DEVOIR SURVEILLE N°9 - A Exercice 1 ( Bac Amérique du Nord

Tale ES 2
Lundi 26 Mai 2008
DEVOIR SURVEILLE N°9 - A
Calculatrices autorisées – Durée : 1 h 30
Exercice 1 ( Bac Amérique du Nord, Juin 2006 )
Soit une fonction r définie sur [ 0 ; 12 ] par r (x) = 900 x e – 0,1 ( x – 2 )
1] Considère la fonction f définie sur ] 0 ; 12 ] par f (x) = ln ( r (x) ).
Démontrer que :
f (x) = ln ( 900 ) + ln x – 0,1 ( x – 2 )
2] On note f ’ la fonction dérivée de f. Démontrer que :
10 – x
f ’(x) =
.
10 x
3] Etudier le sens de variation de f sur ] 0 ; 12 ].
4] On désigne par r ’ la fonction dérivée de r.
Exprimer f ’ en fonction de r ’ et de r .
Justifier que r’ (x) et f ’(x) ont le même signe sur ] 0 ; 12 ].
1] Parmi les propositions suivantes, quelle a) lim ex = + ∞
x → +∞
est celle qui permet d’affirmer que la fonction
ex = 0
exponentielle admet pour asymptote la droite b) x lim
→–∞
d’équation y = 0
ex
=+∞
c) lim
x → +∞ x
2] Parmi les propositions suivantes, quelle
est celle qui permet d’affirmer que
l’inéquation ln ( 2 x + 1 ) ≥ ln ( x + 3 ) admet
l’intervalle [ 2 ; + ∞ [ comme ensemble de
solution ?
7] Démontrer que la fonction R définie par :
R (x) = – 9000 ( x + 10 ) e – 0,1 ( x – 2 )
est une primitive de la fonction r sur [ 0 ; 12 ].
7] Calculer la valeur moyenne rm de la fonction r sur [ 0 ; 12 ] définie par :
1 12
rm =
⌠ r (x) dx
12 ⌡0
Exercice 2 ( Bac Antilles-Guyane, juin 2006 )
Consignes :
Pour chacune des questions, une seule proposition est exacte.
Indiquez laquelle en recopiant sur votre copie le numéro de la
question suivi de a , b ou c.
On ne demande pas de justifier.
Barème :
Une bonne réponse rapporte 0,75 points.
Une réponse inexacte enlève la moitié des points.
Si le total des points est négatif, la note est ramenée à zéro.
La note est ensuite arrondie au demi-point près.
x → +∞
c) La fonction ln est croissante
sur ] 0; + ∞ [
a) Pour tout réel x , f ’(x) = g (x)
b) Pour tout réel x , g ’(x) = f (x)
c) Pour tout réel x , g(x) = f ’(x) +
k , k réel quelconque.
a) { 1 ; 1 }
2
2x
x
4] L’équation 2 e – 3 e + 1 = 0 admet
b) { 0 ; ln 1 }
pour ensemble de solution :
2
c) { 0 ; ln 2 }
3] Parmi les propositions suivantes, quelle
est celle qui permet d’affirmer qu’une
primitive de la fonction f définie sur IR par
x ⎯⎯→ ( x + 1 ) ex est la fonction g : x ⎯⎯→ x ex
⏐
5] En déduire les variations de r sur [ 0 ; 12 ].
6] Déterminer pour quelle valeur x0 la fonction r admet un maximum.
Calculer x0 arrondi à l’unité près.
a) La fonction ln est positive sur
[ 1; + ∞ [
b) lim ln x = + ∞
⏐
ex
n =1
x → +∞ x
ex
b) lim n = + ∞
x → +∞ x
ex
c) lim n = 0
x → +∞ x
a) lim
5] Pour tout n ∈ IN,
6] Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [
par f (x) = 2 ln x – 3 x + 4 . Dans un repère , a) y = – x + 2
une équation de la tangente à la courbe b) y = x + 2
représentative de f au point d’abscisse 1 c) y = – x – 2
est :
50
a)
3
7] La valeur moyenne sur [ 1 ; 3 ] de la
25
b)
fonction f définie par f (x) = x2 + 2 x est :
3
c) 6
a) IR
8] exp ( ln x ) = x pour tout x appartenant
b) ] 0 ; + ∞ [
à:
c) [ 0 ; + ∞ [
Exercice 3 ( Bac Antilles-Guyane, Septembre 2005 )
Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui
suivent, la substance est éliminée par les reins. La quantité qi présente dans le
sang ( qi en milligrammes ) à l’instant ti ( ti en heures ) a été mesurée par les
prises de sang toute les deux heures :
ti en h
qi en mg
0
9,9
2
7,5
4
5,5
6
3,9
8
3
Le nuage de points associé à la série statistique ( ti ; qi ) est représenté
dans un repère orthogonal sur la figure ci-dessous :
1]
Un
ajus
tem
ent
affi
ne
estil
pos
sibl
e?
