D e vo ir su rve illé de ma thém atique s.
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D e vo ir su rve illé de ma thém atique s.
Déterminer a et b sachant que la tangente à C en A(0; 2) coupe l’axe des abscisses au point B d’abscisse 2. On donne ci-contre la courbe représentative C d’une fonction f définie sur R par f (x) = ax + b + x ex . Exercice 3. −2 −1 1 2 3 4 0 A 1 5. Dériver la fonction g définie sur R par g (x) = (3x + 2) e4x−1 1. Simplifier les expressions suivantes : ¡ ¢3 ¡ x+3 ¢ e−3x+5 × ex+2 −2x−2 2 A= e ×e B= e−2x−6 2. Montrer que pour tout réel x, ex − 4 7 ex 1 a) = 1 − b) = x x x e +3 e +3 e + 1 1 + e−x 3. Résoudre les équations suivantes : 1 2 a) e−4x−1 = 1 b) ex −12 = x e 4. Résoudre les inéquations suivantes : a) e−3x−9 ≤ e27 b) (−2x + 3) e−x−2 > 0 Exercice 1. On suppose connus les résultats suivants : • e0 = 1 • Pour tous réels x et y, ex × e y = ex+y 1 Démontrer que pour tout réel x, e−x = x e Exercice 2. C 2 B Calculatrice autorisée, il sera tenu compte du soin et de la rédaction dans l’appréciation de la copie. Devoir surveillé de mathématiques. x +3 et 1 − ex Exercice 6. Dans un lycée, 48 élèves se sont inscrits dans les clubs photo et théâtre ; on en compte 32 dans le club théâtre et 24 dans le club photo. On sort au hasard une fiche d’un élève inscrit. Les événements T : « l’élève choisi est adhérent au club théâtre » et F : « l’élève choisi est adhérent au club photo » sont-ils indépendants ? 4. Sachant que la pièce n’est pas éliminée, calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse. ( arrondir à 10−4 ) ; 3. Montrer que la probabilité que la pièce soit éliminées à tort est gale à 0,004 9. 2. Calculer la probabilité que la pièce soit éliminée. 1. Représenter la situation par un arbre pondéré. Exercice 5. Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses fabriquées est égale à 2%. Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants : – le test élimine 98% des pièces défectueuses. – le test élimine 0,5% des pièces non défectueuses. On tire une pièce au hasard. On note D l’événement « la pièce tirée est défectueuse » et T l’événement « le teste élimine la pièce ». 3. Étudier les variations de la fonction f (penser à vous aider des résultats précédents). 2. En déduire le signe de g . 1. Étudier le sens de variation de g g (x) = x ex + 2 ex + 1. Soient f et g les fonctions définies sur ] − ∞; 0[ par : f (x) = Exercice 4. Avec une fonction auxiliaire. Corrigé du devoir du 8 octobre. Exercice 1. On suppose connus les résultats suivants : • e0 = 1 • Pour tous réels x et y, ex × e y = ex+y 1 Démontrer que pour tout réel x, e−x = x e Pour tout réel x, ex × e−x = ex−x d’après le deuxième point = e0 = 1 d’après le premier point De cette égalité, il vient ex 6= 0 (sinon, le produit serait égale à 0 et non à 1) , on peut donc diviser par ex ce qui donne 1 e−x = x . e Exercice 2. 1. Simplifier les expressions suivantes : ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 A = ex+3 × e−2x−2 = ex+3−2x−2 = e−x+1 = e2(−x+1) = e−2x+2 ¡ ¢3 e−3x+5 × ex+2 e−3x+5 × e3x+6 e11 = = = e11−(−2x−6) = e2x+17 B= e−2x−6 e−2x−6 e−2x−6 2. Montrer que pour tout réel x, ex − 4 7 a) = 1− x x e +3 e +3 7 ex + 3 7 ex + 3 − 7 ex − 4 Pour tout réel x, 1 − x = x − x = = x e +3 e +3 e +3 ex + 3 e +3 1 ex = b) ex + 1 1 + e−x ex ex ex 1 ¶ µ Pour tout réel x, = = = x x −x 1 e +1 e (1 + e ) 1 + e−x ex 1 + x e 3. Résoudre les équations suivantes : a) e−4x−1 = 1 ⇐⇒ −4x − 1 = 0 ⇐⇒ x = − 1 4 1 2 ⇐⇒ ex −12 = e−x ⇐⇒ x 2 − 12 = −x ⇐⇒ x 2 + x − 12 = 0. x e On reconnait une équation du second degré qui a deux solutions : 3 et -4 . b) ex 2 −12 = 4. Résoudre les inéquations suivantes : a) e−3x−9 ≤ e27 ⇐⇒ −3x − 9 É 27 ⇐⇒ x Ê −12. −x−2 b) (−2x + 3) e x >0 3 2 −∞ +∞ e−x−2 + −2x + 3 + 0 − (−2x + 3) e−x−2 + 0 − + ¸ · 3 D’après ce tableau de signes, S = −∞; 2 S = [−12; +∞[. 