Trouver deux entiers qui se suivent et d

CUEEP
Juin
2007
TRAITEMENT D’EQUATIONS
Département
Mathématiques
E 424
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Petits problèmes d’algèbre
Situations
1-
Trouver deux entiers qui se suivent et dont la somme vaut 71.
2-
Trouver trois nombres entiers qui se suivent et dont la somme est égale à 378.
3-
Trouver quatre nombres pairs qui se suivent et dont la somme est égale à 260.
4-
Quel est le nombre qui donne le même résultat quand on lui ajoute 36 ou quand on le
multiplie par 5 ?
5-
Quel est le nombre qui donne le même résultat quand on lui ajoute 180 ou quand on le
multiplie par 6.
6-
La différence de deux entiers est 24. Si l'on ajoute 8 à chacun de ces deux entiers, on
obtient deux nouveaux entiers dont le plus grand est le triple du plus petit. Quels sont les
deux entiers ?
7-
Monsieur Dupont a 3 fois l'âge de son garçon et sa femme 2 fois. Le couple Dupont a un
siècle. Quel est l'âge du garçon ?
8-
Monsieur Durand a 7 fois l'âge de sa fille et sa femme 5 fois. Monsieur a 8 ans de plus
que Madame. Quel est l'âge de leur fille ?
9-
Pierre a 5 ans de moins qu'André, et Paul 2 ans de plus qu'André. Jacques a 3 fois l'âge
de Pierre et 2 fois celui de Paul. Quel est l'âge d'André ?
10 - Un père a 30 ans et son fils 3 ans. Au bout de combien de temps l'âge du père sera-t-il
le quadruple de l'âge du fils ?
11 - Il y a 5 ans, mon grand-père avait 7 fois mon âge et dans 7 ans, il aura 3
fois mon âge. Quel est mon âge ?
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Aide 1
Bien lire l'énoncé et repérer toutes les informations.
Repérer la question et choisir l'inconnue.
Traduire les informations contenues dans l'énoncé en fonction de cette inconnue.
- Si vous n'y arrivez pas, donnez à l'inconnue une valeur arbitraire et montrez
pourquoi cette valeur ne convient pas en écrivant tous vos calculs.
- Si vous n'y arrivez pas encore, donnez à l'inconnue d'autres valeurs de façon
à vous rapprocher de plus en plus de la solution.
*
Notez le programme de calculs par lequel vous vérifiez vos approximations.
Ecrire l'équation qui traduit le problème.
Résoudre l'équation.
Donner la solution et la vérifier.
*
Programme de calcul : on s'intéresse aux opérations et leur
enchaînement, non aux résultats.
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Aide 2
EXERCICES 1, 2 et 3
Exemple de 2 entiers qui se suivent → 3 et 4
Exemple de 2 nombres pairs qui se suivent → 2 et 4
EXERCICE 6
Appeler x le plus petit des 2 nombres et exprimer le plus grand en fonction de x.
EXERCICE 7
Exprimer l'âge de Madame et de Monsieur Dupont en fonction de l'âge du garçon.
EXERCICE 9
Exprimer l'âge de Pierre et de Paul en fonction de l'âge d'André.
EXERCICE 10
Prendre comme inconnue le nombre d'années au bout desquelles l'âge du père sera le
quadruple de l'âge du fils.
EXERCICE 11
Exprimer l'âge du grand-père, il y a 5 ans et dans 7 ans en fonction de l'âge actuel du
petit fils. Entre temps, il s'est écoulé 12 ans...
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EXERCICE 1
Soit x le premier des deux entiers.