Just
ifie
r.
2]
Dét
erm
iner
les coordonnées du point moyen G du nuage.
3] Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D
d’ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés ( coefficients
arrondis à 10– 2 près ) et tracer la droite D sur la figure précédente.
4] En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, quelle estimation
obtient-on de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12
heures ? Qu’en pensez-vous ?
Tale ES 2
Lundi 26 Mai 2008
DEVOIR SURVEILLE N°9 - B
Calculatrices autorisées – Durée : 1 h 30
1] Parmi les propositions suivantes, quelle
ex
=+∞
est celle qui permet d’affirmer que la fonction a) x lim
→ +∞ x
exponentielle admet pour asymptote la droite
b) lim ex = + ∞
x → +∞
d’équation y = 0
c) lim ex = 0
x→–∞
Exercice 1 ( Bac Amérique du Nord, Juin 2006 )
Soit une fonction r définie sur [ 0 ; 12 ] par r (x) = 900 x e – 0,1 ( x – 2 )
1] Considère la fonction f définie sur ] 0 ; 12 ] par f (x) = ln ( r (x) ).
Démontrer que :
f (x) = ln ( 900 ) + ln x – 0,1 ( x – 2 )
2] On note f ’ la fonction dérivée de f. Démontrer que :
10 – x
f ’(x) =
.
10 x
3] Etudier le sens de variation de f sur ] 0 ; 12 ].
4] On désigne par r ’ la fonction dérivée de r.
Exprimer f ’ en fonction de r ’ et de r .
Justifier que r’ (x) et f ’(x) ont le même signe sur ] 0 ; 12 ].
2] Parmi les propositions suivantes, quelle
est celle qui permet d’affirmer que
l’inéquation ln ( 2 x + 1 ) ≥ ln ( x + 3 ) admet
l’intervalle [ 2 ; + ∞ [ comme ensemble de
solution ?
7] Démontrer que la fonction R définie par :
R (x) = – 9000 ( x + 10 ) e – 0,1 ( x – 2 )
est une primitive de la fonction r sur [ 0 ; 12 ].
7] Calculer la valeur moyenne rm de la fonction r sur [ 0 ; 12 ] définie par :
1 12
rm =
⌠ r (x) dx
12 ⌡0
Exercice 2 ( Bac Antilles-Guyane, juin 2006 )
Consignes :
Pour chacune des questions, une seule proposition est exacte.
Indiquez laquelle en recopiant sur votre copie le numéro de la
question suivi de a , b ou c.
On ne demande pas de justifier.
Barème :
Une bonne réponse rapporte 0,75 points.
Une réponse inexacte enlève la moitié des points.
Si le total des points est négatif, la note est ramenée à zéro.
La note est ensuite arrondie au demi-point près.
x → +∞
c) La fonction ln est positive sur
[ 1; + ∞ [
a) Pour tout réel x , g ’(x) = f (x)
b) Pour tout réel x , f ’(x) = g (x)
c) Pour tout réel x , g(x) = f ’(x) +
k , k réel quelconque.
a) { 0 ; ln 1 }
2
2x
x
4] L’équation 2 e – 3 e + 1 = 0 admet
b) { 0 ; ln 2 }
pour ensemble de solution :
c) { 1 ; 1 }
2
3] Parmi les propositions suivantes, quelle
est celle qui permet d’affirmer qu’une
primitive de la fonction f définie sur IR par
x ⎯⎯→ ( x + 1 ) ex est la fonction g : x ⎯⎯→ x ex
⏐
5] En déduire les variations de r sur [ 0 ; 12 ].
6] Déterminer pour quelle valeur x0 la fonction r admet un maximum.
Calculer x0 arrondi à l’unité près.
a) La fonction ln est croissante
sur ] 0; + ∞ [
b) lim ln x = + ∞
⏐
ex
n =0
x → +∞ x
ex
b) lim n = 1
x → +∞ x
ex
c) lim n = + ∞
x → +∞ x
a) lim
5] Pour tout n ∈ IN,
6] Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [
par f (x) = 2 ln x – 3 x + 4 . Dans un repère , a) y = – x – 2
une équation de la tangente à la courbe b) y = – x + 2
représentative de f au point d’abscisse 1 c) y = x + 2
est :
a) 6
50
7] La valeur moyenne sur [ 1 ; 3 ] de la b)
3
fonction f définie par f (x) = x2 + 2 x est :
25
c)
3
a) ] 0 ; + ∞ [
8] exp ( ln x ) = x pour tout x appartenant
b) [ 0 ; + ∞ [
à:
c) IR