Analyse Frquentielle des Signaux et Systmes Analogiques

Transcription

CHAPITRE 7
ANALYSE FREQUENTIELLE DES
SIGNAUX ET SYSTEMES
ANALOGIQUES
Ernst A. Guillemin (1898-1970), ingénieur électricien américain. Professeur au
MIT et grand spécialiste de l’analyse et de la synthèse des circuits linéaires,
Guillemin est l’auteur de 6 ouvrages sur la théorie des circuits (un tous les 5
ans). Il était connu pour ses qualités pédagogiques, et son souci d’expliquer
des concepts avancés avec des mots simples. Il fut un des premiers à
introduire le concept de pôles et zéros dans le cursus de base de la théorie des
circuits.
Nous avons montré au chapitre 4 que les exponentielles complexes sont des
fonctions propres des systèmes linéaires invariants. Cette constatation
fondamentale nous a conduit à décomposer tout signal d’excitation en une
somme pondérée de telles exponentielles imaginaires, grâce à la transformée de
Laplace. Cette transformée est un outil théorique essentiel dans la
caractérisation des fonctions de transfert opérationnelles des SLI, mais son
utilisation pratique est limitée par le fait qu’elle ne se prête cependant pas
facilement au calcul de signaux très compliqués. Les tables de transformées se
limitent en effet aux fonctions simples, voire périodiques simples. Que faire
lorsque le signal d’excitation est une fonction plus compliquée, dont on ne
connaît pas l’expression analytique ?
Le cas particulier de l’excitation exponentielle imaginaire a été traité au chapitre
5, ce qui nous a permis d’introduire la notion de réponse en fréquence d’un SLI.
Nous avons systématiquement estimé cette réponse en fréquence comme la
valeur prise par la réponse opérationnelle sur l’axe imaginaire :
H ( jω ) = H ( p) p = jω
(7.1)
Lorsqu’on cherche à déterminer la réponse en fréquence d’un SLI dont on ne
connaît pas la structure interne, on peut toujours mesurer sa réponse
impulsionnelle, et en calculer la transformée de Laplace :
H ( jω ) =
∞
∫ h(t )e
−∞
− pt
dt
(7.2)
p = jω
2
ANALYSE FREQUENTIELLE DES SIGNAUX ET SYSTEMES ANALOGIQUES
On retombe alors sur la même question que plus haut : que faire lorsque la
réponse impulsionnelle est une fonction plus compliquée, dont on ne connaît pas
l’expression analytique ?
Un élément de réponse est fourni par le calcul plus direct :
H ( jω ) =
∞
∫ h(t )e
− jω t
dt
(7.3)
−∞
On constate qu’il est donc possible de calculer la réponse en fréquence d’un SLI
dont on ne connaît que la réponse impulsionnelle, sans passer forcément par la
transformée de Laplace.
La section 7.1 de ce chapitre sera consacrée à l’étude de la transformation (7.3),
appelée Transformée de Fourier. Nous verrons qu’elle permet de répondre à nos
deux questions simultanément. Nous étudierons alors diverses méthodes
d’estimation de la transformée de Fourier, sous forme analytique (7.2) ou
numérique (7.4). L’estimation numérique sera précédée d’une introduction à la
théorie de l’échantillonnage (7.3), pré-requis indispensable.
7.1 Analyse fréquentielle des signaux analogiques
Un signal analogique est défini à tout instant t et est donc représentable
mathématiquement par une fonction continue du temps f(t). Nous supposerons
ici que la valeur prise par le signal au temps t est un scalaire (signal à une
dimension) qui peut prendre n’importe quelle valeur, en général complexe.
7.1.1 Signaux analogiques
Un signal analogique peut être périodique ou apériodique.
On utilise souvent les signaux apériodiques suivants :
−
rectangle recta(t) : rectangle de –a/2 à +a/2, d’amplitude 1 (Fig. 7.1.a).
−
sinus cardinal sinc(t)=sin(t)/t (Fig. 7.1.b).
−
impulsion de Dirac δ (t ) = lim
recta (t )
(Fig. 7.1.c).
a →0
a
Ce dernier signal n'est pas vraiment une fonction, mais une distribution. Il
peut cependant être manipulé comme une fonction sans engendrer de
difficulté particulière pour les problèmes que nous traiterons ici.
−
échelon ε(t) (Fig. 7.1.d)
−
fonction signe sign(t)=2ε(t)-1 (Fig. 7.1.e)
recta(t)
1
1
t
-a/2
a/2
(a)
-2π -π
δ(t)
sinc(t)
π
(b)
1
t
t
2π
(c)
e(t)
1
3
sign(t)
1
t
(d)
-1
t
(e)
Fig. 7.1 Signaux à énergie finie (a,b,c) et infinie (d,e)
Un signal périodique
fT0 (t ) de période fondamentale T0 est composé d’une
somme infinie de répétitions, à intervalles réguliers T0, d’une fonction de base
non périodique f(t) (Fig. 7.2):
fT0 (t ) =
∞
∑
k =−∞
f (t − kT0 )
(7.4)
f(t)
fT0(t)
A
A
t
t
Fig. 7.2 Périodification (droite) d’un signal de base non périodique (gauche)
On utilise souvent les signaux périodiques à puissance finie suivants :
jω 0t
−
exponentielle imaginaire A e
−
cisoïdes a sin ω 0t et a cos ω 0t
−
train d'impulsions de Dirac δ T 0 (t )
Le train d’impulsion de Dirac sera utilisé ici pour exprimer
mathématiquement la périodicité d’un signal. En effet, on comprend
facilement que la convolution entre δ T 0 (t ) et une fonction f(t) conduit à
une fonction périodique fT0 (t ) répondant à (7.4) (Fig. 7.3):
f (t ) * δ T0 (t ) =
∞
∫
f (τ )δ T0 (t − τ )dτ = fT0 (t )
(7.5)
−∞
L’équation précédente peut en effet être interprétée comme le passage
d’un train d’impulsions à travers un filtre de réponse impulsionnelle f(t). Le
filtre répond donc par une somme de réponses impulsionnelles à la
cadence du train d’impulsions.
4
δT0(t)
f(t)
A
1
t
t
*
fT0(t)
A
t
=
Fig. 7.3 Convolution d’un signal de base non périodique avec un train d’impulsions de Dirac
7.1.2 Produit scalaire de signaux analogiques
Le produit scalaire de deux fonctions complexes f(t) et g(t) est défini par :
∞
< f (t ), g (t ) >=
∫
f (t ) g * (t )dt
(7.6)
−∞
Il peut être vu comme une extension, à l’espace des fonctions, du produit
scalaire défini dans un espace vectoriel (complexe, en général).
En particulier le produit scalaire d’une fonction par elle-même est égal à son
énergie E, homologue du carré de la norme d’un vecteur, et définie par :
∞
< f (t ), f (t ) >=
∫
∞
f (t ) f (t )dt =
*
−∞
∫
f (t ) dt = E
2
(7.7)
−∞
L’expression (7.6) n’est en général définie que pour des signaux d’énergie finie.
