Revue de modèle

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Revue de modèle

DOSSIER TECHNIQUE
Revue de modèle
Le modèle de Heston
Adrien Génin
Adrien Génin a effectué son Master 2 Ingénierie Financière et Modèles Aléatoires à l’Université Paris 6.
Au sein d’Opus Finance Research, il travaille sur les différentes méthodes de modélisation de la volatilité
implicite et sur les modèles de taux à trois facteurs. Ses compétences en mathématiques et en analyse
numérique lui permettent de proposer des méthodes de valorisation et des indicateurs de risque innovants.
E
n 1993, Steven L. Heston, chercheur à l’université de Yale, propose un modèle à volatilité
stochastique pour expliquer la dynamique de la volatilité, du sous-jacent et l’influence du
premier sur le deuxième. Nous proposons de revenir sur ce modèle dans un but pédagogique
afin de mieux comprendre ses réelles innovations, ses caractéristiques, ses limites et ses difficultés de mise en oeuvre. Bien que ce soit un modèle très classique de la boîte à outils quantitative, en dégager une compréhension intuitive n’est pas si évident...
Le modèle de Heston est un modèle à volatilité stochastique
qui s’inspire à la fois du modèle CIR pour expliquer la dynamique de la volatilité et du modèle de Black-Scholes.
L’idée d’utiliser la volatilité stochastique comme second
facteur de risque a été introduite par John C. Hull et Alan
White en 1987. Elle a été introduite pour répondre à l’échec
du modèle de Black-Scholes à reproduire l’ensemble des
prix des options sur un même sous-jacent.
En 1985, John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll et Stephen A.
Ross ont développé un modèle pour expliquer les phénomènes de clusters et de retour à la moyenne observés sur
les taux d’intérêt qui porte aujourd’hui leurs noms. Avant
de présenter le modèle, regardons ce qui se passe concrètement sur les marchés.
QU’OBSERVE-T-ON SUR LES MARCHÉS ?
Quelle dynamique pour la volatilité ?
Le VIX, pour Volatility Index, est calculé en faisant la
moyenne des volatilités des options d’achat et de vente
sur le S&P 500 : c’est un indicateur de la dynamique de
la volatilité des options. Historiquement, on observe une
volatilité élevée non pas ponctuellement mais sur des intervalles de temps. Ce phénomène s’appelle les clusters de
volatilité. On remarque aussi que la volatilité a tendance à
retourner vers sa moyenne. À la façon d’une masse accrochée à un ressort que l’on étire, le système oscille mais les
frottements diminuent leur amplitude et le ressort se stabilise autour de sa longueur à vide. Ces phénomènes sont
L’économie
Les modèles
LE MODÈLE DE HESTON DANS SON CONTEXTE HISTORIQUE
44
1900 : Louis Bachelier 1973 : Fisher Black et
soutient sa thèse Théorie Myron Scholes publient
de la spéculation.
l’article fondateur The
Pricing of Options and
Corporate Liabilities.
1973 : création du premier marché organisé
d’options, le Chicago
Board Options Exchange
(CBOE).
LL aa rr ee vv uu ee dd ‘‘ OO pp uu ss FF ii nn aa nn cc ee
Nº2 • Décembre 2013
1985 : Cox, Ingersoll et
Ross publient A Theory
of the Term Structure of
Interest Rates. Modèle
avec retour à la moyenne
et clusters pour les taux.
1982 : dette bancaire des
pays en voie de développement suite à une très forte
hausse des taux courts.
1987 : généralisation
du modèle de BlackScholes avec une volatilité stochastique. The
pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities, Hull et White.
1993 : Heston publie A
Closed-Form Solution
for Options with Stochastic Volatility with
Applicatios to Bond and
Currency Options.
Octobre 1987 : crise du
marché obligataire puis
du marché action.
1992-1993 : crise du Système Monétaire Européen.
RETOUR À LA MOYENNE ET CLUSTERS DE VOLATILITÉ OBSERVÉS SUR LE VIX
DOSSIER TECHNIQUE
d’achat et de vente sur le S&P 500 : c’est un indicateur de la dynamique de la volatilité
des options. Historiquement, on observe une volatilité élevée non pas ponctuellement
mais sur des intervalles de temps. Ce phénomène s’appelle les clusters de volatilité. On
remarque aussi que la volatilité a tendance à retourner vers sa moyenne. A la façon d’une
masse accrochée à un ressort que l’on étire, le système oscille mais les frottements diminuent leur amplitude et le ressort se stabilise autour de sa longueur à vide. Ces phénomènes sont nettement visibles sur la période de 2000 à 2013 et sont mis en évidence sur la
figure 2.
Source : Bloomberg
Figure 2 : Retour à la moyenne et clusters de volatilité observés sur le VIX - Source
:
Bloomberg
gative entre le sous-jacent et sa volatilité : c’est l’effet de
levier. Une des raisons de ce phénomène est que la diminution de la valeur des sous-jacents peut entraîner un réajuste(((sous-titre))) Quelle influence sur la dynamique
du sous-jacent ?
ment massif des portefeuilles et donc une augmentation de
En représentant le S&P 500 et le VIX, voir figure 3, on distingue clairement une corrélala volatilité. Dans des périodes de hausses, la nécessité de
tion négative entre le sous-jacent et sa volatilité : c’est l’effet de levier. Une des raisons
En représentant le S&P 500 et le VIX (voir l’encadré réajuster le portefeuille est moins pressante et donc l’effet
de ce phénomène
que la diminution
la valeur
des
entraîner un
ci-dessous),
on distingueestclairement
une corrélationdenéd’urgence
estsous-jacents
amoindri ce quipeut
crée l’asymétrie.
nettement visibles sur la période de 2000 à 2013 et sont mis
en évidence
dans l’encadré ci-dessus.
.
Quelle influence sur la dynamique du sous-jacent ?
réajustement massif des portefeuilles et donc une augmentation de la volatilité. Dans des
périodes de hausses, la nécessité de réajuster le portefeuille est moins pressante et donc
l’effet d’urgence est amoindri ce qui crée l’asymétrie.
EFFET DE LEVIER ENTRE LE SOUS-JACENT2 ET LA VOLATILITÉ
Source : Bloomberg
Figure 3 : Effet de levier entre le sous-jacent et la volatilité - Source : Bloomberg
.
(((titre))) Le modèle
La revue d‘Opus Finance
45
DOSSIER TECHNIQUE
Figure 3 : Effet de levier entre le sous-jacent et la volatilité - Source : Bloomberg
.
FONCTIONNEMENT DU MODÈLE PAS À PAS
LE MODÈLE
Le modèle de Heston est caractérisé par deux équations
(((titre)))Figure
Le
modèle
Figure
: Effetde
delevier
levierentre
entrelelesous-jacent
sous-jacentetetlalavolatilité
volatilité- -Source
Source: Bloomber
: Bloomb
3 3: Effet
différentielles
stochastiques
la différentielles
dynamique
du
Le succesmodèle de Heston
est caractérisé
par deuxdonnant
équations
stochastiques d
En considérant Opus
la variance
à deux
instants
Finance
Research
sous-jacent
et de sa et
volatilité.
nant la. dynamique
du sous-jacent
de sa volatilité.
.
sifs t1 et du
t2 très
proches,pas
entreàlesquels
Fonctionnement
modèle
pas s’est écoulé
un
temps
Δt,
puis
en
discrétisant
la
dynamique
de
√ la volatilité
1
3 : entre
Effet lesquels
de levier entre
le sous-jacent
- Source : Bloomberg
En considérant la variance à deux instants successifs t1 et t2 trèsFigure
proches,
µSt dt + vet
dSt =
t St dWt
(((titre)))
Le
modèle
(((titre)))
Le
modèle
√ - Source
la
variance
par
un
schéma
d’Euler,
on
obtient
l’exFonctionnement
du
modèle
pas
àdvsous-jacent
pas
2
Figure
: Effet
de
entre le
et
la
volatilité
: Bloomberg
s’est écoulé un temps ∆t, puis en discrétisant
la dynamique
de la 3variance
parlevier
un schéma
= κ (θ
−deux
vdeux
+équations
σ vt dWdifférentielles
t
t ) dtéquations
tdifférentiellesstochastique
Lemodèle
deHeston
Heston
estcaractérisé
caractérisé
par
stochastiqu
est
. Le
pression
suivante
:En considérant
la variance
àmodèle
deux de
instants
successifs
t1 et tpar
d’Euler, on obtient
l’expression
suivante
:
2 très proches, entre lesquels
nant
la
dynamique
du
sous-jacent
et
de
sa
volatilité.
nant
la
dynamique
du
sous-jacent
et
de
sa
volatilité.
.
