GELE4011 - Chapitre 4

Chapitre
4
Génération de signaux
Dans le design de systèmes électroniques, il est souvent nécessaire d’avoir des signaux
de forme spécifique, que ce soit une onde triangulaire, carrée, sinusoı̈dale, ou autre. On
peut penser plus spécifiquement à un signal d’horloge, utilisé très souvent pour contrôler
plusieurs différent circuits.
On étudiera deux sortes de circuits : ceux avec du feedback positif utilisé pour créer
des ondes sinusoı̈dales, et des circuits multivibrateurs, pour créer des ondes triangulaires
et rectangulaires.
4.1
Principes de base
On étudiera ici les principes de base des oscillateurs sinusoı̈daux. Un oscillateur est
un circuit non-linéaire, bien qu’on appelle les types de circuits étudiés ici des oscillateurs
linéaires.
La structure générale d’un oscillateur est donnée dans la figure 4.1. Il faut noter que
dans un circuit pratique qu’il n’y a pas d’entrée ; on utilise xi seulement pour démontrer
le principe d’opération.
Le gain en boucle fermée (gain avec feedback) de ce circuit est donc
Af (s) =
A(s)
1 − A(s)B(s)
(4.1)
On définit le gain de la boucle par :
L(s) ≡ A(s)B(s)
1
(4.2)
CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
xi
+
+
A
xo
B
Figure 4.1 – Structure générale d’un oscillateur
L’équation caractéristique est donc
1 − L(s) = 0
(4.3)
Critère d’oscillation
Si à une fréquence f0 le gain AB devient égal à 1, selon l’équation 4.1 le gain en boucle
fermé est infini. En d’autre mots, à cette fréquence, le circuit aura une sortie finie sans
signal à l’entrée (ce qui est la définition d’un oscillateur). Le critère d’oscillation (où le
circuit va osciller) est :
L(jω0 ) ≡ A(jω0 )B(jω0 ) = 1
(4.4)
C’est-à-dire, à ω0 , la phase du gain est 0 et l’amplitude est 1. On appelle ceci le critère de
Barkhausen.
Pour osciller à une seule fréquence ω0 , le critère doit être satisfait à une seule fréquence,
sinon le signal de sortie n’est pas une sinusoı̈de simple.
Contrôle de l’amplitude
Si on design un oscillateur pour que AB = 1 et ω = ω0 et qu’ensuite les paramètres physiques changent (par exemple, variation de température), on peut perdre de l’amplitude
et même l’oscillation. Il faut donc utiliser un circuit non-linéaire qui corrige.
On design le circuit pour que AB > 1 pour commencer les oscillations. Lorsque les
oscillations sont assez élevées, le circuit non-linéaire contrôle l’amplitude. De même, si
l’amplitude diminue, le circuit compense cette perte.
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
4.2
Oscillateur sinusoı̈dal à ampli-op
Dans cette section, on donnera quelques exemples de circuits à ampli-op qui produisent des signaux sinusoı̈daux.
Oscillateur de Wein
Le circuit pour l’oscillateur de Wein est donné dans la figure 4.2. C’est un des oscillateur les plus simples à réaliser.
R2
R1
−
vo
+
C
R
Zp
C
R
Zr
Figure 4.2 – Oscillateur de Wein
Pour ce circuit,
#
Zp
R2
L(s) = 1 +
R1 Zp + Zr
"
Si on calcule,
L(jω) =
2
1+ R
R1
1
3 + j ωCR − ωCR
Selon le critère de Barkhausen, la phase doit être nulle, donc
1
1
ωCR −
= 0 ⇒ ω0 =
ωCR
CR
L’amplitude doit être 1,
2
1+ R
R
R1
=1⇒ 2 =2
3
R1
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3
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
Phase-shift oscillator
L’oscillateur à déphasage est montré à la figure 4.3.
C
−
C
C
vo
+
R
R
R
Figure 4.3 – Phase-shift oscillator
La fréquence d’oscillation est donnée par l’équation 4.9.
ω0 = √
4.3
1
(4.9)
6RC
Oscillateurs LC
Il y a deux oscillateurs à transistor principaux utilisés pour produire des signaux sinusoı̈daux : l’oscillateur Colpitts et l’oscillateur Hartley.
Oscillateur Colpitts
Le circuit de l’oscillateur Colpitts est montré à la figure 4.4.