Parmi les signaux introduits plus haut, seuls recta(t) et sinc(t) possèdent cette
propriété. L'impulsion de Dirac est une exception notoire : son énergie n’est pas
définie (au sens des fonctions), mais son produit scalaire avec une fonction
existe :
∞
∫
f (τ )δ (t − τ )dτ = f (t )
(7.8)1
−∞
Nous admettrons ici que, au sens des distributions, δ (t ) est un signal d'énergie
égale à 1, sans que cela ne soit gênant pour l’étude des problèmes traités.
Les signaux périodiques sont évidemment d’énergie infinie. On admettra
également ici que la théorie des distributions permet de donner une valeur finie
au produit scalaire de deux signaux périodiques de puissance finie (pour lesquels
l’expression (7.6) donne en principe un résultat infini) en posant que le produit
1 Cette expression est parfois utilisée comme définition de l’impulsion de Dirac.
5
scalaire de deux fonctions périodiques de puissance finie est donné, au sens des
distributions2, par :
T /2 1
⎧
*
lim
⎪ ∫−T / 2 T fT0 (t ) gT (t ) dt
fT0 (t ), gT (t ) = ⎨
T →∞
⎪
0
⎩
Distr
( si T = T0 / k ; k ∈ N )
( si T ≠ T0 / k ; k ∈ N )
(7.9)
Ce qui se réécrit plus simplement :
⎧1
⎪
fT0 (t ), gT (t ) = ⎨ T0
⎪
⎩
Distr
∫
T /2
−T / 2
fT0 (t ) gT* (t ) dt
T →∞
( si T = T0 / k ; k ∈ N )
( si T ≠ T0 / k ; k ∈ N )
0
(7.10)
Autrement dit : deux fonctions périodiques dont les périodes ne sont pas
multiples l’une de l’autre sont orthogonales. Dans le cas contraire, leur produit
scalaire peut être calculé comme le produit scalaire classique, estimé sur la
période la plus longue et rapporté à celle-ci.
Il suffit, pour passer du sens des distributions au sens classique, de considérer
que les résultat obtenus au sens des distributions sont en réalité les poids
d’impulsions de Dirac :
⎛1
< fT0 (t ), gT (t ) > = ∑ ⎜
⎜
k∈` ⎝ T0
T0 / 2
∫
−T0 / 2
⎞
*
fT0 (t ) gT (t )dt ⎟ δ (T − T0 / k )
⎟
⎠
(7.11)
En particulier, le produit scalaire d’un signal périodique par lui-même donne sa
puissance P:
1
< fT0 (t ), fT0 (t ) >=
T0
T0 / 2
∫
2
fT0 (t ) dt = P
(7.12)
−T0 / 2
L’expression (7.10) n’est en général définie que pour des signaux de puissance
finie. Cette classe couvre en pratique tous les signaux périodiques dont la
période est un signal d’énergie finie (c’est-à-dire tous ceux qui sont utilisés en
pratique).
Exemple 7.1
< f (t ), δ (t − τ ) >=
∞
∫
f (t )δ (t − τ )dt = f (τ )
(7.13)
−∞
< recta (t ), ε (t ) >=
∞
∫ rect (t )ε (t )dt = a / 2
(7.14)
a
−∞
1
< sin(ω 0t ), cos(ω 0t ) > =
T0
Distr .
sin(2ω 0t )
1
dt =
∫
T0
2
−T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
⎡ cos(2ω 0t ) ⎤
=0
⎢−
⎥
4ω 0 ⎦ −T / 2
⎣
0
(7.15)
2 Au sens classique, l’équation (7.9) est fausse. On l’utilise ici dans un but didactique, afin de rendre
plus cohérent l’exposé de l’étude des fonctions périodiques et non périodiques, sans alourdir
inutilement les notations.
6
< e jω0t , e jω t
⎧1
Distr . ⎪
> = ⎨ T0
⎪
⎩0
T0 / 2
∫
e jω0t e − jωt dt = 1 ( si ω = kω 0 )
−T0 / 2
( si ω ≠ kω 0 )
On démontrera à titre d ‘exercice que le produit scalaire ci-dessus s’annule
même quand w=kw0, sauf pour k=1. Il reste donc :
< e jω0t , e jω t
⎧1
Distr . ⎪
> = ⎨ T0
⎪
⎩0
T0 / 2
∫
(7.16)3
e jω0t e − jω0t dt = 1 ( si ω = ω 0 )
−T0 / 2
( si ω ≠ ω 0 )
Nous savions déjà que les fonctions périodiques de périodes non multiples l’une de l’autre
sont orthogonales ; nous constatons ici que les exponentielles sont des fonctions périodiques
très particulières4 : elle sont toutes orthogonales et de norme unitaire.
7.1.3Transformée de Fourier
L’équation (7.8) peut être interprétée de la façon suivante : un signal analogique
f(t) peut être décomposé comme une somme continue de fonctions de base
orthonormées5 { δ (t − τ ) (τ ∈ [−∞, +∞]) }. Les coefficients de cette décomposition
sont fonction de la variable τ et valent tout simplement f( τ ) . L’équation (7.13)
exprime alors simplement le fait que les coefficients de la décomposition sont
obtenus par produit scalaire de f(t) avec les fonctions de base.
Un des résultats importants de l'analyse mathématique (que l’on admettra ici)
est de montrer que l’on peut également décomposer un signal d'énergie
finie comme une somme continue de fonctions de base { e jω t (ω ∈ [−∞, +∞]) }
: les exponentielles imaginaires. Ceci s’exprime comme suit :
∞
f(t) =
∫ F(f)e
jω t
df
(7.17)
−∞
Les coefficients complexes de cette somme pondérée continue sont fonction de la
variable f (fréquence) et constituent la transformée de Fourier de f(t), notée F(f).
Le calcul de F(f) est simple : il est basé sur la projection de f(t) sur les fonctions
de base, à l’aide du produit scalaire. Si l’on admet en effet que ces fonctions
constituent une base de l’ensemble des fonctions d’énergie finie, cette base est
orthonormée, vu (7.17). Il s’ensuit que les coefficients intervenant dans la
3 Cette équation correspond, au sens classique, à :
∞
∫e
jω 0t − jω t
e
dt = δ (ω − ω 0 )
−∞
4 Ce ne sont pas les seules fonctions orthogonales. Le traitement du signal foisonne d’ensembles
de signaux orthogonaux, vu la facilité avec laquelle on peut décomposer une signal quelconque sur
de tels signaux. Les ondelettes en sont un bel exemple.
5 On a admis en effet que l’énergie (analogue du carré de la norme) de
δ (t − τ ) vaut
1 quelque
soit t; il est par ailleurs évident que deux impulsions de Dirac placées en des temps différents sont
orthogonales.