Figure 3 : Effet de levier entre
le sous-jacent
et la∆t,
volatilité
Source
: Bloomberg
Lapuis
variance
de l’actif
processus
desous-jacent
type
CIR,
dula
nom
chercheurs
Jo
Figure
3 : vEffet
deun
levier
entre
le
et
volatilité
- Source
: Bl
s’est écoulé
en- discrétisant
lat 3suit
dynamique
de laentre
variance
par un
schéma
√ temps
Figure
: Effet
de
levier
le sous-jacent
et lades
volatilité
- Sourc
√ un
Stephen
l’actif
deet
υt suit
un
processus
type CIR, duintroduit pour
(((titre)))
Le modèle
√√ l’ontdeinitialement
(θ −
vd’Euler,
+ σle
∆tZ, l’expression
Z
∼Cox,
N(0,
1)
v t2 =
nce Research Figure
tobtient
t1 + κde
t1 ) ∆t
C.et
Jonathan
E.variance
Ingersoll
A.
Ross
qui
11
1
3 :vEffet
levier
entre
la volatilité
-La
Source
onvsous-jacent
suivante
: : Bloomberg
µS
dS
µS
dS
t ==
t dt++ vtvS
tS
t dW
t par
t dt
t dW
t Ingersoll stochastiques
tE.
Le
modèle
Heston
est
caractérisé
deux
équations
différentielles
do
.
chercheurs
John
C.
Cox,
Jonathan
et un paramètre
√√
(((titre)))
Le
modèle
. nom
pliquer
la de
dynamique
des
taux√d’intérêt.
est
2 2 par
. des
Opusà l’instant
Finance
Research
dv
=saκCe
κ(θ(θmodèle
−vtv)t dt
) dt+
+σσcaractérisé
dv
=
−
v
t dW
t tde
tvdW
t t
√
On s’aperçoit
que
la
variance
t
est
essentiellement
déterminée
par
la
variance
nant
la
dynamique
du
sous-jacent
et
volatilité.
2
Le modèle
de Heston
estStephen
caractérisé
par
deux
équations
différentielles
stochastiques
donA.
Ross
qui
l’ont
initialement
introduit
pour
expli.
retour
à
la
moyenne
κ
et
une
variance
long-terme
θ.
Ils
permettent
de
prendre
en
com
κdéterministe
(θ − vt1 ) ∆tet+un
σ vt1 ∆tZ, Z ∼ N(0, 1)
v 2la=moyenne
On ils’aperçoit
queunlaterme
à l’instant
t2vtest
1 +esA cela
faut ajouter
de retour
à l’instant
t1 . Le
(((titre)))
modèle
nctionnement
du modèle
pas variance
à pas
nantàtla
dynamique
du
sous-jacent
sades
volatilité.
(((titre)))
Le
modèle
quer
lal’actif
dynamique
taux
d’intérêt.
la
tendance
de (((titre)))
la
volatilité
àvde
retourner
vers
sa moyenne
après
denom
brutale
P
√
Leet
modèle
Lavariance
variance
de
l’actif
suit
un
processus
de
type
CIR,du
du
nom
deshausse.
chercheu
La
de
un
type
CIR,
des
chercheur
1
tsuit
tv
sentiellement
déterminée
par
la
variance
à
l’instant
=
µSprocessus
vt Sde
dW
dS
bruit,
en
moyenne
mais
dont
la
dispersion
est
proportionnel
au
niveau
de
variance
t
t dt + par
tdeux
Opus
Finance
Research
Le nul
modèle
de
Heston
est
caractérisé
par
deux
équations
différentielles
stochastiques
dont deux
sidérant
la
variance
à
deux
instants
successifs
t
et
t
très
proches,
entre
lesquels
Le
modèle
de
Heston
est
caractérisé
équations
différentielles
stoch
1
2
(((titre))) Le modèle
reprendre
l’exemple
du
ressort,
la
force
de
rappel
d’un
ressort
peut
être
exprimée
de
√
Le
modèle
de
Heston
est
caractérisé
par
équations
différentielles
√
C.
Cox,
Jonathan
E.
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
introduit
ps
C.
Cox,
Jonathan
E.
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
introduit
po
2
On
s’aperçoit
quedela retour
variance
à l’instant
est essentiellement
déterminée
par
la variance
t2pas
→
1+σ v
tentre
. À cela
il faut
ajouter
un
à par
laniveau
dvdu
=
κ (θv−
) dt
etprécédent
t2un
très
proches,
lesquels
Le puis
niveau
de
volatilité
dépend
donc
essentiellement
du
de
volatilité
µS
dtdu
+
dS
Fonctionnement
du
modèle
tpas
tet
t dWt
1 de en
nant
lavmodèle
du
sous-jacent
et de
saterme
volatilité.
tdynamique
t =à
tsous-jacent
t StvdW
oulé
temps
discrétisant
la dynamique
de laéquations
variance
un
schéma
dynamique
1 .∆t,
t paramètre
nant
la
de
sade
volatilité.
Le
Heston
est
caractérisé
par
deux
différentielles
stochastiques
donnant
la
dynamique
sous-jacent
et
sa
volatilité.
Ce
modèle
est
caractérisé
par
un
de
retour
à
la
√
pliquer
la
dynamique
des
taux
d’intérêt.
Ce
modèle
est
caractérisé
par
un
param
pliquer
la
dynamique
des
taux
d’intérêt.
Ce
modèle
est
caractérisé
par
un
paramè
=
k|L
−
L
|
où
k
est
le
coefficient
de
raideur
du
ressort
et
L
sa
l
façon
suivante
:
2
et
Fterme
cela
faut
ajouter
un
de retour
déterministe
et un
l’instant
t1 .des
0
0
moyenne
et un bruit,
nul
enilmoyenne
que
de
la nant
variance
par
un
schéma
à l’instant
précédent,
cesuivante
quidéterministe
permet
modéliser
périodes
forte volatilité
dvsuccessifs
) dtmoyenne
+ très
σ vt dW
tde = κ (θ −
on
obtient
l’expression
: à de
t
En
considérant
lasaA
variance
àdevariance
deux
tà1vtla
et
t
proches,
entre
lesquels
la dynamique
du
sous-jacent
et de
volatilité.
√
2long
√
la
moyenne
et
une
variance
long-terme
Ils
permettent
de
prendre
en
retour
à àlainstants
moyenne
κvκtetla
une
variance
long-terme
θ.
permettent
de
prendre
en
moyenne
etest
une
variance
terme
.θ.Ils
Ils
permettent
de
1 retour
√
La
de
l’actif
suit
un
processus
de
type
CIR,
du
nom
des
chercheurs
Joc
1 : κ(θ−v
bruit,
nul
en
moyenne
mais
dont
la
dispersion
proportionnel
au
niveau
de
variance
1
gueur
à
vide.
On
reconnait
partie
déterministe
du
processus
CIR
).
Le
troisiè
= du
µS
dt
+
v
S
dW
Fonctionnement
modèle
pas
à
pas
dS
mais
dont(des
la dispersion
est
proportionnelle
au
nipériode de faible volatilité
clusters
anglais).
=
µS
dt
+
v
S
dW
dS
t
t en
t
t
t
t
t dSt =t µSt dt +
t t vt S
√ temps ∆t,
t t dW
√
tintroduit
√ un
√
la
tendance
de
la
volatilité
à
retourner
vers
sa
moyenne
après
de
brutale
hauss
la
tendance
de
la
volatilité
à
retourner
vers
sa
moyenne
après
de
brutale
hausse
s’est
écoulé
puis
en
discrétisant
la
dynamique
de
la
variance
par
un
schéma
prendre
en
compte
la
tendance
de
la
volatilité
à
retourner
√
2
√
C.
Cox,
Jonathan
E.
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
pour
2
La
variance
de
l’actif
v
suit
un
processus
de
type
CIR,
du
nom
des
chercheurs
John
1 t1qui
2
le entre
modèle
CIR
C’est
lavt volatilité.
Ellee
t proches,
dv
(θvµS
vZ
dt
+(0,
σt S1)
vdW
la +
variance
deux
instants
successifs
et t2caractérise
très
lesquels
vt1En
+àκconsidérant
(θ
vt1 ) ∆t
σt dSv=tt1 àκ
N
vt2 =pas
Le
niveau
de
volatilité
dépend
donc
essentiellement
niveau
devressort
volatilité
précédent
veau
de− variance
précédent
niveau
de
vodvtestdv
=σ.tdu
κ=
(θ
−κlav(θtvolatilité
)−
dt
+
σdt +vde
dW
t )∼
t dW
du modèle
pas
=∆tZ,
dt
+
vparamètre
t−
tσ
1.. tLe
treprendre
t )ressort
t dW
t t
√
t exprimé
reprendre
l’exemple
du
ressort,
la
force
de
rappel
d’un
peut
être
l’exemple
du
ressort,
la
force
de
rappel
d’un
peut
être
√
1 exprim
vers
sa
moyenne
après
une
brutale
hausse.
pliquer
la
dynamique
des
taux
d’intérêt.
Ce
modèle
est
caractérisé
par
un
paramètre
d’Euler,
on
obtient
l’expression
suivante
:
C.
Cox,
Jonathan
E.
