1 Convergence simple (ou en tout point) 2 Convergence uniforme

ENS de Cachan
2012-2013
L3 Phytem
Outils mathématiques
TD no 1
Rappels sur la convergence.
Extrait du livre de Hubert KRIVINE : "Exercices de mathématiques pour les physiciens corrigés et commentés", édition CASSINI, 2003.
1
Convergence simple (ou en tout point)
Pour tout x fixé, fn (x) est une suite numérique. La convergence simple en tout point signifie que toutes les
suites numériques fn (x) convergent quand n → ∞ vers une limite qui en général dépend de x et qu’on appelle
donc f (x). On parle de "‘limite simple"’ de fn . Plus précisemment on peut, pour chaque x, rendre |fn (x) − f (x)|
arbitrairement petit. Plus précisemment encore, x étant donné, pour tout ε > 0 il existe un N tel que pour tout
n > N , |fn (x) − f (x)| < ε. En général, N dépend de ε, mais aussi de x. Intuitivement, plus ε est petit, plus N
devra être grand.
Démontrer la convergence, c’est se donner x et ε (arbitrairement petit) puis trouver un N correspondant.
Exercice 1.
1. Déterminer la limite simple quand n → ∞ de la suite de fonctions :
nx
.
fn (x) =
1 + nx
2. Donner l’allure des fonctions :
un (x) =
1
,
1 + xn
pour x ≥ 0 et n = 1, 4 et 100 par exemple.
Quelle est la limite simple de cette suite de fonctions quand n → ∞ ?
2
Convergence uniforme
On pourrait croire qu’au lieu de chercher pour chaque x, un N (x) qui rende |fn (x) − f (x)| aribitrairement
petit, il est équivalent de chercher un seul N qui rende supx |fn (x) − f (x)| arbitrairement petit (convergence
uniforme). On remplacerait ainsi la convergence d’une infinité de suites numériques |fn (x) − f (x)| vers 0 par la
convergence d’une seule : supx |fn (x) − f (x)|. L’idée serait que si les |fn (x) − f (x)| tendent vers 0, alors leur sup
aussi. Or cette idée n’est vraie a priori que pour un ensemble fini de nombres. Bien sûr, si supx |fn (x) − f (x)| →
0, alors, pour tout x les |fn (x) − f (x)| tendent vers 0, mais la réciproque est fausse. En d’autres termes, la
convergence uniforme implique la convergence simple, mais l’inverse est faux.
Théorème 1. Quand une suite de fonctions continues converge uniformément, la limite est une fonction
continue.
Notons enfin que le domaine sur lequel il y a convergence uniforme est crucial : on peut, par exemple, avoir
convergence uniforme sur [0, η] pour tout η < 1 fixé arbitrairement voisin de 1, mais pas sur [0, 1[.
Par exemple, xn tend vers 0 uniformément sur [0, η], pas sur [0, 1[.
Exercice 2. Le pavé glissant : Soit un (x) la suite de fonctions définie pour x ≥ 0 par
un (x) = 1 si n < x < n + 1 et 0 ailleurs.
A-t-elle une limite quand n → ∞ ? En quel sens ?
Exercice 3. Les suites de l’exercice 1 sont-elles uniformément convergentes ?
Exercice 4. Soit un (x) la suite de fonctions définies pour tout x par :
 2
 n x pour 0 < x ≤ n1
n(2 − nx) pour n1 < x <
un (x) =

0 ailleurs
2
n
Montrer qu’elle tend simplement vers 0 pour tout x, mais que la convergence n’est pas uniforme.
Exercice 5. Paradoxe de Gibbs : Soit S(x) la fonction impaire, périodique de période T = 2π et valant
sur l’intervalle (0, π).
π
4
1. Donner son développement en série de Fourier réelle.
(a) En déduire :
∞
X
π
(−1)n
= .
2n
+
1
4
n=0
(b) Retrouver ce résultat avec le développement en série entière de arctan x.