7
décomposition de f(t) sur ces fonctions de base peuvent être obtenus par simple
projection de f(t) :
F(f) =< f(t), e jω t >
(7.18)
ce qui conduit à l’expression bien connue de F(f) :
∞
F(f) =
∫
f(t)e− jω t dt
(7.19)
−∞
Le couple f(t) et F(f) constitue une paire de transformées de Fourier. On note
souvent cette relation sous la forme :
F
f(t) ⇔ F(f)
(7.20)
En particulier, l’expression (7.3) montre que la réponse impulsionnelle h(t) d’un
SLI et sa réponse en fréquence H(jω) constituent une paire de transformées de
Fourier.
Exemple 7.2
F
recta (t ) ⇔ a
sin aω / 2
aω / 2
A(f)
a
recta(t)
1
t
-a/2
a/2
f
0
1/a
2/a
3/a
On peut retrouver ce résultat intuitivement. Il est clair, si l’on se souvient que la transformée
de Fourier est un produit scalaire, que sa valeur en f=0 est l’intégrale de la fonction f(t)
(donc a pour recta(t)). Par ailleurs, il est évident que F(f), étant un produit scalaire entre f(t)
et les exponentielles imaginaires, s’annule pour toutes les exponentielles imaginaires de
périodes égales à a/k (avec k entier positif) .
Exemple 7.3
F
δ (t ) ⇔ 1
Immédiat, vu l’interprétation de F(f) comme un produit scalaire.
Les propriétés essentielles de la transformée de Fourier sont reprises au Tableau
7.1.
8
∑ a f (t )
(linéarité)
i i
i
F
⇔
⇔
F (t )
⇔
(retard)
f (t − t0 )
⇔
(convolution)
f (t ) ∗ g (t )
⇔
(produit)
f (t ) g (t )
⇔
(dérivée)
df (t ) / dt
⇔
(transformée de la
F
transformée)
t
∫
(intégrale)
f (τ ).dτ
−∞
∞
(produit scalaire)
∫
f (t ) g ∗ (t )dt
−∞
∞
(Parceval)
∫
2
f (t ) dt
−∞
i
F
F
F
F
F
⇔
F
⇔
F
⇔
i
i
1
f
F( )
a
a
F
f (at )
(dilatation)
∑ a .F ( f )
f (− f )
F ( f ) exp(− jt0ω )
F ( f )G ( f )
F ( f ) * G( f )
jω.F (ω )
1/ jω F (ω ) + πδ (ω ) F (0)
∞
∫ F ( f )G ( f )df
∗
−∞
∞
∫
2
F ( f ) df
−∞
Tableau 7.1 Propriétés principales de la transformée de Fourier.
Les théorèmes du produit scalaire et de Parceval (qui n’est qu’une forme
particulière du précédent) prennent un sens évident si on comprend que f(t) et
F(f) sont les composantes de f(t) sur deux ensembles de fonctions de base
orthonormées :
{ δ (t − τ ) (t ∈ [−∞, +∞]) } et { e jω t (ω ∈ [−∞, +∞]) }. Ce théorème
n’exprime en effet rien d’autre que le fait que le produit scalaire de deux
fonctions (et donc le carré de la norme d’une fonction) est indépendant du repère
sur lequel on les projette.
On peut également démontrer que, si f(t) et F(f) sont décomposés en parties
réelle et imaginaire et ensuite ces dernières en parties paire et impaire, on a les
correspondances suivantes :
f(t)=fre(t)+ fro(t)+ jfie(t)+ jfio(t)
(7.21)
F(f)=Fre(f)+ Fro(f)+ jFie(f)+ jFio(f)
9
L'application des relations (7.20) à un signal réel f(t) :
f (t ) = f re (t ) + f ro (t ) ⇔ F ( f ) = Fre ( f ) + jFio ( f )
(7.22)
= A( f ) exp( jϕ ( f ))
qui montre que l'amplitude spectrale est une fonction paire en tandis que la
phase spectrale est une fonction impaire en f (Fig. 7.4). Autrement dit, les
exponentielles complexes dont est constitué un signal réel vont toujours par
paires complexes conjuguées (de même amplitude, tournant à même vitesse
dans des sens opposés et avec des phases initiales opposées).
f(t)
j(f)
A(f)
A(0)
Fig. 7.4 Amplitude et phase de la transformée de Fourier d’un signal non périodique f(t).
7.1.4 Séries de Fourier
La propriété (7.17) reste valable pour les signaux périodiques de puissance finie.
En vertu de l’extension du produit scalaire aux fonctions périodiques (7.9),
l’application de la projection (7.18) à une fonction périodiques fT0(t) s'écrit en
effet, au sens des distributions :
FT0 (f) =< fT0 (t), e jω t
⎡0
⎢
> = ⎢1
⎢ T0
⎣
Distr .
si ω ≠ kω 0
T0 / 2
∫
fT0 (t)e
− jω t
dt
si ω = kω 0
(ω 0 =
2π
)
T0
(7.23)
−T0 / 2
ce qui correspond, au sens classique, à un train d’impulsions de Dirac de poids
variables avec la fréquence :
FT0 (f) =
∞
∑ Fkδ ( f − kf 0 )
k =−∞
avec Fk =
1
T0
T0 / 2
∫
−T0 / 2
fT0 (t)e− jkω0t dt
(7.24)
10
Les signaux périodiques possèdent donc un spectre de raies (Fig. 7.5).
L’amplitude de ces raies est égale à l’amplitude du spectre du signal non
périodique f(t) (à partir duquel le signal fTO(t) a été obtenu), divisée par la
période T0.
fT0(t)
AT0(f)
j T0 (f)
A(0)/T0
Fig. 7.5 Amplitude et phase de la transformée de Fourier d’un signal périodique fT0(t).
La somme continue (7.17) se réduit finalement une somme discrète, que l’on
appelle série de Fourier associée à fT0(t) :
fT0 (t ) =
∞
∑ Fe
k =−∞
jkω 0t
(7.25)
k
Les signaux périodiques possèdent donc un spectre de raies (d’impulsions de
Dirac) dont les amplitudes (les poids) sont égales aux coefficients de leur
décomposition en série de Fourier.
Exemple 7.4
Il est évident qu'une exponentielle imaginaire de pulsation ω0 peut être décomposée comme
une somme continue et pondérée d'exponentielles imaginaires : la seule exponentielle
intervenant dans cette décomposition est bien entendu l'exponentielle de départ (Fig. 7.6).
F(f)
1
F
exp( jω 0t ) ⇔ δ ( f − f 0 )
f
0
Fig. 7.6 Transformée de Fourier d’une exponentielle imaginaire
f0
11
Exemple 7.5
De même, on sait déjà qu'un cosinus est la somme de deux exponentielles imaginaires
conjuguées et d'amplitude 1/2; la décomposition s'exprime donc comme à la Fig. 7.7.
A(f)
1/2
F
1/2
1
cos(ω 0t ) ⇔ [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ]
2
f
-f0
0
f0
Fig. 7.7 Transformée de Fourier d’un cosinus
En particulier, la fonction f(t)=1 n'est rien d'autre qu'un cosinus de fréquence nulle :
A(f)
1
F
1⇔ δ ( f )
f
0
Fig. 7.8 Transformée de Fourier d’une constante
On trouve tout aussi facilement, et sans aucun calcul d'intégrale :
A(f)
1/2
1/2
F
1
sin(ω 0t ) ⇔ .[δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 ) ]
2j
-f0
f
0
f0
Fig. 7.9 Transformée de Fourier d’un sinus
Exemple 7.6
La projection d’un train d'impulsions (ou peigne) de Dirac temporel de période T0 sur les
fonctions de base donne un train d’impulsions de Dirac fréquentiel de période f0 et
d'amplitude 1/T0.