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
introduit
pour
ex
Z,
Z
∼
N
(0,
1)
2
vt devant
le mouvement
dWt permet
supposée
constante
le terme
s’est
temps
discrétisant
la
dynamique
de de
la variance
par un
schéma
Le sous-jacent,
lui,écoulé
suitdépend
detpuis
type
Black-Scholes
mais
lavde
volatilité
constante
à deux
instants
tun
etprocessus
t2 donc
très
proches,
entre
latilité
essentiellement
niveau
→→
à ∆t,
l’instant
précédent,
ce
modéliser
desen
périodes
de forte
volatilité brownien
et de
dv
=en
κ
(θ −lesquels
vdu
+
σqui
dW
1 un
modèle
pasvariance
àsuccessifs
pas
t ) dt
tpermet
une
mais
t
àpar
la
moyenne
et
variance
long-terme
θ.processus
Ils permettent
deparamètre
prendre
comp
Lalavariance
de
l’actif
vde
un
processus
de
type
du
des
chercheurs
John
est
essentiellement
déterminée
lanom
variance
erçoit
que
à volatilité
l’instant
t2suit
k|L
−
L
| modèle
oùkvktest
estle
leun
coefficient
de
raideur
duressort
ressort
etL
L
façon
suivante
:κ
pliquer
la CIR,
dynamique
taux
Ce
est
caractérisé
par
un
de
==
k|L
−
Ll’actif
|0tvolatilité.
où
coefficient
raideur
du
et
façon
suivante
: périodes
d’intérêt.
Lades
variance
de
l’actif
suit
un
processus
dede
type
CIR,
du
nom
des
che
Fanglais).
tstochastique.
F
rendre
compte
de
forte
0v
00
d’Euler,
on
obtient
l’expression
suivante
: retour
ainstants
étédiscrétisant
remplacée
par
la
Ces
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
La
variance
de
suit
de
type
CIR,
du en
nom
de
uis
en
la
dynamique
la
variance
par
un
schéma
√
volatilité
à
l’instant
précédent,
ce
qui
permet
de
ux
successifs
t
et
t
très
proches,
entre
lesquels
période
de
faible
volatilité
(des
clusters
en
1 variance
2
√àE.pour
√
ement
déterminée
parajouter
la
1 terme
2 suit
la
tendance
de
la
volatilité
retourner
vers
sa
moyenne
après
de
brutale
hausse.
Po
C.
Cox,
Jonathan
E.
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
introduit
ex.
A
cela
il
faut
un
de
retour
à
la
moyenne
déterministe
et
un
ant
t
retour
à
la
moyenne
κ
et
une
variance
long-terme
θ.
Ils
permettent
de
prendre
en
compte
Pour
reprendre
l’exemple
du
ressort,
la
force
de
rapC.
Cox,
Jonathan
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
intro
1
La
variance
de
l’actif
v
un
processus
de
type
CIR,
du
nom
des
chercheurs
John
,
dW
=
ρdt.
Intuitivement,
le
terme
en
v
devant
la
mouvements
browniens
:
dW
√
C.
Cox,
Jonathan
E.
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
gueur
à
vide.
On
reconnait
la
partie
déterministe
du
processus
CIR
:
κ(θ−v
).
Le
tr
us
Finance
Research
gueur
à vide.
sion
suivantela: dynamique
κ pé(θ −
vt1 )t On
∆treconnait
+ σ vt1la partie
∆tZ,déterministe
Z ∼ N (0,du
1)processus CIR : κ(θ−vt ).t Le tro
vvolatilité
t variance
tt
√
modéliser
des
périodes
de forte
des
t2 = vt1et+
discrétisant
de
la
par
un schéma
àul
laenmoyenne
etdes
un
reprendre
l’exemple
du
ressort,
la
force
de
rappel
d’un
ressort
peut
être
exprimée
deE
pliquer
ladéterministe
dynamique
taux
d’intérêt.
Ce
modèle
est
caractérisé
par
un
paramètre
de
moyenne
mais
dont
la
dispersion
est
proportionnel
au
niveau
de
variance
=
v
+
κ
(θ
−
v
)
∆t
+
σ
v
∆tZ,
Z
∼
N(0,
1)
v
la
tendance
de
la
volatilité
à
retourner
vers
sa
moyenne
après
de
brutale
hausse.
Pour
pliquer
la
dynamique
des
taux
d’intérêt.
Ce
modèle
est
caractérisé
par
un
pel
d’un
ressort
peut
être
exprimée
de
la
façon
suivante :
t
t
t
t
C.
Cox,
Jonathan
E.
Ingersoll
et
Stephen
A.
Ross
qui
l’ont
initialement
introduit
pour
expartie
aléatoire
de
la
dynamique
du
sous-jacent
permet
de
capter
l’impact
d’un
choc
1
2
1
1
pliquer
la
dynamique
des
taux
d’intérêt.
Ce
modèle
est
caractérisé
pa
paramètre
qui
caractérise
le
modèle
CIR
est
σ.
C’est
la
volatilité
de
la
volatilité.
paramètre
qui
caractérise
le
modèle
CIR
est
σ.
C’est
la
volatilité
de
la
volatilité.
√de faible volatilité
uivante : au niveau
riodes
(des
clusterslui,
en
anglais).
→de type Black-Scholes
√volatilité
√√mais
Leparamètre
sous-jacent,
suit
unSicaractérisé
processus
lalong-terme
volatilité
constante
àressort,
portionnel
variance
retour
à la
κ etdépend
une
long-terme
θ.façon
Ils
permettent
de
en
1 1delo
.−Le
de
donc
essentiellement
du
niveau
volatilité
ntκdev(θt1volatilité
reprendre
l’exemple
du
lamoyenne
force
deune
d’un
ressort
peut
exprimée
de
retour
lapar
moyenne
κ|terme
et
variance
θ.être
Ils du
permettent
de
prend
+
vpliquer
) ∆t
+moyenne
σle dynamique
vde
Z
∼variance
N
(0,
1)
la
des
taux
d’intérêt.
Ce
modèle
est
un
paramètre
de
sur
sous-jacent
grâce
au
de
corrélation.
la
est
=
−
Lcompte
où
est
le
de
raideur
du
ressort
et
Lla
suivante
:retour
àk|L
la
κkrappel
et
une
variance
long-terme
θ.
Ils
permettent
où
est
levtvcoefficient
coefficient
de
raideur
resdevant
mouvement
brownien
dW
pep
supposée
constante
mais
le0terme
en
t1niveau
t1 ∆tZ,
Fprendre
lele
mouvement
brownien
dW
per
supposée
constante
mais
le
en
corrélation
de
0t tsa
tdéterminée
essentiellement
par
laleurs
variance
On
s’aperçoit
que
la
variance
à
l’instant
tde
√
→
3devant
2 est
On
s’aperçoit
que
la
variance
à
l’instant
t
est
essentiellement
déterminée
par
la
variance
√
tiellement
du
niveau
de
volatilité
a
été
remplacée
par
la
volatilité
stochastique.
Ces
deux
processus
sont
corrélés
via
2
la
tendance
de
la
volatilité
à
retourner
vers
sa
moyenne
après
de
brutale
hausse.
Pour
ant
précédent,
ce
qui
permet
de
modéliser
des
périodes
de
forte
volatilité
et
la
tendance
de
la
volatilité
à
retourner
vers
sa
moyenne
après
de
brutale
Fonctionnement
du
modèle
pas
à
pas
àt1lachoc
moyenne
κNet
une
variance
long-terme
θ.
Ils
permettent
de
prendre
en
compte
surZla∼volatilité
va
entrainer
un choc
de
sens
opposé
sur
le
sousla
tendance
de
la
volatilité
à
retourner
vers
sa
moyenne
après
de
bru
rendre
compte
des
périodes
de
forte
volatilité.
rendre
compte
des
périodes
de
forte
volatilité.
=
k|L
−
L
|
où
k
est
le
coefficient
de
raideur
du
ressort
et
L
sa
lonfaçon
suivante
:
sort
et
sa
longueur
à
vide.
−négative
vt1 ) ∆tretour
+alors
σ vun
∆tZ,
(0,
1)
F
√
0
0
gueur
à vide.
On
la partie
déterministe
du processus
CIR : κ(θ−v
t ). Le troisièm
1 à peut
2reconnait
Le
sous-jacent,
lui,
un
processus
de
type
. l’instant
A en
cela
ilsuit
faut
un
terme
deBlackretour
laun
moyenne
etàunla lemoyenne
àvolatilité
l’instant
tà
.ajouter
Apar
cela
faut
de
retour
un
tforce
périodes
de
forte
de
1plus
essentiellement
déterminée
la
variance
ce
à considérant
l’instant
t2 est
reprendre
l’exemple
ressort,
de
rappel
d’un
ressort
être
exprimée
deressort,
la
1successifs
de
faible
(des
clusters
anglais).
, dW
terme
=brutale
ρdt.