C1
R
L
C2
Figure 4.4 – Oscillateur Colpitts
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
Pour l’oscillateur Colpitts, la fréquence d’oscillation est :
1
ω0 = s
C1 C2
L
C1 + C2
(4.10)
!
Oscillateur Hartley
Le circuit de l’oscillateur Hartley est montré à la figure 4.5, et ressemble beaucoup à
l’oscillateur Colpitts.
L1
R
C
L2
Figure 4.5 – Oscillateur Hartley
Pour l’oscillateur Hartley, la fréquence d’oscillation est :
1
ω0 = p
(L1 + L2 )C
(4.11)
Analyse de l’oscillateur Colpitts
Pour analyser le circuit de l’oscillateur Colpitts et démontrer la fréquence d’oscillation,
on utilise le modèle π (simplifié) du circuit (figure 4.6).
Quelques simplifications ont été faites dans ce circuit :
1. Néglige Cµ (ou Cgd pour un FET).
2. Cπ est compris dans C2 .
3. rπ est négligé ; on suppose que rπ >>
1
ωC2 .
4. La résistance R inclut ro .
Pour analyser le circuit, il faut trouver le gain du circuit et le mettre égal à 1 pour obtenir une équation, et ensuite utiliser le critère de Barkhausen pour trouver la fréquence.
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
L
C
+
C2
vπ
gm v π
R
C1
−
Figure 4.6 – Modèle π de l’oscillateur Colpitts
Une autre technique consiste à analyser le circuit et éliminer toute les variables de tension
et courant, et obtenir une équation qui gouverne le circuit.
Au collecteur (noeud C), la somme des courants est :
1
+ sC1 (1 + s2 LC2 )Vπ = 0
sC2 Vπ + gm Vπ +
R
(4.12)
Puisque Vπ , 0 (les oscillations ont débuté), on peut l’éliminer de l’équation et obtenir :
1
3
2 LC2
s LC1 C2 + s
+ s(C1 + C2 ) + gm +
=0
(4.13)
R
R
On remplace s = jω,
!
1 ω2 LC2
+ j[ω(C1 + C2 ) − ω3 LC1 C2 ] = 0
gm + −
R
R
(4.14)
Pour que les oscillations commencent, il faut que les parties réelles et imaginaires
soient égales à zéro. Si on met la partie imaginaire égale à zéro on obtient la fréquence
d’oscillation :
1
ω0 = s
(4.15)
!
C1 C2
L
C1 + C2
Si on met la partie réelle égale à zéro,
C2
= gm R
C1
(4.16)
Pour que les oscillations soient continues, le gain de la base au collecteur (gm R) doit
être égal à l’inverse du rapport de tension du diviseur,
veb C1
=
vce C2
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(4.17)
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
Pour commencer les oscillations, le gain de la boucle doit être plus grand que zéro, ou
gm R >
C2
C1
(4.18)
Note : Cette analyse n’est valide qu’à de basses fréquences, car on a ignoré plusieurs
éléments parasites du transistor.
On peut faire une analyse semblable pour l’oscillateur Hartley.
Oscillateurs à cristaux
Les cristaux piézoélectriques 1 , comme le quartz, ont des caractéristiques de résonance
très stables (par rapport au temps et la température). La figure 4.7 montre le symbole et
le circuit équivalent pour le crystal piézoélectrique.
L
⇒
Cp
Cs
r
Figure 4.7 – Modèle d’un crystal piézoélectrique
Les paramètres typiques sont les suivants :
• L est de l’ordre de centaines de Henry.
• Cs est très faible, aussi faible que 0.5fF.
• r représente un facteur de qualité qui peut être très élevé (100,000+).
• Cp est de l’ordre du pF.
Il y deux fréquences de résonance, soit ωp et ωs . Souvent,
ω0 ≈ √
1
= ωs
LCs
(4.19)
1. Les matériaux piézoélectriques génèrent une charge électrique lorsqu’ils sont déformés mechaniquement.
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
4.4
Multivibrateurs bi-stables
Un multivibrateur a deux états stables. Le circuit peut être dans l’un de ces états
indéfiniment, et change seulement si activé. On fera l’analyse avec un premier circuit
(figure 4.8).
vi
−
vo
+
R2
R1
Figure 4.8 – Multivibrateur
On remarque qu’il y a du feedback positif à ce circuit. Pour commencer l’analyse, on
suppose que vo = Vsat+ . Donc
!