δ T (t ) =
0
∞
F
1
∑ δ (t − nT ) ⇔ T
0
n =−∞
δf (f)
0
0
f(t)
F(f)
1
1/T0
F
t
-3T0 -2T0 -T0
0
T0
2T0 3T0
⇔
f
-3f0
-2f0
-f0
0
f0
2f0
3f0
12
Fig. 7.10 Transformée de Fourier d’un train d’impulsions
Cette dernière relation permet d’ailleurs de comprendre l’équation (7.24) et la Fig. 7.5
différemment. En effet, puisqu’on a :
fT0 (t ) = f (t ) * δ T0 (t )
(7.26)
cette convolution se traduit en transformée de Fourier par un produit6 :
FT0 ( f ) =
1
F ( f )δ f0 ( f )
T0
(7.27)
Notons pour terminer qu’on caractérise souvent un signal périodique par sa
valeur quadratique moyenne (RMS : root mean square), également appelée
valeur efficace :
FRMS = < fT0 (t ), fT0 (t ) >
1
=
T0
T0 / 2
∫
(7.28)
| fT0 (t ) |2 dt
−T0 / 2
Il est facile de calculer cette valeur si on connaît la décomposition de fT0 (t) en
séries de Fourier :
FRMS
1
=
T0
⎛ ∞
jkω 0t
⎜ ∑ | Fk e
∫
−T0 / 2 ⎝ k =−∞
T0 / 2
2
⎞
| ⎟ dt
⎠
(7.29)
∞
∑|F
=
k =−∞
k
|2
Exemple 7.7
a2 a2
a
+
=
4
4
2
FRMS =
La valeur RMS de asin(ω0t) est donnée par :
La valeur RMS du signal x(t) = cos(ω0t+π/4) +3 cos(2ω0t) – 2 sin(3ω0t) est donnée par (Fig.
7.11) :
FRMS =
1 1 9 9
+ + + +1+1 = 7
4 4 4 4
|X(f)|
3/2
3/2
1
1
1/2
1/2
-3f0
-2f0
-f0
0
f
f0
2f0
3f0
Fig. 7.11 Transformée de Fourier du signal
6 En principe, notons que le produit d’une impulsion de Dirac δ(t) avec une fonction f(t) n’est pas
défini au sens classique. Nous l’accepterons ici, au sens des distributions, en supposant que le
produit est une impulsion f(0)δ(t). Le résultat (7.27) est alors identique à (7.24).
13
7.1.5 Notation en ω
On représente parfois la transformée de Fourier (et les séries de Fourier) en
utilisant la variable de pulsation ω plutôt que la fréquence f.
Cette notation en F(ω) a pour avantage de rendre l’écriture plus compacte.
Puisqu’on décompose que sur des exponentielles imaginaires, ω apparaît en effet
tout naturellement. La notation en F(f) utilisée ici devrait en principe faire
apparaître explicitement f dans les expressions utilisées jusqu’ici. Ainsi,
l’expression (7.17) devrait s’écrire :
∞
f(t) =
∫ F(f)e
j 2π ft
df
(7.30)
−∞
Pour ne pas alourdir les notations, nous avons maintenu ω dans les expressions
de F(f), en supposant implicitement que le lecteur remplacera de lui-même
automatiquement ω par 2πf.
Par contre, la notation en f a pour avantage de faire ressortir la symétrie entre la
transformée de Fourier et son inverse. Elle élimine les nombreux facteurs 2p qui
apparaissent dans les propriétés de la transformée lorsqu’elles sont exprimées en
w. Ainsi par exemple, l’expression (7.17) devient, en w :
∞
1
f(t) = ∫ F(f)e df =
2π
−∞
jω t
∞
∫ F (ω )e
jω t
dω
(7.31)
−∞
En principe, lorsqu’une fonction f(t) possède une transformée F(f), le passage à
F(ω) est immédiat : F(ω)=F(f). Seul l’axe des abscisses change, dans la
représentation. Ainsi par exemple, l’expression analytique de la transformée de
recta(t) n’est pas modifiée (Fig. 7.12).
A(w)
A(f)
a
a
sin aπ f
aπ f
aω
sin
2
=a
aω
2
F
recta (t ) ⇔ a
w
f
0
1/a
2/a
3/a
0
2p/a 4p/a 6p/a
Fig. 7.12 Transformée de Fourier en f et en ω. : cas général
Le seul cas où le changement de variable modifie la valeur de la transformée est
celui de l’impulsion de Dirac. En effet, l’impulsion de Dirac n’est pas définie en
tant que fonction (par sa valeur), mais uniquement est tant que distribution (à
travers une intégration sur sa variable de définition). Ainsi, l’écriture :
14
∞
∞
−∞
−∞
∫ δ (f)df = 1 =
∫ δ ( ω )dω
(7.32)
impose que d(f)=2pd(w) (Fig. 7.13)
cos(ω 0t )
F
⇔
A(w)
A(f)
1
[δ ( f − f0 ) + δ ( f + f 0 )]
2
= π [δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ) ]
1/2
p
1/2
p
f
f
-f0
0
f0
-f0
0
f0
Fig. 7.13 Transformée de Fourier en f et en ω. : cas des transformées en d(f)
7.2 Calcul analytique de la Transformée de Fourier
Les relations (7.19)et (7.24) définissent en principe la transformée de Fourier de
n’importe quel signal à énergie ou puissance finie. En pratique, ces expressions
ne sont pas toujours faciles à estimer. Nous donnons ici une méthode permettant
un calcul analytique approché, et que l’on doit à E. Guillemin. Les sections 7.3 et
7.4 s’emploieront à donner une méthode permettant le calcul numérique sur
ordinateur.
7.2.1 Signal non périodique
Considérons l'approximation d'un signal x(t) par un signal formé de lignes
brisées xL(t). Si on dérive deux fois le signal xL(t), on obtient un signal xL"(t) qui
est constitué d'impulsions de Dirac dont on connaît immédiatement la
transformée de Fourier :
F
n
n
xL "(t ) = ∑ kiδ (t − ti ) ⇔ ∑ ki exp(− jω ti )
i =1
(7.33)
i =1
Comme chaque dérivation introduit un facteur
Fourier, on a :
jω dans la transformée de
F
xL "(t ) ⇔− ω 2 X L ( f )
(7.34)
On en déduit l'expression de la transformée de Fourier de xL(t) :
F
xL (t ) ⇔ X L ( f ) = −
1
ω2
n
∑ k exp(− jωt )
i =1
i
i
(7.35)
Notons que cette dernière expression n’est correcte en f=0 que si la moyenne m
du signal est nulle, avec m donné par :
T
1
m = lim ∫ x(t )dt
T →∞ T
−T
(7.36)
15
En effet, (7.35) donne le même résultat si on ajoute une constante à x(t), vu la
dérivation. On doit donc tenir compte de m s’il n’est pas nul, et le faire
apparaître explicitement dans la composante XL(0) :
F
xL (t ) ⇔ X L ( f ) = X L ( f ) + m δ ( f )
(7.37)
Fig. 7.14 Double dérivation d’un signal approché par des lignes brisées
Exemple 7.8 – rectangle recta(t)
On retrouve facilement le résultat de l’Exemple 7.2
recta’(t)
recta(t)
1
1
t
-a/2
a/2
recta '(t ) = δ (t + a / 2) − δ (t − a / 2)
F
recta '(t ) ⇔ exp( jaω / 2) − exp(− jaω / 2)
F
recta (t )
⇔a
sin(aω / 2)
aω / 2
a/2
-a/2
-1
16
Il n’y a pas lieu de corriger cette expression, puisque m=0.