Intuitivement,
en déterministe
vt rappel
devant
la etressort
mouvements
browniens
dW
reprendre
l’exemple
la terme
force
de
rappel
d’un d’un
ressort
peut peut
être ex
En
la
variance
àet
deux
instants
t1il
et
tmoyenne
proches,
entre
lesquels
lavolatilité
tendance
de
ladu
volatilité
àla
retourner
vers
sa
après
hausse.
t2treconnait
très
proches
: déterministe
jacent.
On
observe
cet
effet
clairement
entre
deux
instant
t:ajouter
2 très
reprendre
l’exemple
du
la force
de
t de
→
1 et
dedu
qui
caractérise
le
modèle
CIRressort,
est
σ. C’est
laCIR
volatilité
det ).laLevolatilité.
Elleê
Pour
→
gueur
àparamètre
vide.
On
laaupartie
déterministe
du
processus
:
κ(θ−v
troisième
→
Scholes
mais
la
volatilité
constante
a
été
remplacée
bruit,
nul
en
moyenne
mais
dont
la
dispersion
est
proportionnel
niveau
variance
ajouter
un
terme
de
retour
à
la
moyenne
déterministe
et
un
√
bruit,
nul
en
moyenne
mais
dont
la
dispersion
est
proportionnel
au
niveau
de
variance
’est écoulé
un
tempsl’exemple
puis
en
discrétisant
dynamique
de
la
variance
par
un
schéma
est
essentiellement
déterminée
par
la
variance
instant
t2reprendre
partie
aléatoire
de
la
dynamique
du
sous-jacent
permet
de
capter
l’impact
d’un
choc
du
ressort,
la
force
de
rappel
d’un
ressort
peut
être
exprimée
de
la
1
=
k|L
−
L
|
où
k
est
le
coefficient
de
raideur
du
ressort
et
L
sa
lonfaçon
suivante
:∆t,
F √
=F
k|L
−
L
k
est
le
coefficient
de
raideur
du
ressor
façonfaçon
suivante
: terme
0
0CIR
F
√
0 |−où
On
reconnaît
la
partie
déterministe
du
processus
CIR :
v
devant
le
mouvement
brownien
dW
permet
supposée
constante
mais
le
en
=
k|L
L
|
où
k
est
le
coefficient
de
raideur
du r
suivante
:
paramètre
qui
caractérise
le
modèle
est
σ.
C’est
la
volatilité
de
la
volatilité.
Elle
est
t
0
t
volatilité
dépend
donc
essentiellement
du
niveau√
de volatilité
précédent
par
volatilité
stochastique.
processus
t1. Le
sous-jacent,
dont
laon
dispersion
estprocessus
au
niveau
de
variance
lui,
un
deniveau
type
Black-Scholes
mais
la
volatilité
constante
v→
d’Euler,
obtient
l’expression
suivante
:de
ter
un
terme
de
retour
àtproportionnel
la
moyenne
déterministe
et le
un
S
=
(r∆t
+suit
S
+
Sla
∆t
ρZ
+
1où
−
ρ2Ces
X
,deux
Xdu
∼
N(0,
1)
indépendant
de
Z
de
volatilité
sur
le
sous-jacent
grâce
au
paramètre
de
corrélation.
Siducaractérise
laniveau
corrélation
est1 permet
.
Le
niveau
de
volatilité
dépend
donc
essentiellement
de
volatilité
précédent
v
t2gueur
t1 )On
t1 =
1: v
t
k|L
−
L
|
k
est
coefficient
de
raideur
du
ressort
et
L
sa
lonfaçon
suivante
rendre
compte
des
périodes
de
forte
volatilité.
à
vide.
reconnait
la
partie
déterministe
processus
CIR
:
κ(θ−v
).
Le
troisième
F
1
.
Le
troisième
paramètre
qui
le
modèle
v
devant
le
mouvement
brownien
dW
de
supposée
constante
mais
le
terme
en
0
0
gueur
à
vide.
On
reconnait
la
partie
déterministe
du
processus
CIR
:
κ(θ−v
t
t
t)
t
àdonc
l’instant
précédent,
ce
de modéliser
des: périodes
de àforte
et de la partie
3 3 déterministe du processus
vide.volatilité
On reconnait
CIR : κ(θ
choles
mais
lalavolatilité
constante
sont
corrélés
via
leurs
mouvements
browniens volatilité
dépend
essentiellement
du
niveau
de
volatilité
par
volatilité
stochastique.
Cesqui
deux
processus
sont
corrélés
viagueur
leurs
tmplacée
la dispersion
est
proportionnel
aumodèle
niveau
depermet
variance
√
√
négative
alors
un
choc
sur
la
volatilité
va
entrainer
un
choc
de
sens
opposé
sur
le
sous√
paramètre
qui
caractérise
le
CIR
est
σ.
C’est
la
volatilité
de
la
volatilité.
Elle
est
à
l’instant
précédent,
ce
qui
permet
de
modéliser
des
périodes
de
forte
volatilité
et
de
rendre
compte
des
périodes
de
forte
volatilité.
paramètre
qui
caractérise
le
modèle
CIR
est
σ.
C’est
la
volatilité
de
la
vola
CIR
est
σ.
C’est
la
volatilité
de
la
volatilité.
Elle
est
sup1
2
gueur
à
vide.
On
reconnait
la
partie
déterministe
du
processus
CIR
:
κ(θ−v
).
Le
troisième
période
de
faible
volatilité
(des
clusters
en
anglais).
paramètre
caractérise le modèle
CIR est σ. C’est la volatilité de la
processus
sont
corrélés
t
uilité
permet
de
modéliser
périodes
forte
etplus
= vdéterminée
+ leurs
κ
vt1niveau
)de
+√
σ volatilité
vt1 ∆tZ,
Zde
∼le N
(0,
v:essentiellement
.le∆t
Intuitivement,
terme
en1)
,via
=−du
ρdt.
Intuitivement,
lele
terme
en
vd’intérêt
la t2 =1qui
ments
browniens
√ √
t2dW
t devant: ∆S
dépend
donc
de
1 dW
t tdes
t (θ
La
dérive
ou
drift
est
par
niveau
précédent
taux
√
vtvolatilité
devant
le
mouvement
brownien
dW
de
supposée
constante
mais
terme
enfaible
très
proches
jacent.
On
observe
effet
plus
clairement
entre
deux
instant
ten
vtt2 devant
mouvement
brownien
dW
supposée
mais
le
1 et en
posée
mais
leterme
terme
en
devant
lelemouvement
t permet
paramètre
qui
caractérise
lede
modèle
CIR
est
σ.cet
C’est
ladu
volatilité
de
laconstante
volatilité.
Elle
est
période
volatilité
(des
clusters
enconstante
anglais).
vt devant
le:mouvement
browni
supposée
constante
mais
le terme
ment,
leLemodéliser
terme
en
vt périodes
devant
lale
(des
clusters
anglais).
aléatoire
de
laenimportant
dynamique
du
sous-jacent
permet
de
capter
l’impact
d’un
choc
devant
la
partie
aléatoire
de
la
dynamique
met
de
des
de
forte
volatilité
et
de
√
r∆t.
point
est
que
pour
simuler
les
processus
de
volatilité
et
du
sous-jacent,
12périodes
rendre
compte
des
périodes
de
forte
volatilité.
rendre
compte
des
forte
volatilité.
v
devant
le
mouvement
brownien
dW
permet
de
supposée
constante
mais
le
terme
en
est
essentiellement
déterminée
par
la
variance
On
s’aperçoit
que
la
variance
à
l’instant
t
brownien
permet
de
rendre
compte
des
périodes
de
Le
sous-jacent,
lui,
suit
un
processus
de
type
Black-Scholes
mais
la
volatilité
constante
rendre
compte
des
périodes
de
forte
volatilité.
et
de
capter
l’impact
d’un
choc
t
2
√
t
tilité
surenleanglais).
sous-jacent
au paramètre
dedoivent
corrélation.
Si
est une
3
lusters
sous-jacent
permet
de capter
l’impact
d’un
choc
dePour se donner
√la corrélation
les mêmes
réalisations
degrâce
la variable
aléatoire
Z
être
utilisées.
compte
desajouter
périodes
forte
Ala
cela
il volatilité
faut
un
terme
devolatilité.
retour
la S
moyenne
déterministe
et1 corrélés
un
àecorrélation.
l’instant
tchoc
acorrélation
été
remplacée
par
laSde
volatilité
stochastique.
deux
processus
leurs
=
(r∆t
+
Saude
)paramètre
+
vprocessus
∆t
+ sont
−Black-Scholes
ρ2 X via
, X
∼ N(0,
1) indépendant
Z
forte
volatilité.
1 .Si
un
processus
de
type
Black-Scholes
mais
volatilité
constante
tla
t1à
tCes
tde
alors
unrendre
sur
la
va
entrainer
un
choc
sens
opposé
leρZ
sous2 ce
1
1 sur
3
intuition,
on
suppose
que ρ sur
=est
−1.