(c) En déduire également que
∞
X
1
π2
=
.
(2n + 1)2
8
n=0
2. On pose
SN (x) =
N
X
sin(2n + 1)x
.
2n + 1
n=0
(N )
0
Calculer SN
(x) ainsi que xm , valeur du premier maximum de SN (x) sur (0, π).
3. En utilisant le fait que
x
Z
0
SN
(t)dt,
SN (x) =
0
sin x
(N )
sur (0, π), montrer que SN (xm ) est toujours supérieur à un nombre strictement
et une minoration de
x
π
supérieur à
et indépendant de N .
4
4. Où est le paradoxe ? Comment l’expliquer ?
3
Convergence en moyenne
Les fonctions fn et f étant intégrables sur la droite réelle, on dit que fn (x) tend vers f (x) en moyenne si
+∞
Z
|fn (x) − f (x)|dx tend vers 0.
−∞
Et comme :
Z
+∞
+∞
Z
(fn (x) − f (x))dx ≤
−∞
|fn (x) − f (x)|dx,
−∞
la convergence en moyenne implique que :
Z +∞
+∞
Z
fn (x)dx →
−∞
f (x)dx.
−∞
Elle permet donc de "passer à la limite sous le signe somme".
Si on pend l’exemple de l’exercice 2 (le pavé glissant) : au sens de la convergence en tout point, lim un (x) =
n→∞
u(x) = 0, et donc :
Z
+∞
Z
+∞
lim un (x)dx =
−∞ n→∞
Z
u(x)dx = 0,
−∞
+∞
mais clairement, quel que soit n,
un (x)dx = 1 (surface du pavé), donc
−∞
Z
+∞
lim
n→∞
un (x)dx = lim 1 = 1.
−∞
n→∞
On voit bien ici que la limite de l’intégrale, 1, est différente de l’intégrale de la limite, 0.
La convergence simple n’entraîne donc pas la convergence en moyenne.
Exercice 6. Y-a-t-il convergence en moyenne de la suite de fonctions définie à l’exercice 4 ?
3.1
Théorème de convergence dominée
La passage à la limite sous le signe somme peut-être examiné directement (comme dans les exercices précédents) ou à l’aide de deux théorèmes.
Le premier, à peu près évident, affirme que si les fn (x) sont intégrables et si fn (x) tend vers f (x) uniformément
sur un segment [a, b], ce passage est justifié.
Mais souvent, on doit intégrer sur un intervalle non borné. Il peut aussi ne pas y avoir convergence uniforme. Il
est alors très utile de connaître le théorème de convergence dominée ou théorème de Lebesgue :
Théorème 2. Si une suite de fonctions fn (x) intégrables tend simplement vers une fonction f (x) et s’il existe
une fonction intégrable fixe g(x) telle que |fn (x)| ≤ g(x), alors f (x) est intégrable et
Z +∞
Z +∞
Z +∞
fn (x)dx =
lim fn (x)dx =
f (x)dx.
lim
n→∞
−∞ n→∞
−∞
−∞
Par fonction fixe, on entend une fonction qui ne dépend pas de n.
Par exemple on ne pourrait pas trouver une fonction fixe intégrable qui majorerait sur la droite réelle R les
"‘pavés glissants"’ de l’exercice 2 : la fonction g(x) = 1 est bien majorante et indépendante de n, mais elle n’est
pas intégrable et il n’y en a pas de plus petite, car toute fonction majorante des pavés est partout supérieure à
1.
x n
si 0 < x < n et 0 ailleurs.