Exemple 7.9 – triangle tria(t)
tria’(t)
tria(t)
tria’’(t)
tria "(t ) = 1/ a.[δ (t + a) − 2δ (t ) + δ (t − a) ]
F
tria "(t ) ⇔ 1/ a.[ exp( jaω ) − 2 + exp(− jaω )]
= 2 / a.[ cos(aω ) − 1] = −4 / a.sin 2 (aω / 2)
F
⎡ sin(aω / 2) ⎤
tria (t ) ⇔ 4 /(aω 2 ).sin 2 (aω / 2) = a. ⎢
⎣ aω / 2 ⎥⎦
2
A(f)
f
-2
-1
1
2
17
Exemple 7.10
2a
A(f)
2a.
f
-3/a
-2/a
-1/a
1/a
x '(t ) = δ (t + a) − 2δ (t ) + δ (t − a)
F
x '(t ) ⇔ exp( jaω ) − 2 + exp(− jaω ) = 2 cos(aω ) − 2
⎡ sin(aω / 2) ⎤
X (ω ) = 2 / jω [ cos(aω ) − 1] = j 2a (aω / 2) ⎢
⎣ aω / 2 ⎥⎦
2
Exemple 7.11
2/a
3/a
18
x "(t ) =
1
[δ (t + T / 2) − δ (t − T / 2)]
T
sin(ωT / 2)
x(t ) ⇔ X ( f ) = − j (1/ ω )
ωT / 2
F
Il faut tenir compte de la valeur moyenne du signal, qui vaut ½ :
F
x(t ) ⇔
δ(f )
2
− j (1/ ω )
sin(ωT / 2)
ωT / 2
7.2.2 Signal périodique
Lorsque le calcul de la décomposition en séries de Fourier d’un signal (par
intégrations) devient trop compliqué, on peut toujours calculer la transformée de
Fourier d’une de ses périodes (en supposant que ce calcul soit plus simple7), et
en déduire la transformée de Fourier du signal périodique (c’est à dire la
décomposition en séries de Fourier recherchée). On a vu en effet (7.27) qu’un
signal périodique xT0(t) peut être vu comme la convolution d’une de ses périodes
x(t) avec un train d’impulsions de Dirac δT0(t) (7.5). On obtient immédiatement
les raies de la décomposition en séries recherchée :
Fk =
1
F(kf 0 )
T0
(7.38)
7.3 Introduction à la théorie de l’échantillonnage
7.3.1 Principe
L'échantillonnage d'un signal analogique représenté par une fonction f (t )
consiste à construire, à partir de f (t ) , un signal à temps discret f (n) = f (nTe )
obtenu en mesurant la valeur de f (t ) toutes les Te secondes (c’est-à-dire avec
une fréquence d’échantillonnage Fe) (Fig. 7.15) :
f (n) = f (nTe )
(7.39)
f(t)
f(n)
Fe
Fig. 7.15 Représentation schématique
de l’échantillonnage
Ceci revient également à construire le signal impulsionnel f + (t ) défini par 8:
7 En pratique, on pourra le faire, soit en utilisant la technique 7.2.1, soit en calculant la
transformée de Fourier numériquement (7.4).
Si f (t ) subit une discontinuité par saut à un instant d'échantillonnage, on
convient de poser :
8
f (nTe ) = 1/ 2. ⎡⎣ f (nTe+ ) + f (nTe− ) ⎤⎦
f + (t ) = f (t )δ Te (t ) = ∑ f (nTe )δ (t − nTe )
19
(7.40)
n
Le schéma de principe de l'échantillonnage est décrit à la Fig. 7.16.
Fig. 7.16 Représentation mathématique
de l'échantillonnage
On peut alors interpréter la transformée de Fourier F + ( f ) de f + (t ) comme celle
d'un produit9, et en calculer la transformée de Fourier :
⎡1
⎤ 1
F + ( f ) = F ( f ) * ⎢ δ fe ( f ) ⎥ =
⎣ Te
⎦ Te
∞
∑ F ( f − nf )
k =−∞
(7.41)
e
On en conclut que la transformée de Fourier d'un signal échantillonné est
périodique en f, de période fe. Cette périodicité résulte de la superposition de
toutes les translatées (à des multiples entiers de fe) de la transformée de Fourier
du signal original divisée par Te (Fig. 7.17, à comparer à la Fig. 7.4).
f+(t)
Te
A(f)
A(0)/Te
-Fe
Fe
9 Avec les même réserves que plus haut concernant le produit d’une fonction par une impulsion de
Dirac.
20
Fig. 7.17 Spectre d’un signal échantillonné
7.3.2 Recouvrement spectral (aliasing)
Si le spectre F(f) du signal analogique f(t) n'est pas nul au delà de fe, la
superposition (7.41) peut conduire à des empiétements des translatées (Fig. 7.18).
Ce phénomène est appelé recouvrement (ou repliement) spectral (en anglais :
aliasing).
Fig. 7.18 Phénomène de recouvrement10
Le recouvrement spectral a pour conséquence que le signal à temps discret f(n)
obtenu par échantillonnage n'est plus une image correcte de f(t), mais bien du
signal f (t ) dont le spectre est donné par F + ( f ) entre -fe et +fe (Fig. 7.19).
Fig. 7.19 Spectre du signal analogique supposé
Le terme de repliement spectral est d’ailleurs tout à fait justifié (plus encore que
celui de recouvrement). En effet, tout se passe comme si la partie de F(f)
inférieure à fe/2 se trouvait additionnée à la partie de ce même F(f) supérieure à
fe/2, repliée autour de fe/2 et conjuguée (Fig. 7.20).
A+(f)
Fe /2
Fe
10 Ce graphique, ainsi que les deux suivants, est ici à des fins didactiques, mais il peut porter à
confusion : en réalité, c’est le spectre complexe F(w) qui est additionné à des translatées de luimême, et pas le spectre d’amplitude.
21
Fig. 7.20 Repliement spectral11
On cherche donc en général à éviter ce phénomène, en faisant en sorte que le
spectre de la fonction f (t ) soit à support borné [-fM,+fM] avec fM<fe/2 (Fig. 7.21).