Dans
cas
la
dynamique
discrétisée
du
sous-jacent
volatilité
le
sous-jacent
grâce
√
Le
sous-jacent,
lui,
suit
un
de
type
mais
la volatilitédeconstante
1 est proportionnel
2
bruit,
nul
en
moyenne
mais
dont
la
dispersion
au
niveau
de
variance
,
dW
=
ρdt.
Intuitivement,
le
terme
en
v
devant
la
mouvements
browniens
:
dW
choc
de
sens
opposé
sur
le
soust
tilité
stochastique.
Ces
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
et
t
très
proches
:
On
observe
cet
effet
plus
clairement
entre
deux
instant
t
t
t
1
2
cessus
de :type Black-Scholes
volatilité constante
devient
corrélation.
Si lalaremplacée
corrélation
négative
alors
un
√est
√ volatilité
amais
été
par
la
Ces deux
processus sont corrélés via leurs
1
niveau
de volatilité
dépend
donc
essentiellement
du stochastique.
niveau
volatilité
précédent
partie
aléatoire
la
dynamique
du
sous-jacent
permet
de de
capter
l’impact
d’un choc
très
proches
instant
t 2vet.tLe
Intuitivement,
leLa
terme
v√
dW
2ρdt.
3leurs
S
dérive
ou
est ladéterminée
par
précédent
plus le taux d’intérêt
: ∆St2 =
stochastique.
deux
sont
corrélés
via
t , dWt1 t1= Ces
3
= de
(r∆t
+
S√
)en
−
vdevant
∆tZ
Sla:t2 volatilité
√processus
3√
t1 entraîner
t1 tdrift
tun
choc
sur
va
choc
de
sens
1
2 le niveau
1
√
àdW
l’instant
précédent,
ce
qui
permet
de
modéliser
des
périodes
de
forte
volatilité
et
de
2
,
dW
=
ρdt.
Intuitivement,
le
terme
en
vt devant la
mouvements
browniens
:
dW
de
volatilité
sur
le
sous-jacent
grâce
au
paramètre
de
corrélation.
Si
la
corrélation
est
2
mique
du
sous-jacent
permet
de
capter
l’impact
d’un
choc
(r∆t
+
S
)
+
S
X
,
X
∼
N
(0,
1)
indépendant
de
Z
v
∆t
ρZ
+
1
−
ρ
t
t
t
t
t
=
ρdt.
Intuitivement,
le
terme
en
v
devant
la
1
1
1
r∆t.
Le
point
important
est
que
pour
simuler
les
processus
de
volatilité
et
du
sous-jacent,
t
t
opposé
sur
le
sous-jacent.
On
observe3vacetentrainer
effet
plus
Les
chocs
deindépendant
volatilité
sont
déterminé
par
les
réalisations
de
Z.
Il
apparait
clairement
période
de
faible
volatilité
(des
clusters
en
anglais).
négative
alors
un
choc
sur
la
volatilité
un
choc
de
sens
opposé
sur
le
sousX
∼
N
(0,
1)
de
Z
ent
grâce
au
paramètre
de
corrélation.
Si
la
corrélation
est
aléatoire
de
la
dynamique
du aléatoire
sous-jacent
permet
de capter
l’impact
e du sous-jacent permet
departie
capter
l’impact
d’un
choc
les
mêmes
de
ladeux
variable
Z doivent
être
utilisées.
Pour
se donnerd’un
une choc
entre
deux
instants
tsous-jacent
et
tle
très
proches :
dans
ce cas
leclairement
même
choc
sur
leréalisations
mais
le
signe
inverse
Nous
ce
t2letrèsutiliser
proches
: modèle pour évaluer le prix des opjacent.
On
observe
cet
effet
plus
clairement
entre
instant
t etallons
1sur
2 le
la
volatilité
vaque
entrainer
un
choc
dereporté
sens
opposé
sousve
ou
drift
est
déterminée
par
leest
niveau
précédent
plus
taux
d’intérêt
: “-”
∆S
râce
au
paramètre
de corrélation.
Si
la
corrélation
est
t2 1=
de
volatilité
sur
le
sous-jacent
grâce
au
paramètre
de
corrélation.
Si
la
corrélation
est
on
que
ρ la
=
−1. Dans
ce
cas laeuropéennes.
dynamique Pour
discrétisée
du sous-jacent
sens
du
choc. d’intérêt
Ceci
permet
l’effet
de
levier.
Le sous-jacent,
lui,
suit
und’expliquer
deprocessus
mais
constante
tions
d’achat
ces contrats
il existe une
=sens intuition,
nt
plus
le taux
: pour
∆S
suppose
volatilité
et
ttype
proches
:
plus
clairement
entre
deux
instant
topposé
tprocessus
point
important
est
que
de volatilité
et du
sous-jacent,
√Black-Scholes
2 simuler
1les
2 très
atilité
va
entrainer
un
choc
de
sur
le
sous√
négative
alors
choc
sur
laρ2 X
volatilité
vavia
undeà choc
de sensà l’aide
opposé
sur le desousdevient
: un
aus
été
remplacée
par
volatilité
deux
sont
corrélés
leurs
=
(r∆t
+tSstochastique.
Strès
vproches
∆t
ρZ
+processus
1 −Pour
X
∼√formule
N(0,
1)entrainer
indépendant
Z
volatilité
et
du
, , donner
ressemblant
celle
obtenue
du modèle
tvariable
tet
t1doivent
t1 Ces
aléatoire
entre
2sous-jacent,
1) +
mes
réalisations
de
laSla
être
se
une
√ √
t Z
: utilisées.
clairement
deux
instant
√de
1 1
22
2
,
dW
=
ρdt.
Intuitivement,
le
terme
en
v
devant
la
mouvements
browniens
:
dW
=
(r∆t
+
S
)
−
S
v
∆tZ
S
et
t
très
proches
jacent.
On
observe
cet
effet
plus
clairement
entre
deux
instant
t
être
utilisées.
Pour
se
donner
une
t
t
t
t
t
ZZ
Black et
C(S0, K, υ0, t, 1T) = S2tQ1 — Ke—r(T—t)Q2.:
Xt ∼ N
indépendant
de
vn,
∆tsuppose
ρZ
1−
2 sous-jacent
1 Scholes :
1
1
ρρ= X
−1., Dans
cet(0,
cas1)laindependant
dynamiquede
discrétisée
du
t1on
+ que
partie
aléatoire
de
la
dynamique
du
sous-jacent
permet
de
capter
l’impact
d’un
choc
La
dérive
ou
drift
est
déterminée
par
le
niveau
précédent
plus
le
taux
d’intérêt
:
∆S
mique
discrétisée
du
sous-jacent
2
t2 =
lesles
fonctions
la loi normale
N(d1) et
de répartitions
Mais
indépendant
devolatilité
Z
t: ρZ + 1 − ρ X , X ∼ N (0, 1) Les
√déterminé
chocs
de
sont
par
réalisations
de Z. Ildeapparait
clairement
√que√
√
de
volatilité
sur
ler∆t.
sous-jacent
grâce
au
paramètre
de
corrélation.
Si
la
corrélation
est
Le
point
important
est
pour
simuler
les
processus
de
volatilité
et
du
sous-jacent,
=
minée
par
le
niveau
précédent
plus
le
taux
d’intérêt
:
∆S
2
=
(r∆t
+
S
)
−
S
v
∆tZ
S
√
Lattechniques
drift
déterminée
le
prétniveau
N(d
)
ont
été
remplacées
par
les
termes
Q
et
Q
.
t1 est
t1 +t1S )par
2
2dérive ou
Contraintes
S
=
(r∆t
+
S
X
,
X
∼
N
(0,
1)
indépendant
de Z
v
∆t
ρZ
+
1
−
ρ
2
1
2
t2
t1que
tmême
t1sens
dans
lechoc
chocopposé
est
reporté
1 Z
négative
alors
un
choc
surplus
la volatilité
va lace
entrainer
un=
dedoivent
sur le sur
sousles
mêmes
de
variable
aléatoire
être
utilisées.
Pourlesesous-jacent
donner une mais le signe “-” inverse le
∆tZ
que
pour
simuler
les
processus
volatilité
etcas
du
sous-jacent,
cédent
plus
taux
d’interêt
rΔt.Ilcertains
Le
pointcas
par
leprocessus
niveau
précédent
lelede
taux
d’intérêt
:: ∆S
Le
de
variance
vréalisations
toujours
positif
mais
dans
il peut
toucher
tde
t reste
2 =
cs
de
volatilité
sont
déterminé
par
les
réalisations
Z.
apparait
clairement
sens
du
Ceciinstant
permet
l’effet: dedu
levier.
et
t2 très proches
acent.
Onaléatoire
observe
cet
effetde
plus
clairement
deux
tla1 d’expliquer
intuition,
on
suppose
que
ρ entre
=choc.
−1.