L'entier suivant sera x + 1
La somme de ces entiers est x + x + 1
Equation
x + x + 1 = 71
2x + 1 = 71
2x = 70
x = 35
Solution
Les deux nombres sont 35 et 36
Vérification
35 + 36 = 71
EXERCICE 2
Le premier entier est x
Le deuxième entier est x + 1
Le troisième entier est x + 2
Equation
x + x + 1 + x + 2 = 378
3x + 3 = 378
3x = 375
x = 125
Solution
Les 3 nombres sont 125, 126 et 127
Vérification
125 + 126 + 127 = 378
EXERCICE 3
Soit x le premier nombre pair
le deuxième nombre pair est x + 2
le troisième nombre pair est x + 4
le quatrième nombre pair est x + 6
Equation
x + x + 2 + x + 4 + x + 6 = 260
4x + 12 = 260
4x = 248
x = 62
Solution
les quatre nombres sont 62, 64, 66 et 68
Vérification
62 + 64 + 66 + 68 = 260
Corrigé
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EXERCICE 4
Soit x le nombre cherché.
Si on lui ajoute 36 le résultat sera x + 36
Si on le multiplie par 5 le résultat sera 5x
Equation
x + 36 = 5x
36 = 4x
9=x
Solution
le nombre cherché est 9
Vérification
9 + 36 = 45
5 × 9 = 45
EXERCICE 5
Soit x le nombre cherché.
Equation
x + 180 = 6x
180 = 5x
36 = x
Solution
le nombre cherché est 36
Vérification
36 + 180 = 216
6 × 36 = 216
EXERCICE 6
Soit x le plus petit des deux nombres.
Le plus grand sera x + 24
Si on ajoute 8 à chacun de ces 2 nombres :
le plus petit devient x + 8
le plus grand devient x + 24 + 8 = x + 32
Equation
3(x + 8) = x + 32
3x + 24 = x + 32
2x = 8
x=4
Solution
les 2 nombres sont 4 et 28
Vérification
4 + 8 = 12
28 + 8 = 36
36 = 3 × 12
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EXERCICE 7
Soit x l'âge du garçon.
L'âge de Mr Dupont est 3x
L'âge de Me Dupont est 2x
L'âge du couple est 3x + 2x = 100
Equation
2x + 3x = 100
5x = 100
x = 20
Solution
Le garçon a 20 ans, le père 60 ans et la mère 40 ans.
Vérification
60 + 40 = 100
EXERCICE 8
Soit x l'âge de la fille.
L'âge du Mr Durand est 7x
L'âge de Me Durand est 5x.
Equation
7x = 5x + 8
2x = 8
x=4
Solution
La fille a 4 ans, le père 28 ans et la mère 20 ans. (tout est possible !)
Vérification
20 + 8 = 28
EXERCICE 9
Soit x l'âge d'André.
L'âge de Pierre est x - 5
L'âge de Paul est x + 2
Jacques a 3 fois l'âge de Pierre soit 3(x - 5)
et 2 fois l'âge de Paul soit 2(x + 2).
Equation
3(x - 5) = 2(x + 2)
3x - 15 = 2x + 4
x = 19
Solution
André a 19 ans, Pierre 14 ans et Paul 21 ans.
Vérification
3 × 14 = 42
2 × 21 = 42
Jacques a 42 ans.
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EXERCICE 10
Soit x le nombre d'années au bout desquelles l'âge du père sera le quadruple de l'âge du fils.
Age du père dans x années : 30 + x
Age du fils dans x années : 3 + x
Equation
30 + x = 4(3 + x)
30 + x = 12 + 4x
18 = 3x
6=x
Solution
Dans 6 ans l'âge du père sera le quadruple de l'âge du fils.
Vérification
âge du père dans 6 ans = 36 ans
âge du fils dans 6 ans = 9 ans
36 = 4 × 9
EXERCICE 11
Soit x mon âge.
Il y a 5 ans, j'avais x - 5 et mon grand-père 7(x - 5).
Dans 7 ans, j'aurai x + 7 et mon grand-père 3(x + 7).
x-5
7(x - 5)
+ 12
x+7
+ 12
3(x + 7)
Equation
7(x - 5) + 12 = 3(x + 7)
7x - 35 + 12 = 3x + 21
4x = 44
x = 11
Solution
J'ai 11 ans.
Vérification
Il y a 5 ans j'avais 6 ans et mon grand-père avait 42 ans.
Dans 7 ans j'aurai 18 ans.
Mon grand-père aura
18 × 3 = 54 ans
ou
42 + 12 = 54 ans.