2
Fig. 7.21 Illustration du non-recouvrement
Exemple 7.12
On échantillonne une sinusoïde f (t ) = sin(2π f 0t ) à la fréquence d’échantillonnage de
10000 Hz. Dessinons l’allure des échantillons (c’est-à-dire l’allure de la fonction f+(t)
correspondante) pour des valeurs de f0 égales à : 1000 Hz, 2500 Hz, 5000 Hz, 7500 Hz,
9000 Hz, et 31000 Hz.
Pour que les graphiques possèdent des axes temporels identiques, choisissons de montrer
les 10 premières ms des signaux (Fig. 7.22).
subplot(6,1,1);
subplot(6,1,2);
subplot(6,1,3);
subplot(6,1,4);
subplot(6,1,5);
subplot(6,1,6);
stem(sin(2*pi*1000*[0:99]/10000));
stem(sin(2*pi*2500*[0:99]/10000));
stem(sin(2*pi*5000*[0:99]/10000));
stem(sin(2*pi*7500*[0:99]/10000));
stem(sin(2*pi*9000*[0:99]/10000));
stem(sin(2*pi*31000*[0:99]/10000));
11 Ce graphique est en réalité assez réducteur : non seulement ce ne sont pas les spectres
d’amplitude qui s’additionnent (mais bien les spectres complexes), mais de plus l’opération de
repliement est en réalité associée à la conjugaison de F(f).
22
1
0
-1
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0x 10 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
-1
5
-14
0
-5
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
Fig. 7.22 Echantillonnage de sinusoïdes
On constate :

Que seuls les échantillonnages des sinusoïdes à 1000 et 2500 Hz donnent une image
réaliste des signaux sous-jacents (on peut retrouver la fréquence des sinusïdes
correspondantes en mesurant leur période sur le graphique).

Que l’échantillonnage de la sinusoïde à 5000 Hz fait apparaître un signal d’amplitude
très petite. En théorie, les échantillons devraient être tous nuls. Les valeurs non
nulles apparaissant sur le graphique sont le résultat d’erreurs d’arrondis de Matlab.

Que les échantillonnages des sinusoïdes à 7500 Hz et 9000 Hz donnent des résultats
identiques (au signe près) à ceux des sinusoïdes à 2500 Hz et 1000 Hz. Il est par
conséquent impossible, après échantillonnage, de retrouver la fréquence exacte des
sinusoïdes sous-jacentes. C’est le résultat du repliement spectral des sinusoïdes de
départ autour de la demi-fréquence d’échantillonnage (5000 Hz).

Que l’échantillonnage de la sinusoïde à 31000 Hz donne exactement le même
résultat que celui d’une sinusoïde à 1000 Hz. C’est le résultat de la superposition de
toutes les translatées (à des multiples entiers de Fe) de la transformée de Fourier du
signal original.
23
Les modules des transformées de Fourier de ces divers signaux sont esquissés à la Fig. 7.23.,
où la transformée de Fourier de la sinusoïde analogique est dessiné en trait plus gras. Le cas
particulier de l’échantillonnage à 5000 Hz s’explique par le fait que les translatées du spectre
de la sinusoïde de départ s’additionnent au sens des nombres complexes. On retrouve sur
ces représentations fréquentielles ce qui a été dit ci-dessus pour les représentations
temporelles.
A(f)
1/2
f
-10000
10000
0 1000
A(f)
1/2
f
-10000
2500
0
7500
10000
A(f)
f
-10000
10000
0 1000
A(f)
1/2
f
-10000
2500
0
7500 10000
A(f)
1/2
-10000
0 1000
10000
9000
f
A(f)
1/2
f
-10000
0 1000
10000
Fig. 7.23 Transformée de Fourier des sinusoïdes échantillonnées
24
7.3.3 Filtre de garde
On sait qu'une fonction dont le spectre est à support borné est illimitée dans le
temps. Un signal physique n'est jamais illimité dans le temps et par conséquent
son spectre n'est pas à support borné. Il ne respecte donc normalement pas la
condition de non-recouvrement. Par ailleurs, tout signal est affecté par des bruits
additifs, qui portent des composantes à haute fréquence. Ces bruits peuvent
venir dégrader le spectre utile du signal par repliement spectral.
Lorsque c’est possible, on fait donc précéder l'échantillonnage d'un filtre dont les
spécifications seront définies pour vérifier la condition de non recouvrement; ce
filtre sera appelé filtre de garde ou filtre anti-repliement. (Fig. 7.24).
fLP(t)
f(t)
f(n)
Fe
we/2
Fig. 7.24 Filtre de garde idéalisé
On commet donc toujours une erreur en fixant la limite du spectre à Fe/2 : les
composantes du signal à plus haute fréquence ne sont pas prises en compte.12
7.4 Calcul numérique de la Transformée de Fourier
L’estimation numérique de la transformée de Fourier d’un signal f(t) non
périodique peut se faire en calculant la transformée de Fourier F + ( f ) de f + (t )
(obtenu par échantillonnage de f(t) à la fréquence Fe) et en essayant d’en
déduire F ( f ) malgré le recouvrement.
Le calcul de F + ( f ) est obtenu en exprimant la transformée de Fourier de f + (t ) :
+
F (f) =
∞
∫
−∞
+
f (t)e
− jω t
∞
∞
⎛ ∞
⎞
dt = ∫ ⎜ ∑ f (n)δ (t − nTe ) ⎟ e − jω t dt = ∑ f (n)e− jω nTe
n =−∞
⎠
−∞ ⎝ n =−∞
(7.42)
Il est clair que ceci impose trois contraintes :
1. Le calcul de F + ( f ) suppose que l’on prenne en compte tous les
échantillons de f(t). Ceci n’est possible que si f(t) est à support borné :
f(t)=0 si |t|>tM. Dans le cas contraire, (7.42) porterait sur un nombre infini
de valeurs13. Si f(t) est un signal dont l’enveloppe temporelle décroît
exponentiellement (comme typiquement dans le cas d’un réponse
impulsionnelle, on échantillonnera jusqu’à ce que les valeurs de
échantillons deviennent négligeables par rapport au maximum de f(t).
12 Cette erreur n’est pas nouvelle. Tout système de mesure analogique souffre du même
inconvénient : les composantes des signaux mesurés supérieures à la bande passante du système
de mesure ne sont pas prises en compte.
13 Il est malgré tout possible d’estimer
F( f )
à partir d’une version tronquée de
du cadre de ce cours, et sera étudié en Traitement du Signal.
f + (t ) . Ceci sort
25
2. L’estimation de F ( f ) à partir de F + ( f ) ne sera possible que si le
recouvrement est faible, ce qui impose d’utiliser une fréquence
d’échantillonnage suffisamment élevée, ou, lorsque c’est possible, de
placer un filtre de garde avant l’échantillonnage.
3. Il ne sera possible de retrouver
périodicité de F + ( f ) .