Dans
ce
dynamique
variable
Zimportant
doivent
être
utilisées.
Pour
seles
donner
une
pour
simuler
les
processus
volatilité
et
du
sous-jacent,
0 et
rebondir.
Cependant,
la
volatilité
s’interprètre
comme
lacas
au
est
que
pour
simuler
processus
de
voIldiscrétisée
est
toujourssous-jacent
possible d’exprimer le prix d’une opons
de
Z.leIlmême
apparait
cas
que
chocclairement
est
reporté
sur
leou
sous-jacent
mais
levariance
signe
“-”associée
inverse
le sousLa
dérive
drift
est
déterminée
par
le
niveau
précédent
le taux d’intérêt : ∆S =
devient
:
=
−1.
Dans
ce
cas
la être
dynamique
discrétisée
du
sous-jacent
√
ble
aléatoire
Zsigne
doivent
Pour
se
donner
uneréalisations
√etutilisées.
jacent
en tant
que
variable
aléatoire,
ellelevier.
est
donc
par
nature strictement
De européenne,plus
√
acent
mais
le
“-”
inverse
le
latilité
du
sous-jacent,
les
mêmes
de √ positive.
tion
d’achat
sous une forme à la « Black ett2
choc.
Ceci
permet
d’expliquer
l’effet
de
2
√
S
=
(r∆t
+
S
)
+
S
X
,
X
∼
N
(0,
1)
indépendant
de
Z
v
∆t
ρZ
+
1
−
ρ
=
(r∆t
+
S
)
−
S
v
∆tZ
S
t
t
t
t
t
t
t
t
2
1
1
1
2important
1:est
1
1 ne vérifie
r∆t.
Le
point
que
simuler
lesetprocessus
de volatilité
et du sous-jacent,
1.plus,
Dansducepoint
cas ladedynamique
discrétisée
du sous-jacent
√
xpour
pas les
la fonction
racine
x →
lavue
variable
aléatoire
Z doivent
être carré
utilisées.
Scholes »,
cela indépendamment
du modèle.
En effet,
√technique,
= (r∆t +de
St1régularité
) Les
− Schocs
∆tZ
St2conditions
t1 vnécessaires
t1de
Opus en
Finance
Research
pour
appliquer
la
formule
d’Itô
x
=
0.
Ce
qui
volatilité
sont
déterminé
par
les
réalisations
de
Z.
Il
apparait
clairement
les
mêmes
réalisations
de
la
variable
aléatoire
Z
doivent
être
utilisées.
Pour
se donner
√
en utilisant
une
technique
de
changement
de
numéraire,
on une
Opus
Finance
Research
√
=
La
dérive
ou
drift
est
déterminée
par
le
niveau
précédent
plus
le
taux
d’intérêt
:
∆S
t2
(r∆t
+ St1aussi
)−
Sàtles
v
∆tZ
conduit
une
convergence
très
lente
du
schéma
d’Euler.
Il
faut
donc
garantir
ce
cas
que
le
même
choc
est
reporté
sur
le
sous-jacent
mais
le
signe
“-”
inverse
le
t
1dans
1
déterminé
par
réalisations
de
Z.
Il
apparait
clairement
==
—1.
Pour se
une intuition,
onprocessus
suppose
que
toute
maisdiscrétisée
seulement pour
option
intuition,
on suppose
que
ρvolatilité
−1.etDans
ce encas
la généralité,
dynamique
duune
sous-jacent
∆t. Le point important
estdonner
que
pour
simuler
les
de
dutrouve
sous-jacent,
Contraintes
techniques
sens
du
choc.
Ceci
permet
d’expliquer
l’effetle
de une
levier.
−r(T −t)
hoc
estpar
reporté
sur
le de
sous-jacent
mais
le signe
“-”
inverse
Dans
ce
cas
la
dynamique
discretisée
du
sousvanille,
une
formule
du
type
rminé
les
réalisations
de
Z.
Il
apparait
clairement
option
vanille,
une
formule
du
type
S
Q
−
Ke
Q
:
−r(T −t)
t
1
2
es
mêmes
réalisations
la
variable
aléatoire
Z
doivent
être
utilisées.
Pour
se
donner
une
devient
:
Opus
Finance
Research
Le
processus
de
variance
v
reste
toujours
positif
mais
dans
certains
cas
il
peut
toucher
une option vanille,
Q2 :
ntraintes
techniques
√formule du type St Q1 − Ke
t
√ une
d’expliquer
l’effet
de
levier.
st
reporté
sur
le sous-jacent
“-”
le
jacent
ntuition,
suppose
quedevient
ρtoujours
=mais
−1.: leDans
casinverse
la
dynamique
discrétisée
du
sous-jacent
Research
∆tZ
(2)
cessus
de on
variance
vt reste
positif
mais
dans
certains
cas
il Finance
peut
toucher
(r∆t
+
S
)
−
S
v
SOpus
0signe
et ce
rebondir.
Cependant,
volatilité
s’interprètre
comme
la
variance
associée
au
sous−r(T
−t)
−r(T
−t) (2)
t2 la=
t
t
t
1
1
1
(2)+
Ct = e
− K) (S
− K)(2) [(S
] K)
(ST−t)
= e− K)+ t= e[(S
−r(T
iquercertains
l’effet
decas
levier.
T −t)
ST >K−
devient
:
dans
il la
peut
touchers’interprètre
Ct t=
e−r(T
√
ondir.
Cependant,
volatilité
comme
variance
associée
audu
sousT
T
−r(T
−t)
t: strictement
t
√ la
jacentune
en
tant
que
variable
aléatoire,
elle
est
donc
par
nature
positive.
De
option
vanille,
une
formule
type
S
Q
−
Ke
Q
(2)
(2)
t 1 −t)
2
√
−r(T
−r(T
−t)
=
(r∆t
+
S
)
−
S
v
∆tZ
S
me
la variance
associée
au sous(2)
chocs
de
sont
déterminé
par
les
réalisations
de
Il
tLes
t1 par
t1nature
t1 strictement
−r(T −t)
2
n tant
que variable
aléatoire,
elle
est
donc
positive.
De=une
] Z.
−−
Ke
[pas
e formule
−r(T
−t)
T
>K
ST −t)
>K
une
option
vanille,
du
type
S (2)
Q
KeTapparait
: clairement
t=carré
les] t [ ST >K ]
plus,
du volatilité
point
de
vue
la
fonction
racine
:S(2)
2 −r(T
√technique,
] − tQ
Ke
e[S
>Kvérifie
Tx tt→1[STx Sne
(2) Contraintes
techniques
strictement
positive.
De
+ le −r(T
−t)
−r(T −t)
unature
point
vue
technique,
fonction
racine
: x →
x
ne
vérifie
pas
les
ceconditions
cas
le
même
choc
est
reporté
sur
sous-jacent
mais
le
signe
“-”
inverse
le
√
Les
chocsde
de
volatilité
sontladans
déterminé
par que
les carré
réalisations
de
Z.
Il
apparait
clairement
(1)
Ct = e nécessaires
[(Sd’Itô
K)
](2)
(S
= eS(2)Tla Sformule
T − K)
T
>K
detoujours
régularité
pour
en
=[S−r(T
0. >−t)
Ce qui
S−
t
t
T >K
−r(T
−t) SxT(2)
(1)
S
Le
processus
de
variance
vsur
positif
mais
dans
certains
il peut
toucher
−r(T
−t)
T+
rré :dece
x régularité
→
x ne
vérifie
pasde
les
(2)
=eappliquer
Scas
−
Ke
T >K−r(T −t)
t reste
niques
ons
pour
appliquer
la
formule
d’Itô
en
x
=
0.
Ce
qui
t le
T [(SK]
t
t
Les
chocs
volatilité
sont
déterminés
par
les
réaliC
=
−
K)
−
K)
(S
=
e
(2)
(2)
dans
cas que
lenécessaires
même
choc
est
reporté
le
sous-jacent
mais
le
signe
“-”
inverse
=
S
−
Ke
[S
>
t
T
T
S
>K ]
t−r(TS
t
sens
duconduit
choc.
Ceci permet
d’expliquer
l’effet
de
levier.
tT td’Euler. Il faut donc
T T K]
−t)
t
aussi
à toucher
une Il=
convergence
très
lente
du
schéma
garantir
0xpermet
et=rebondir.
Cependant,
la de
volatilité
s’interprètre
comme
la
au−t)
sous[STvariance
− Ke
[ STS>K
e−r(T
d’Itô
enpositif
0.
Ce
qui
ST >K ] associée
reste
mais
dans
certains
cas
il levier.
peut
T ]
t garantir
t
aussi
àchoc.
une Ceci
convergence
très
du
schéma
d’Euler.
faut
donc
tformule
(2)
(2)
es
ens
du toujours
d’expliquer
l’effet
sations
de
Z.
Illente
apparaît
clairement
dans
ce cas
que
−r(T
−t)
−r(T
−t)
=e S (1) [S
−t) (2)
[SK]
− Ke
[ (2)
=
en
tant
que
variable
aléatoire,
ellesousest donc (1)
par Snature
strictement
positive.