R1
vp =
v
(4.20)
R1 + R2 o
Si vn < vp (vi < vp ), la sortie ne changera pas. Par contre, si vn > vp , la sortie changera, et
donc vo = Vsat− . Ceci nous donne la figure 4.9. La tension à laquelle vo change de Vsat+ à
Vsat− est appelée vT H .
vo
vT H
vi
Figure 4.9 – Caractéristique vo − vi
On reprend l’analyse, cette fois en supposant que vo = Vsat− . Si vn > vp , la sortie ne
change pas. On a la même équation qu’auparavant,
!
!
R1
R1
vp =
v =
V
(4.21)
R1 + R2 o
R1 + R2 sat−
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
Lorsque vn < vp , la sortie change. La tension à laquelle vo change de Vsat− à Vsat+ est
appelée vT L . On obtient alors la caractéristique de sortie de la figure 4.10.
vo
vT L
vi
Figure 4.10 – Caractéristique vo − vi
Si on combine les deux courbes, on obtient la caractéristique globale suivante.
vo
vT L
vT H
vi
Figure 4.11 – Caractéristique vo − vi globale du multivibrateur
On peut considérer ce circuit comme un élément de mémoire. En effet, pour une entrée
vT L < vi < vT H , la sortie est Vsat+ ou Vsat− , selon l’état présent du circuit. Il faut aussi remarquer que c’est un circuit inversant, c’est-à-dire que la sortie est dans l’état négatif si
l’entrée est positive (et plus grande que vT H ). La caractéristique globale est aussi de type
hystérésis.
Multivibrateur avec sortie non-inversante
On peut aussi créer un circuit avec courbe hystérésis avec sortie non-inversante. On
considère le circuit de la figure 4.12.
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
−
vo
+
R1
R2
vi
Figure 4.12 – Multivibrateur non-inversant
La tension vp est
R1
R2
vi +
v
(4.22)
R1 + R2
R1 + R2 o
Selon cette équation, si vo = Vsat+ , des valeurs positives de vi n’auront aucun effet sur la
sortie. Pour inverser la sortie, vi doit diminuer de sorte que vp < 0. Donc
!
R1
vT L = −Vsat+
(4.23)
R2
vp =
Une même analyse peut être faite pour obtenir une équation similaire dans le cas où
vo = Vsat− .
La caractéristique globale de ce circuit est donnée à la figure 4.13.
vo
vT L
vT H
vi
Figure 4.13 – Caractéristique vO − vI globale du multivibrateur non-inversant
Application d’un circuit bistable comme comparateur
Un exemple d’application d’un circuit bistable est comme détecteur de niveau dans un
convertisseur analogique-numérique (figure 4.14).
Cependant, avec du bruit, il peut y avoir des erreurs (figure 4.15).
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
1
0.5
t
0
−0.5
−1
1
0.5
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
−0.5
−1
Figure 4.14 – Convertisseur A/N
1
t
0
−1
1
0.5
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
−0.5
−1
Figure 4.15 – Conversion de données avec des erreurs
Par contre, si on utilise un convertisseur avec un circuit bistable, on peut éliminer les
erreurs, mais cela introduit un délai dans la conversion (figure 4.16).
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
t
0.2
0
−0.2
1
0.5
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
−0.5
−1
Figure 4.16 – Conversion de données, avec hystétésis
4.5
Génération d’ondes carrées et triangulaires
Pour produire une onde carrée, on peut utiliser un circuit astable.
Soit le circuit de la figure 4.17. Remarquer qu’il y a du feedback sur la borne + et la
borne −, alors on ne peut pas dire vn = vp .
1kΩ
12V
−
vo
1µF
+
2kΩ
−12V
1kΩ
Figure 4.17 – Oscillateur
Puisqu’il y a du feedback sur la borne positive, on doit analyser cas par cas. Il y a deux
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12
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
possibilités : soit vo = Vsat+ (lorsque vp > vn ) ou vo = Vsat− (lorsque vn > vp ).
1. Si vn < vp , alors vo = +12V. On a les deux circuits suivants.
vo = 12V
vo = 12V
2kΩ
1kΩ
vp
Circuit 1
vn
Circuit 2
1µF
1kΩ
Figure 4.18 – Deux circuits sous étude pour le multivibrateur
Dans le cas du circuit 1,
1
12 = 4 V
vp =
1+2
2. Si vn > vp , alors vo = -12V. On a les même deux circuits.
1
vp =
− 12 = −4 V
1+2
Cas 1
On utilise le circuit 2 maintenant. Le condensateur C se charge pour atteindre +12V,
mais lorsque vn > vp la sortie s’inverse et le condensateur se décharge pour atteindre -12V.