F ( f ) qu’entre f=0 et Fe/2, vu la
Vu son importance pour l’étude des signaux, l’expression (7.42) a été largement
étudiée, et est calculable numériquement à l’aide d’outils logiciels spécifiques,
appelés algorithmes de Transformée de Fourier Rapide. Sous Matlab, c’est la
fonction freqz qui réalise cette opération. Elle permet de spécifier les fréquences
où l’on veut estimer F + ( f ) , ainsi que la fréquence d’échantillonnage :
freqz(x,1,f,fe) % X(f) aux fréquences contenues dans le vecteur f
Cette fonction sera utilisée intensivement dans le cours de Traitement du Signal.
Exemple 7.13
On cherche à calculer la transformée de Fourier de recta(t)/2a. On demande :
•
de choisir la fréquence d’échantillonnage de façon que la valeur maximale de la
transformée de Fourier de recta(t)/2a soit affectée de moins de 1% d’erreur par
repliement spectral (on suppose qu’il n’y a pas de filtre de garde);
•
de vérifier ce résultat sous Matlab.
Il est clair qu’il y aura repliement spectral, quelle que soit la fréquence d’échantillonnage
choisie. En effet, la transformée de Fourier de recta(t)/a est donnée par :
F
recta (t ) / a ⇔
sin(aω / 2)
aω / 2
Son enveloppe est donc donnée par 2/aw. Le maximum du spectre se trouve en f=0 et vaut
1. Si l’on suppose que l’effet du repliement est surtout du au premier spectre image à droite,
qu’on approxime ce spectre par son enveloppe (Fig. 7.25), et qu’on suppose que l’amplitude
du spectre résultant est la somme des amplitudes du spectre de base et de ce premier
spectre image14, il vient :
F ( Fe ) < 0.01 max( F ( f ) ) = 0.01
2 /(a 2π Fe ) < 0.01
Fe > 100 / π a
14 En réalité la somme étant complexe, l’effet du recouvrement sera en général moindre que celui
calculé ici.
A(f)
1
Enveloppe du premier
spectre image
<1%
0
f
1/a
2/a
3/a
Fig. 7.25 Effet approximatif du repliement
Si on prend par exemple a=1 (ce qui correspond à un carré d’une seconde), on trouve à peu
près Fe>30. Comme chaque lobe a une largeur de 1Hz, on constate qu’il faut 30 lobes pour
que l’erreur soit de moins de 1%.
Pour voir cet effet sous Matlab, on affiche la transformée F + ( f ) du signal obtenu par
échantillonnage de rect1(t) à une fréquence largement supérieure à 30 Hz (ex : 300 Hz). Le
signal est donc constitué de 300 échantillons égaux à 1. On constate que le spectre obtenu
est pratiquement exempt de repliement spectral entre 0 et 30 Hz, et correspond donc
pratiquement à F(f).
freqz([ones(1,300)],1,0:1/10:30,300) % F(f) entre 0 et 30 Hz => 30 lobes
zoom sur F(f)
Magnitude Response (dB)
26
60
40
20
0
0
5
10
15
Frequency (Hertz)
20
25
Fig. 7.26 Transformée de Fourier de rect1(t)
On constate que l’enveloppe de F(f) à 30 Hz est bien 40 dB sous F(0) (c’est-à-dire 1% de
F(0)).
Notons qu’en pratique, on ne connaît pas la transformée de Fourier que l’on cherche à
calculer. Le calcul ci-dessus pour le choix de Fe est alors remplacé par une estimation
itérative : partant d’une première valeur de Fe, on augmente progressivement Fe jusqu'à ce
que la transformée de Fourier mesurée ne change plus beaucoup. On a alors atteint une
valeur suffisante pour éviter le recouvrement spectral. Une alternative consiste à utiliser dès
le départ une fréquence d’échantillonnage suffisamment élevée pour que la condition de nonrecouvrement soit vérifiée à coup sûr.
27
Le calcul numérique des coefficients de la décomposition en séries de Fourier
d’un signal fT0(t) périodique pourra quant à lui se faire selon la technique
exposée en 7.2.2.
7.5 Analyse fréquentielle des systèmes analogiques
L’analyse de Fourier (séries ou transformée) est très utile en théorie des circuits,
et d’une façon plus générale en théorie des systèmes linéaires.
7.5.1 Réponse d’un circuit linéaire en régime périodique non
sinusoïdal
Nous avons montré au chapitre 5 que la réponse d’un circuit linéaire en régime
sinusoïdal s’obtient simplement en calculant la réponse isochrone H(jω) du circuit
à la fréquence de l’exponentielle imaginaire d’entrée : la sortie est une
exponentielle imaginaire à même fréquence que le signal d’entrée. Son
amplitude est multipliée par |H(jω)| et arg(H(jω)) est ajouté à sa phase initiale.
Le cas du calcul d’un régime non sinusoïdal a par ailleurs déjà été abordé à
l’exercice 4.4. Dans le cas d’excitations simples (typiquement une onde
rectangulaire ou un signal par paliers), il est possible de scinder le problème en
autant de sous-problèmes qu’il n’y a de paliers dans la période du signal
d’excitation. Chaque sous-problème demande la calcul de la réponse complète
(libre et forcée) du système excité par ses conditions initiales propres et par le
palier d’excitation correspondant. Le conditions initiales de chaque sous problème
sont données par la réponse forcée du sous problème précédent, et
l’indétermination sur les conditions initiales sur premier sous-problème est levée
par le fait que la réponse en fin de période doit être identique à la réponse en
début de période (vu qu’on suppose le circuit en régime). Il est difficile d’étendre
cette méthode
On peut à présent tenir un raisonnement identique pour les signaux périodiques
non sinusoïdaux, en passant par leur décomposition en séries de Fourier (Fig.
7.27).
xT0(t)
t
S.L.I.
yT0(t)
t
Fig. 7.27 SLI excité par un signal périodique
Ainsi, si le signal d’excitation est décomposé selon (7.25) en :
xT0 (t ) =
∞
∑Xe
k =−∞
jkω 0t
k
On trouve immédiatement, si le circuit de la Fig. 7.27 est linéaire :
(7.43)
28
yT0 (t ) =
=
∞
∑Ye
jkω0t
k
k =−∞
(7.44)
∞
∑X
k =−∞
k
H ( jkω 0 ) e
j ( kω 0t +∠H ( jkω 0 ))
ce qui constitue le développement en séries de Fourier de la sortie du circuit.
Le calcul de la décomposition en séries peut alors être réalisé analytiquement ou
numériquement, comme exposé dans les sections précédentes.
