sgn(t) = lim e−t u(t) − et u(−t) , > 0
→0
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Exemple : signum (2)
À partir de la définition de la série de Fourier,
Z 0
Z ∞
F (ω) = −
et e−jωt dt +
e−t e−jωt dt
=−
−∞
0
(−jω)t
e
− jω −
−∞
0
∞
−(+jω)t
e
+ jω =
0
−2jω
ω 2 + 2
On prend maintenant la limite → 0 :
F(sgn(t)) = lim
→0
−2jω
2
=
2
2
ω +
jω
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Exemple : échelon
Pour faire la transformée de Fourier d’un échelon, il faut réécrire la
définition :
u(t) = 0.5 + 0.5 sgn(t)
Alors,
F{u(t)} = F{0.5} + F{0.5 sgn(t)}
1
= πδ(ω) +
jω
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Utilisation de Laplace
Utilisation de la transformée de Laplace
On peut utiliser la transformée de Laplace pour calculer la transformée de
Fourier, selon quelques règles de base :
Les pôles de la transformée de Laplace doivent être ≤ 0, et réels.
Si f (t) = 0 pour t < 0, la transformée de Fourier est obtenue en
remplaçant s par jω.
Si f (t) = 0 pour t > 0, la transformée de Fourier est obtenue en
faisant la transformée de Laplace de f (−t), puis en remplaçant s par
−jω.
Si la fonction est non nulle pour tout t, on calcule 2 transformées :
une pour t > 0, et une pour t < 0.
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Exemple
Calculer la transformée de Fourier de : e−at cos(ω0 t) u(t)
La transformée de Laplace de cette fonction est :
F (s) =
s+a
(s + a)2 + ω02
Les pôles de cette fonction sont négatifs et réels, et f (t) = 0 pour t < 0.
On remplace alors s = jω :
F (ω) =
jω + a
(jω + a)2 + ω02
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Exemple
Calculer la transformée de Fourier de : eat cos(ω0 t) u(−t)
Puisque f (t) = 0 pour t > 0, on calcule f (−t) :
f (−t) = e−at cos(ω0 t) u(t)
La transformée de Laplace de cette fonction est :
F (s) =
s+a
(s + a)2 + ω02
Les pôles de cette fonction sont négatifs et réels. On remplace alors
s = −jω :
−jω + a
F (ω) =
(−jω + a)2 + ω02
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Transformée opérationnelles
Transformées opérationnelles
Comme la transformée de Laplace, la transformée de Fourier possède
elle aussi des transformées opérationnelles.
Les transformées opérationnelles indiquent comment des opérations
effectuées sur f (t) ou F (ω) vont affecter l’autre domaine.
Ces transformées permettent de simplifier le calcul des transformées
de Fourier.
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Multiplication par une constante
Si la transformée de Fourier de f (t) est F (ω), alors,
F{Kf (t)} = KF (ω)
On multiplie F (ω) par la même constante.
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Addition (soustraction)
Si on a
F{f1 (t)} = F1 (ω)
F{f2 (t)} = F2 (ω)
F{f3 (t)} = F3 (ω)
alors
F{f1 (t) + f2 (t) − f3 (t)} = F1 (ω) + F2 (ω) − F3 (ω)
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Dérivée
Pour une dérivée :
F
df (t)
dt
= jωF (ω)
De façon générale,
F
dn f (t)
dtn
= (jω)n F (ω)
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Intégrale
Pour une intégrale :
Z
t
f (t) dt
F
=
0
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F (ω)
jω
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Translation
Dans le temps :
F{f (t − a)} = e−jωa F (ω),
a>0
En fréquence :
F{e−jω0 t f (t)} = F (ω − ω0 )
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Échelonnage
Si le temps est compressé ou étiré :
F{f (at)} =
1 ω ,
F
a
a
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a>0
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Convolution
La convolution est simplifiée :
F{h(t) ∗ x(t)} = H(ω)X(ω)
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Modulation
La modulation en amplitude est le processus de faire varier l’amplitude
d’un signal f (t) avec une sinusoı̈de cos(ω0 t).
F{f (t) cos(ω0 t)} = 0.5F (ω − ω0 ) + 0.5F (ω + ω0 )
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Dualité
Si F (ω) est la transformée de Fourier de f (t), alors la transformée de
Fourier de F (t) est 2πf (−ω) :
F
F
F (t) ↔ 2πf (−ω) si f (t) ↔ F (ω)
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Exemple
En télécommunications, il est très commun de multiplier deux sinusoı̈des,
tels que
g1 (t) = 2 cos(200t)
g2 (t) = 5 cos(3000t)
pour obtenir un signal modulé
g3 (t) = g1 (t)g2 (t) = 10 cos(200t) cos(3000t)
Calculer le spectre du signal modulé.
On va utiliser la propriété de modulation. On choisit f (t) = 10 cos(200t).
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Exemple (2)
On calcule la transformée de Fourier de f (t) :
F{f (t)} = 10π(δ(ω + 200) + δ(ω − 200))
Puis on applique la propriété de modulation :
F (ω) = 10(0.5)π(δ(ω + 200 − 3000) + δ(ω + 200 + 3000)
+ δ(ω − 200 + 3000) + δ(ω − 200 − 3000))
= 5π (δ(ω − 3200) + δ(ω − 2800) + δ(ω + 2800) + δ(ω + 3200))
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Exemple(3)
Le spectre :
15
10
5
0
−3,000 −2,000 −1,000
0
1,000
2,000
3,000
Fréquence (rad/s)
Les composantes sont à ±(f1 ± f2 ).