Exercice 7. Soit la suite de fonctions qui vaut 1 −
n
1. Quelle est sa limite quand n → ∞ ?
2. Montrer la convergence en moyenne directement, puis par le théorème de convergence dominée.
n
√
x2
3. Que se passe-t-il avec la suite de fonctions qui vaut 1 −
si 0 < x < n et 0 ailleurs ?
n
Remarque 1. Le théorème de convergence dominée ne s’applique pas en fait à l’intégrale de Riemann, mais à
l’intégrale de Lebesgue (que nous définirons en cours). Quand les deux intégrales existent, elles coïncident. Mais,
pour des fonctions "‘très"’ discontinues (par exemple la fonction qui vaudrait 1 sur les rationnels et 0 ailleurs),
seule l’intégrale de Lebesgue existe. En ce sens seulement, on peut dire que l’intégrale de Lebesgue généralise
celle de Riemann.
Mais inversement, la notion de semi-convergence n’existe pas avec l’intégrale de Lebesgue : f (x) est intégrable
si et seulement si |f (x)| est intégrable.
Z +∞
sin x
Par exemple,
dx a un sens pour Riemann, mais pas pour Lebesgue.
x
−∞
Pour les mathématiciens, f est intégrable (f ∈ L1 ) signifie "‘intégrable au sens de Lebesgue"’. Ils diront que
Z +∞
sin x
sin x
l’intégrale
dx est convergente, mais refuseront de dire que
est une fonction intégrable. En
x
x
0
sin x
revanche, la plupart des physiciens diront que
est intégrable, mais pas absolument intégrable.
x
Du point de vue pratique, on n’appliquera le théorème de convergence dominée que lorsque l’intégrale converge
absolument.
Enfin, la convergence simple de fn (x) vers f (x) dont on a besoin pour appliquer le théorème peut n’avoir lieu
que "‘presque partout"’ (notion que nous développerons en cours), c’est-à-dire sauf sur un ensemble de mesure
nulle.
3.2
Convergence d’intégrales. Intégrales simples
Cette étude sert en particulier, à préparer les exercices sur les distributions que nous étudierons dans le
cours.
Exercice 8. On considère la suite (au sens large, l’indice étant un réel) de fonctions définies pour tout x par
fε (x) =
ε
1
.
2
π ε + x2
1. Cette suite a-t-elle une limite quand ε → ?
Z +∞
2. Y-a-t-il une limite à
fε (x)dx ?
−∞
Z
+∞
Exercice 9. L’intégrale
−∞
optique notamment).
1. Montrer sa convergence.
sin x
dx joue un rôle important en mathématiques et aussi en physique (en
x
2. On admettra que :
Z
+∞
−∞
sin x
dx = π.
x
Ce résultat sera démontré ultérieurement en utilisant la théorie des fonctions complexes de variable complexe.
1 sin λx
Existe-t-il une limite, quand λ → ∞ de la suite de fonctions fλ (x) =
? Et à son intégrale ?
π x
3.3
Convergence d’intégrales. Intégrales doubles
Remarque 2. Il n’y a pas d’intégrale multiple semi-convergente.
Exercice 10.
1. Dessiner la fonction y = cos x2 . Montrer que l’intégrale de Fresnel :
Z ∞
cos x2 dx
I=
0
est semi-convergente.
Cette intégrale intervient dans des problèmes de diffraction où l’observation se fait à distance finie de la
pupille.
On admettra que
√
Z ∞
Z ∞
2π
2
2
sin x dx =
cos x dx =
I=
.
4
0
0
Nous le démontrerons ultérieurement par intégration dans le plan complexe.
2. Calculer la limite quand L → ∞ de
Z Z
EL =
cos(x2 + y 2 )dxdy,
QL
où QL est le domaine limité par le carré de côté L, placé sur les axes Ox et Oy dans le premier quadrant.
3. Calculer la limite quand R → ∞ de
Z Z
cos(x2 + y 2 )dxdy,
IR =
DR
où DR est le domaine limité par le quart de cercle de rayon R centré à l’origine et situé dans le premier
quadrant.
4. Que peut-on en déduire pour
Z Z
cos(x2 + y 2 )dxdy,
D
où D est le premier quadrant tout entier ?