On obtient la forme d’onde suivante.
12
vo
8
vc
4
0
t
t1
t2
−4
−8
−12
Figure 4.19 – Oscillateur - Forme d’onde
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
Il faut maintenant trouver la période. On a un circuit RC. Alors,
t
v(t) = v∞ − (v∞ − v0 )e− τ
Si on se sert du premier cycle, v∞ = +12V, v0 = −4V, v(t1 ) = +4V,
t1
4 = 12 − (12 − (−4))e− RC
t1
8 = 16e− RC
ln 0.5 = −
t1
RC
On obtient,
t1 = RC ln 2 = 693µs
Pour calculer la fréquence, on a besoin de t1 et t2 . Puisque le circuit est symétrique (par
rapport à vp et vn ), t1 = t2 . Donc,
f =
1
1
=
= 721.3 Hz
t1 + t2 2t1
Cas général
Dans le cas général, selon le circuit 4.20, si Vsat+ = Vsat− , alors la période d’oscillation
est donnée par l’équation 4.24.
R
12V
−
vo
C
+
R2
−12V
R1
Figure 4.20 – Circuit astable
!
R1
T = 2τ ln 2 + 1
R2
Gabriel Cormier
14
(4.24)
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
4.5.1
Onde triangulaire
Pour générer une onde triangulaire, on peut utiliser le circuit de la figure 4.21.
R
C
R2
R1
−
+
v1
+
vo
−
Figure 4.21 – Générateur d’onde triangulaire
La tension v1 est de forme triangulaire tandis que la tension vo est une onde carrée.
Pour analyser ce circuit, on commence en premier en regardant la fonction de chaque
étage : l’étage 1 est un intégrateur, et l’étage 2 est un multivibrateur.
Étage 1 :
C
Ri
−
vo
v1
+
Figure 4.22 – Étage 1 : intégrateur
La fonction de transfert de ce circuit est :
1
1
V1
sC
= − ⇒ v1 = −
Vo
R
RC
Z
vo (t)dt
Étage 2 :
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
R2
R1
+
v1
−
vo
Figure 4.23 – Étage 2 : multivibrateur non-inversant
On sait que ip = in = 0, donc on peut écrire les relations suivantes :
vp − v1
R1
=
vo − vp
R2
!
R2
R
⇒
+ 1 vp = vo + 2 v1
R1
R1
(4.25)
Puisque la borne négative est à terre, on compare vp avec vn = 0. La tension vp est zéro
lorsque
R
(4.26)
vo = − 2 v1
R1
ou, si on inverse,
v1 = −
R1
R
vo ⇒ vT L = − 1 Vsat+
R2
R2
(4.27)
R1
V
R2 sat−
(4.28)
De même,
vT H =
Pour faire l’intégrale du premier étage, on choisi une condition initiale : par exemple,
vo = Vsat− .
Zt
Zt
1
1
V
v1 = −
(4.29)
vo (t)dt = −
Vsat− dt = − sat− t + Ci
RC 0
RC 0
RC
La condition initiale est la tension vT L . On cherche le temps nécessaire pour que v1 = vT H :
v1 = vT H = −
Vsat−
v − vT L
t + vT L ⇒ t1 = RC T H
RC
Vsat−
La période est
T = 2RC
vT H − vT L
Vsat+
(4.30)
(4.31)
si Vsat+ = Vsat− .
Gabriel Cormier
16
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CHAPITRE 4. GÉNÉRATION DE SIGNAUX
4.5.2
Onde triangulaire unipolaire
On peut modifier le circuit de la figure 4.21 pour obtenir une onde triangulaire dont la
valeur n’est jamais plus petite que 0. Si on ajoute une diode après la résistance R2 , comme
à la figure 4.24, la tension v1 sera toujours plus grande que 0.
R
C
R2
R1
−
+
D1
+
v1
−
vo
Figure 4.24 – Générateur d’onde triangulaire unipolaire
Lorsque vo est à Vsat+ , la diode empêche le courant de circuler dans R2 , et vT L devient
0. Lorsque vo = Vsat− , la diode permet au courant de circuler à travers R2 , et la tension vT U
a la valeur
R
vT U = − 1 (Vsat− + 0.6)
(4.32)
R2
La fréquence d’oscillation est donnée par
f =
Gabriel Cormier
1 R2
2RC R1
17
(4.33)
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