5. Dériver la fonction g définie sur R par g (x) = (3x + 2) e4x−1 Pour tout réel x, g 0 (x) = 3 e4x−1 + (3x − 2) × 4 e4x−1 = e4x−1 (3 + 4(3x + 2)) = e4x−1 (12x + 11) Exercice 3. C 4 On donne ci-contre la courbe représentative C d’une fonction f définie sur R par f (x) = ax + b + x ex . 3 2 Déterminer a et b sachant que la tangente à C en A(0; 2) coupe l’axe des abscisses au point B d’abscisse 2. A 1 B −2 0 −1 1 2 A(0; 2) ∈ C signifie que f (0) = 2 c’est-à-dire a × 0 + b + 0 e0 = 2 c’est-à-dire b = 2 . f 0 (x) = a + 0 + 1 ex + x ex = a + ex (1 + x) f est dérivable sur R et pour tout réel x, Le coefficient directeur de la droite (AB) est −1. Comme (AB) est une tangente à C au point d’abscisse 0 alors f 0 (0) = −1. Cela équivaut à a + e0 (1 + 0) = −1 c’est-à-dire a + 1 = −1 c’est-à-dire a = −2 . Exercice 4. Avec une fonction auxiliaire. Soient f et g les fonctions définies sur ] − ∞; 0[ par : f (x) = g (x) = x ex + 2 ex + 1. x +3 et 1 − ex 1. Étudier le sens de variation de g g est dérivable sur ] − ∞; 0[ et pour tout réel x, x g 0 (x) = 1 ex + x ex + 2 ex = ex (1 + x + 2) = ex (x + 3) −∞ 0 −3 ex + x +3 − 0 + g 0 (x) − 0 + + On déduit du tableau de signes que la fonction g est strictement décroissante sur ] − ∞; −3] et strictement croissante sur [−3; 0[. 2. En déduire le signe de g . x −∞ −3 +∞ g (x) g (−3) > 0 g (−3) = − e−3 + 1 donc g (−3) > 0. Le minimum de g est strictement positif donc g est strictement positive sur ] − ∞; 0[. 3. Étudier les variations de la fonction f (penser à vous aider des résultats précédents). f 0 (x) = 1(1 − ex ) − (x + 3)(− ex ) 1 − ex + x ex + 3 ex x ex + 2 ex + 1 g (x) = = = x 2 x 2 x 2 (1 − e ) (1 − e ) (1 − e ) (1 − ex )2 x −∞ 0 g (x) + (1 − ex )2 + f 0 (x) + 0 f (x) Exercice 5. Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses fabriquées est égale à 2%. Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants : – le test élimine 98% des pièces défectueuses. – le test élimine 0,5% des pièces non défectueuses. On tire une pièce au hasard. On note D l’événement « la pièce tirée est défectueuse » et T l’événement « le teste élimine la pièce ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré. T 0, 98 D 0, 02 0, 02 T 0, 98 T 0, 005 D 0, 995 T 2. Calculer la probabilité que la pièce soit éliminée. p(T ) = p(D ∩ T ) + p(D ∩ T ) = 0, 02 × 0, 98 + 0, 98 × 0, 005 = 0, 0245 . 3. Montrer que la probabilité que la pièce soit éliminée à tort est égale à 0,004 9. p(D ∩ T ) = p(D) × p D (T ) = 0, 98 × 0, 005 = 0, 0049 . 4. Sachant que la pièce n’est pas éliminée, calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse. ( arrondir à 10−4 ). p T (D) = p(T ∩ D) p(T ) = 0, 02 × 0, 02 ≈ 0, 0004 . 1 − 0, 0245 Exercice 6. Dans un lycée, 48 élèves se sont inscrits dans les clubs photo et théâtre ; on en compte 32 dans le club théâtre et 24 dans le club photo. On sort au hasard une fiche d’un élève inscrit. Les événements T : « l’élève choisi est adhérent au club théâtre » et F : « l’élève choisi est adhérent au club photo » sont-ils indépendants ? Il faut d’abord bien comprendre la situation : il y a forcément des élèves qui sont inscrits dans les deux ateliers à la fois, en effet 32 + 24 = 56 qui est supérieur aux 48 élèves inscrits. Plus précisément, il y a 56 − 48 = 8 élèves inscrits aux deux ateliers. 32 2 24 1 1 = et p(F ) = = donc p(T ) × p(F ) = 48 3 48 2 3 8 1 Par ailleurs, p(T ∩ F ) = = 48 6 Comme p(T ∩ F ) 6= p(T ) × p(F ) alors les deux événements ne sont pas indépendants. On a donc p(T ) =