De
T (1)
ST >K
ST >K ]
aea toujours
d’Euler.
Ils’interprètre
fautjacent
doncdans
garantir
−
Ke]−r(T
K]
−r(T
−t)
volatilitépositif
comme
la
associée
au
T=>S(2)
T t>
t t
mais
certains
cas il peut
toucher
> K] − tKe[S
−r(T
t−t)
le même
choc
estvariance
reporté
sur
le
sous-jacent
mais
le T ST >K √− Ke
T K]
t [S
t [S
t [ST > K]
=
S
>
t
T
x
ne
vérifie
pas
les
plus,
du
point
de
vue
technique,
la
fonction
racine
carré
:
x
→
t
(1)
ST STt >K
aléatoire,
elle est comme
donc par
strictement
De
atilité
s’interprètre
la nature
variance
associée
sous−r(T −t) (2)
√
signe
« —
inverse
le sens au
dupositive.
choc. Ceci
permet
(1)ST
=probabilité
St(1)
[ST (2)
> représente
K]
Où
est Où
la
forward-neutre,
tandis tque
probabilité
conditions
de»régularité
la formule
d’Itô
ent est
x =la(2)
0.
Ce
qui − Ke
nique,elle
la fonction
racine
carré
: x → nécessaires
x positive.
ne vérifiepour
pas appliquer
les
S
probabilité
forward-neutre,
tandis
que (2)lareprésente
la
toire,
est donc
par
nature
strictement
De
(1)
T
−r(T
−t)
d’expliquer
l’effet
de
levier.
√
=
S
[S
>
K]
[S
>
K]
−
Ke
t
signifie
qu’il
s’agit
d’une
probabilité
conditionnellement
à l’info
T
tneutre.
T L’indice
t
t
conduit
aussi
à
une
convergence
très
lente
du
schéma
d’Euler.
Il
faut
donc
garantir
cessaires
pour
appliquer
la
formule
d’Itô
en
x
=
0.
Ce
qui
(2) d’une probabilité conditionnellem
(1)
neutre.
L’indice
t
signifie
qu’il
s’agit
−r(T −t)
, la fonction racine carré : x → x ne vérifie pas les
= St t.t En
[STréalité
> K] le
− Ke
[Snuméraire
T > K]
t de
disponible àdisponible
la date
est difficile à exploite
rgence
très
lente dutechniques
garantir
Contraintes
techniques
à tandis
la dateque
t. Enchangement
resContraintes
pour
appliquer
laschéma
formuled’Euler.
d’Itô
enIlxfaut
= Où
0.donc
Ce(1)qui
(2)réalité le changement de numéraire est diffici
est
la
probabilité
forward-neutre,
représente
la
probabilité
risque-pour ST , ni l
tement
:
on
ne
connait
ni
une
expression
analytique
de
la
solution
Le
processus
de
variance
v
reste
toujours
positif
mais
dans
certains
cas
il
peut
toucher
t
(1)
(2)
tement
:
on
ne
connait
ni
une
expression
analytique
de la
solution po
e très lente du schéma d’Euler.
Il faut donc
Le processus
degarantir
variance
toujours
positif
mais
dans
certains
cas
peut
toucher
Où qu’il
est
la au
probabilité
forward-neutre,
tandis que
représente
la probabilité
(1) probabilité
(2)
t reste
neutre.
L’indice
t vsignifie
d’une
conditionnellement
àil l’information
0 et rebondir. Cependant, la volatilité s’interprètre
comme la
variance
associée
sous(1)
(2)
processus
Ss’agit
sous
et
.
Pour
aller
plus
loin,
il
faut
considérer
les
équations
T
t
t
processus
ST sous
et d’une
Pour
aller associée
loin, il
faut
considérer
le
neutre.
L’indice
t signifie
qu’il
s’agit
probabilité
conditionnellement
à l’infor
t
t .variance
disponible
à la
datela
t.
En réalité
le
changement
de
numéraire
est
difficile
àplus
exploiter
direcet rebondir.
Cependant,
volatilité
s’interprètre
comme
la
au
sousacent en tant que variable 0
aléatoire,
elle est
donc par
nature
strictement
positive.
De
rivées
partielles
associées
à
la
valeur
du
produit
dérivé
U
(S,
v,
t)
dans
le
du
√ni uneà expression
rivées
partielles
associées
à la
valeurdepour
du
produit
dérivé
U
(S, àv,cadre
t) dans
disponible
la
date
t.
En
réalité
le
changement
numéraire
est
difficile
exploiter
,
ni
la
loi
du
tement
:
on
ne
connait
analytique
de
la
solution
S
T
plus, du point
racine
carré : x →
x (2)
ne vérifie
pas
que variable
aléatoire,
elle
est les
donc
nature
positive.
Deraisonnem
de
Heston.
En
considérant
un par
portefeuille
destrictement
couverture
un
raisonnement
visant é
LL aa rde
uu ee technique,
dd ‘‘ OO ppjacent
uu ss FF la
ii nn en
afonction
ee
r ee vvvue
a nn cctant
(1)
de
Heston.
En
un
portefeuille
de et
couverture
et
un
√les équations
:t on
ne
connait
ni considérant
une
expression
analytique
la solution
pour
ST , ni la
46 de
processus
ST formule
sous tement
et en
.xPour
aller
plus
loin,
il faut
considérer
auxpour
déonditions
régularité Nnécessaires
la
d’Itô
=d’arbitrage,
0.
Ce(1)qui
topportunités
º 2plus,
• D é du
c pour
e mpoint
b rappliquer
e 2 0de
1 3 vue
on
trouve
l’équation
d’évolution
suivante
la
valeur
du
(2)
technique,
la
fonction
racine
carré
:
x
→
x
ne
vérifie
pas
les
opportunités
l’équation
d’évolution
suivante
pour
processus
et d’arbitrage,
.dérivé
Pour aller
plus
loin,
ille faut
considérer
les
équations
a
T sous du produit
rivées partielles associées
à laSvaleur
Uon
(S,trouve
v,
t) dans
cadre
du modèle
Opus Finance Research
CAS D’UNE OPTION D’ACHAT EUROPÉENNE
DOSSIER TECHNIQUE
pose que
ρ = −1.
ce cas
la
du sous-jacent
intuition,
ondiscrétisée
suppose
que
ρ ce
= cas
−1.discrétisée
Dans
ce cas
dynamique
du so
intuition,
onDans
suppose
que
= −1. Dans
ce
cas
la Dans
dynamique
dulasous-jacent
intuition,
onρdynamique
suppose
que
=
−1.
Dans
ce
cas
la
dynamique
discrétisée
dudiscrétisée
sous-jacent
intuition,
on
suppose
que
ρρ =
−1.
la
dynamique
discrétisée
du
sous-jacent
devient
:
devient :
devient :: √ √
devient
√ √
√
√ √S = (r∆t
√+ S√
√
St2 = (r∆t + St1 ) − St1 Svt2t1= ∆tZ
)
−
S
t
t
t
∆tZ
(r∆t + StS1S)tt22−=
S
v
∆tZ 1 vt1 ∆tZ
= (r∆t
(r∆t
+ SStt121)) −
− SStt11 vvtt11 1∆tZ
t1
t+
1
tilité sont
par
réalisations
de Z.
Il apparait
clairement
dans
Les chocs
de
volatilité
sont
par lesde
réalisations
de Z.
Il apparait
clairem
Les déterminé
chocs de volatilité
sont
par
les
réalisations
de
Z.
Il apparait
clairement
dans
Lesles
chocs
dedéterminé
volatilité
sont
déterminé
pardéterminé
les réalisations
réalisations
de
Z. IlIl apparait
apparait
clairement
dans
Les
chocs
de
volatilité
sont
déterminé
par
les
Z.
clairement
dans
me choc
est
reporté
sur
le
sous-jacent
mais
le
signe
“-”
inverse
le
sens
du
ce
cas
que
le
même
choc
est
reporté
sur
le
sous-jacent
mais
le
signe
“-”
inverse
ce cas que le même
choc
reportéchoc
sur est
le
le signe “-”
inverse
le sens
du
ce cas
cas
queest
le même
même
choc
estsous-jacent
reporté sur
surmais
le sous-jacent
sous-jacent
mais
le signe
signe
“-” inverse
inverse le
le sens
sens du
du l
ce
que
le
reporté
le
mais
le
“-”
t d’expliquer
l’effet
de
levier.
choc.
Ceci
d’expliquer
l’effet de levier.
choc. Ceci permet
d’expliquer
l’effet
depermet
levier.l’effet
choc.
Ceci permet
permet
d’expliquer
l’effet
de levier.
levier.
choc.