Exemple 7.14
Une onde carrée est appliquée à l’entrée du circuit de la Fig. 7.28 (avec R=1Ω, C=1/3F, et
L=1/2H). On demande de calculer l’amplitude des trois premiers harmoniques du signal de
sortie.
t
1
2
y(t)
3
Fig. 7.28 Circuit RLC excité par une onde carrée
La décomposition en séries de Fourier du signal d’entrée peut être obtenue par calcul de la
transformée de Fourier de sa période (Fig. 7.29), en utilisant par exemple la méthode de
Guillemin :
u '0 (t ) = −δ (t + 1) + 2δ (t ) − δ (t − 1)
U '0 ( f ) = 2 − (e jω + e − jω ) = 2 − 2 cos(ω )
U0 ( f ) =
2 − 2 cos(ω )
jω
1
U( f ) =
T0
∞
∑U
k =−∞
0
(kf 0 )δ ( f − kf 0 )
1 ∞ 2 − 2 cos(kπ )
= ∑
δ ( f − k / 2)
2 k =−∞
jkπ
=
1 − cos(kπ )
δ ( f − k / 2)
jkπ
k =−∞
∞
∑
(7.45)
29
u’0(t)
2
u0(t)
t
t
1
-1
-1
Fig. 7.29 Une période de l’onde carrée et sa dérivée
On trouve donc pour l’amplitude des trois premiers harmoniques du signal d’entrée (Fig.
7.30):
U ( f = 1/ 2) = U ( f = −1/ 2) =
2
π
U ( f = 1) = U ( f = −1) = 0
(7.46)
U ( f = 3 / 2) = U ( f = −3 / 2) =
2
3π
|U(f)|
2/p
2/p
2/3p
2/3p
f
-3/2
-1
-1/2
0
1/2
1
3/2
Fig. 7.30 Module de la transformée de Fourier de u(t) (trois premiers harmoniques)
Or H(f) est donné par :
R
1/ LC
pRC + 1
=
R
+ ( R + pL) p ² + p ( R / L + 1/ RC ) + 2 / LC
pRC + 1
6
=
p ² + 5 p + 12
6
H( f ) =
(12 − ω ²) 2 + 25ω ²
H ( p) =
(7.47)
On en déduit la réponse en fréquence pour les harmoniques 1 et 3 :
H (1/ 2) = 0.3785
H (3 / 2) = 0.0666
Et on obtient finalement (Fig. 7.31):
(7.48)
30
Y ( f = 1/ 2) = Y ( f = −1/ 2) =
2
0.3785 = 0.2410
π
Y ( f = 1) = U ( f = −1) = 0
(7.49)
Y ( f = 3 / 2) = Y ( f = −3 / 2) =
2
0.0666 = 0.0141
3π
|Y(f)|
0.2410
0.2410
0.0141
0.0141
-3/2
-1
-1/2
0
1/2
1
f
3/2
Fig. 7.31 Module de la transformée de Fourier de y(t) (trois premiers harmoniques)
7.5.2 Réponse d’un circuit non-linéaire en régime périodique –
Taux de distorsion harmonique
Un système non-linéaire est (entre autres choses) caractérisé par le fait que,
lorsqu’on lui soumet un signal xT0(t) sinusoïdal pur en entrée, le signal de sortie
yT0(t) contient des composantes à des fréquences harmoniques de la fréquence
du signal d’entrée (fi=i f0), créées par le système. Ces harmoniques
additionnelles résultent de la distorsion du signal d’entrée.
Le taux global de distorsion harmonique est une grandeur permettant de
caractériser la linéarité ou la non-linéarité d’un système. Il est défini par le
rapport entre la valeur efficace du signal de sortie dont on a éliminé le
fondamental et la valeur efficace du signal de sortie complet :
TDH =
⎛ ∞
⎜ ∑ | Yk
⎝ k =−∞
⎞
|2 ⎟ − (| Y1 |2 + | Y−1 |2 )
⎠
∞
∑ |Y
k =−∞
k
= 1−
(| Y1 |2 + | Y−1 |2 )
∞
∑ |Y
2
|
k =−∞
<1
(7.50)
2
k
|
Exemple 7.15
Si on introduit un signal x(t) = cos(ω0t) à l’entrée d’un système non-linéaire très simple
caractérisé par la relation y(t) =x(t)+x²(t)¸ il vient immédiatement (Fig. 7.32) :
y(t) = cos(ω0t)+cos²(ω0t) = 1/2+cos(ω0t)+cos(2ω0t)/2
|Y(f)|
1/2
1/2
1/2
1/4
1/4
f
-2f0
-f0
0
f0
2f0
Fig. 7.32 Transformée de Fourier du signal de sortie y(t)
On en déduit que le taux de distorsion harmonique du système est de :
TDH = 1 −
31
1/ 4 + 1/ 4
6
=
1/ 4 + 1/ 4 + 1/ 4 + 1/16 + 1/16
14
7.5.3 Réponse forcée d’un circuit linéaire
Il nous est à présent possible de calculer la réponse forcée d’un SLI (à l’état
quiescent) dont on connaît l’entrée et la réponse en fréquence. On a en effet, en
vertu de la propriété de convolution de la transformée de Fourier :
F
y (t ) = h(t ) * x(t ) ⇔ Y ( f ) = H ( f ) X ( f )
(7.51)
La réponse isochrone, introduite pour le calcul de la réponse en régime
sinusoïdal, permet ainsi en réalité de calculer la réponse forcée à n’importe
quelle excitation (sinusoïdale ou pas, périodique ou pas). Cette réponse forcée
comprendra en général une composante transitoire et une composante de
régime (on ne se retreint donc même plus uniquement au calcul de la
composante de régime).
Exemple 7.16 - Cellule RC excitée par un échelon unité
Pour vérifier que le résultat obtenu par la transformée de Fourier est bien identique à celui
obtenu par transformée de Laplace, calculons la sortie d’un quadripôle simple à un échelon
unité (Fig. 7.33).
Fig. 7.33 Réponse d’un quadripôle simple à un échelon unité
Il vient immédiatement :
H ( p) =
pRC
1 + pRC
et
H (ω ) =
jω RC
1 + jω RC
Or la transformée de Fourier de l’excitation est obtenue facilement (par la méthode de
Guillemin par exemple) :
U in ( f ) =
1 δ(f )
+
2
jω
D’où :
U out ( f ) = U in ( f ) H ( f ) =
1
jω + 1
RC
Et on trouve facilement (dans des tables de transformées de Fourier) que cette expression
est la transformée du signal que l’on pouvait attendre :
U out (t ) = e − t / RC ε (t )
32
L’utilité de la transformée de Fourier se fait surtout ressentir lorsqu’on ne connaît
pas la réponse opérationnelle d’un système. On peut alors toujours mesurer sa
réponse impulsionnelle h(t), calculer sa transformée de Fourier H(f), et en
déduire la réponse forcée par (7.51).
7.5.4 Conclusion
Il est finalement possible d’étudier la réponse forcée d’un SLI de quatre
façons (Fig. 7.34) :
•
par résolution des équations différentielles régissante les courants et
tensions dans le circuit
•
par convolution dans le domaine temporel
•
par produit dans le domaine opérationnel
•
par produit dans le domaine fréquentiel
Circuit
Electrique
Kirchoff(p)
Kirchoff(t)
Equation
Différentielle
Sol. Gén
+Sol Part.
L
.
X(p)
H(p)
p=jω
L
X(f)
p=jω
.
F
x(t)
Y(p)
H(f)
F
*
p=jω
h(t)
Y(f)
L
F
y(t)
Fig. 7.34 Relations entre grandeurs caractéristiques d’un SLI analogique
L