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Le théorème de Parseval permet de faire le lien entre l’énergie d’un
signal dans le temps et l’énergie en fonction de la fréquence.
Puisque la fréquence et le temps sont 2 domaines qui permettent de
décrire complètement un signal, il faut que l’énergie totale soit la
même dans les deux domaines.
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Z ∞
Z ∞
Z
1
1 ∞
2
2
f (t) dt =
|F (ω)| dω =
|F (ω)|2 dω
2π −∞
π 0
−∞
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Exemple
Le courant dans une résistance de 40 Ω est i(t) = 20e−2t u(t)A. Quel
pourcentage de l’énergie
totale dissipée dans la résistance provient de la
√
bande 0 < ω < 2 3 rad/s ?
L’énergie totale dissipée est :
Z ∞
Z
2
W =R
i (t) dt = 40
0
∞
400e−4t dt = 4000 J
0
On peut le calculer par la série de Fourier.
F (ω) =
20
2 + jω
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Exemple (2)
L’amplitude de la série de Fourier est :
|F (ω)| = √
20
4 + ω2
et l’énergie totale est :
40
W =
π
Z
∞
0
400
16000
dω =
2
4+ω
π
1
ω
tan−1
2
2
GELE2511 Chapitre 4
∞
= 4000 J
0
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Exemple
√
L’énergie dans la bande 0 < ω < 2 3 rad/s est :
40
Wx =
π
Z
√
2 3
0
√
400
16000
dω =
2
4+ω
π
1
ω
tan−1
2
2
2
3
= 2666.67 J
0
Le pourcentage de l’énergie totale dans cette bande est :
2666.67
= 66.67%
4000
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Densité spectrale
Densité spectrale d’énergie
La densité spectrale d’énergie est une mesure de la distribution
d’énergie d’un signal en fonction de la fréquence.
On la calcule selon :
Ef =
1
1
|F (ω)|2 = F (ω)F (ω)∗
π
π
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41 / 50
Densité spectrale
Densité spectrale de puissance
La densité spectrale de puissance est une mesure de la distribution de
puissance d’un signal en fonction de la fréquence.
S’applique aux signaux périodiques.
On la calcule selon :
Pf (ω) = lim
T →∞
1
|FT (ω)|2
T
où FT est la transformée de Fourier d’une période du signal.
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Densité spectrale
Puissance d’un signal
La puissance d’un signal peut être calculée à partir de la transformée
de Fourier :
∞
1 X
1
|F (nω0 )|2
P = 2 |F (0)|2 + 2
4π
2π
n=1
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43 / 50
Signaux périodiques
Transformée de Fourier d’un signal périodique
On peut faire la transformée de Fourier d’un signal périodique.
Rappel : la série de Fourier d’une fonction périodique est :
∞
X
f (t) =
Cn ejnω0 t
n=−∞
où
1
Cn =
T
Z
f (t)e−jnω0 t dt
T
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44 / 50
On applique la définition de la série de Fourier à la transformée de
Fourier :
!
Z ∞
∞
X
Cn ejnω0 t e−jωt dt
F (ω) =
−∞
=
∞
X
n=−∞
n=−∞
Z
∞
Cn
ejnω0 t e−jωt dt
−∞
À l’aide de la propriété de linéarité, on obtient :
( ∞
)
∞
X
X
jnω0 t
F
Cn e
= 2π
Cn δ(ω − nω0 )
n=−∞
n=−∞
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Le spectre d’un signal périodique est une série d’impulsions qui se
trouvent à des multiples de la fréquence fondamentale.
L’amplitude de chaque impulsion est le coefficient de la série de
Fourier multiplié par 2π.
GELE2511 Chapitre 4
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46 / 50
On peut réarranger l’expression de la transformée de Fourier d’un
signal périodique sous une autre forme :
F (ω) =
∞
X
ω0 G(nω0 )δ(ω − nω0 )
n=−∞
où G(ω) est la transformée de Fourier d’une période du signal.
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47 / 50
Exemple
v(t)
A
Faire la transformée de Fourier
du signal périodique suivant.
−T0
− T2
T
2
t
T0
Le signal g(t) est une période de v(t) :
g(t)
A
− T2
T
2
La transformée de
Fourier de g(t) est :
t
G(ω) = AT sinc(T ω/2)
La transformée de Fourier de v(t) est :
F (ω) =
∞
X
AT ω0 sinc(nω0 T /2)δ(ω − nω0 )
n=−∞
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48 / 50
Exemple (2)
Le spectre (si A = 1, T = 0.5s, T0 = 8s) :
0.4
0.2
0
−15
−10
−5
0
5
10
15
Fréquence (rad/s)
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Conclusion
Conclusion
Les points clés de ce chapitre sont :
Calcul de la transformée de Fourier.
Utilisation des propriétés de la transformée de Fourier.
Calcul de la transformée de Fourier de signaux périodiques.
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