Ceci
d’expliquer
de
é))) (((fin de l’encadré)))
(((fin
de
l’encadré)))
(((fin de
de l’encadré)))
l’encadré)))
(((fin
dré PARTIE
TECHNIQUE:
Contraintes
techniques
))) PARTIEtechniques
(((début
encadré
TECHNIQUE:
Contraintes
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Contraintes
))) techniques
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Contraintes
techniques
)))techniques )))
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Contraintes
)))
CONTRAINTES
TECHNIQUES
reste
toujours
positif
mais
dans
certains
cas
il
peut
toucher
0
et
variance
v
reste
toujours
positif
mais
dans
cas il 0peut
to
Le
processus
de
variance
v
t
t
toujoursvvttpositif
mais dans
certains
ilpeut
peut
toucher
0àilcertains
et
Le processus deLe
variance
vt reste
reste toujours
toujours
positif
maiscas
dans
certains
cas il
peut toucher
toucher
0 et
et
Le
processus
de
variance
reste
positif
mais
dans
certains
cas
peut
processus
de
variance
Pour
comprendre
intuitivement
ce
résultat,
on
chercher
savoir
quel
est
le
typ
dant, larebondir.
volatilité
s’interprètre
comme
la
variance
associée
au
sous-jacent
Cependant,
la volatilité
s’interprètre
comme
la Cependant,
variance
associée au so
la loi
volatilité
s’interprètre
comme
lacevariance
associée
sous-jacent
LeCependant,
processus
de de
variance
υrebondir.
reste toujours
positif
mais
dans
certains
cascomme
il peut
0au
et rebondir.
rebondir.
Cependant,
lala
volatilité
s’interprètre
comme
la variance
variance
associée
au sous-jacent
sous-jacent
rebondir.
Cependant,
la
volatilité
s’interprètre
la
associée
au
t
suivit
par
volatilité
dans
modèle.
Iltoucher
est
possible
destrictement
montrer
mathématiqu
ble aléatoire,
elle
est
donc
par
nature
strictement
positive.
De
plus,
du
en
tant
que
variable
aléatoire,
elle
est
donc
par
nature
positive.
la
volatilité
s’interprète
comme
la
variance
associée
au
sous-jacent
en
tant
que
variable
aléatoire,
elle
est
donc
par
en tant que variable
aléatoire,
elle
est
doncsuit,
par
positive.
Dedu
plus,
en tant
tant
queque
variable
aléatoire,
elle
estfacteur
donc
par
nature
strictement
positive.
De plus,
plus,
du Ded
en
que
variable
aléatoire,
elle
est
donc
par
nature
positive.
De
du
2 du
√ volatilité
√
√strictement
décentrée
àpas
n degrés
ment
la
ànature
un
près
1/L
une loi
χ
√,strictement
√
hnique,point
la fonction
racine
carré
:
x
→
x
ne
vérifie
pas
les
conditions
de
nature
strictement
positive.
De
plus,
du
point
de
vue
technique,
la
fonction
racine
carrée :
ne
vérifie
x
ne
vérifie
les
point
de
vue
technique,
la
fonction
racine
carré
:
x
→
de vue technique,
la fonction
carré : xracine
→ xcarré
ne vérifie
point de
de vue
vue
technique,
la−κt
fonction
racine
carré
→pasxxles
neconditions
vérifie pas
pasde
les conditions
conditions
decond
point
technique,
la
fonction
:: xx →
ne
vérifie
les
de
4v0 κ
σ 2 racine
4κθ
et
un
paramètre
de
décentrage
ξ
=
(1
−
e
),
n
=
).
Ainsi
pou
liberté
(L
=
pas
les
conditions
de
régularité
nécessaires
pour
appliquer
la
formule
d’Itô
en
x
=
0.
Ce
qui
conduit
aussi
à
une
2
2
κt
aires pour
appliquer
la
formule
d’Itô
en 4κ
x =pour
0.
Ce
qui conduit
aussi
régularité
pour
appliquer
la
formule
enàx
= 0.
qui conduit
σ la
σ Ce
(e aussi
−1)
régularité
nécessaires
pour
appliquer
lanécessaires
formule
d’Itô
x = à0.une
Ce
qui
conduit
aussi
une
régularité
nécessaires
pour
appliquer
laen
formule
d’Itô
en
= 0.
0.d’Itô
Ce
qui
conduit
aussi
une au
régularité
nécessaires
appliquer
formule
d’Itô
en
xx =
Ce
qui
conduit
àà une
convergence
très
lente
du
schéma
d’Euler.
garantir
unelente
volatilité
non
nulle,
ilschéma
faut
que
la
densité
de
lasolutions
loi garantir
de la volatilité
soit nul
lente convergence
du schéma d’Euler.
Il faut
donc
garantir
l’existence
solutions
convergence
dude
d’Euler.
Il faut
de
très
lente
du schéma
d’Euler.
Il lente
faut
donc
garantir
l’existence
dedonc
convergence
très
lente
du très
schéma
d’Euler.
faut
donc
garantir
l’existence
del’existence
solutions
convergence
très
du
schéma
d’Euler.
IlIl faut
donc
garantir
l’existence
de
solutions
2
en
0.
Or
la
densité
de
la
loi
du
χ
est
nulle
en
0,
dès
que
le
degré
de
liberté
est
stricteme
ives pour
l’équation
différentielle
stochastique
décrivant
ladifférentielle
variance.
Le
strictement
positives
pour
l’équation
différentielle
stochastique
décrivantLe
la va
strictement
pour
l’équation
différentielle
décrivant
la variance.
Le la
strictement
positives
pour
l’équation
différentielle
stochastique
décrivant
ladévariance.
Le
strictement
positives
pour
l’équation
stochastique
décrivant
variance.
Il fautpositives
donc
garantir
l’existence
de solutions
strictement stochastique
positives
pour l’équation
différentielle
stochastique
supérieur
à
2,
comme
cela
est
illustré
sur
figure
ci-contre.
C’est
la
condition
de
Feller
sont
strictement
vant : résultat
Si les paramètres
κ,
θ,
σ
et
la
volatilité
initiale
v
sont
st
résultat
est
le
suivant
:
Si
les
paramètres
κ,
θ,
σ
et
la
volatilité
initiale
v
0et la volatilité
0
strictement
est le lasuivant
: Le
Si résultat
les
paramètres
κ, siθ,
σ paramètres
v0 sont
sont strictement
strictement
résultat
est
le suivant
suivant
Si les
les
paramètres
κ,, θ,
θ,, σσσetinitiale
etlala
la
volatilité
initiale
résultat
est
le
:: Si
paramètres
κ,
et
volatilité
initiale
vv00 sont
crivant
variance.
est le suivant :
les
volatilité
initiale
υ0 sont strictement
2 n > 2 ⇔ 2κθ > σ 2
2
2
estet
alors
existe
une
unique
nditionpositifs
de Feller
: 2κθ
>laσcondition
22existe
est
vérifiée
alors
il existesolution
une uniqu
positifs
etilsi>
laσFeller
condition
de
Feller
2κθunique
>une
σalors
positifs
si
Feller :
est
vérifiée
une
solution
strictement
est
vérifiée
il:vérifiée
existe
unique
solution
et
si
laetcondition
de
Feller
: 2κθ
est
vérifiée
alors
existe
unepositive
unique
solution
positifs
etvérifiée
side
la
condition
de
Feller
2κθalors
>alors
est
ilil existe
une
unique
positifs
si
la
condition
de
:: 2κθ
>
σσilsolution
ive surstrictement
chaquesur
intervalle
de
temps
[0,
t]
tel
que
t
∈
[0,
∞[.
strictement
positive
sur
chaque
intervalle
de
temps
[0,
t]
tel
que
t
∈
[0,
∞[.
chaque
intervalle
de
temps
[0,
t]
tel
que
t
[0,
∞].
positive
sur chaque
intervalle
de temps
[0, t] tel
t ∈[0,
[0,t]t]∞[.
strictement
positive
sur chaque
chaque
intervalle
deque
temps
[0,
tel que
que tt ∈
∈ [0,
[0, ∞[.
∞[.
strictement
positive
sur
intervalle
de
temps
tel
Pour comprendre intuitivement
4
4
4
44
ce résultat, on peut chercher à savoir quel est le type de loi suivie
par la volatilité dans ce modèle.
Il est possible de montrer mathéPourmatiquement
comprendre
que intuitivement
la volatilité suit, ce résultat, on peut chercher à savoir quel est le type
de loi suivit
par laprès
volatilité
à un facteur
1/L, une dans
loi du ce modèle. Il est possible de montrer mathématiquepeut chercher
savoir
quel
est
ment que
la volatilité
suit,leàdetype
un
facteur près 1/L , une loi du χ2 décentrée à n degrés de
χà2 décentrée
à n degrés
liberté
2
4v0 κ
st possible
de (L
montrer
et un paramètre de décentrage ξ = σ2 (e
− e−κt ), n = 4κθ
liberté
= σ4κ (1mathématiqueκt −1) ). Ainsi pour
σ 2 et
2
une loigarantir
du χ un
décentrée
à
n
degrés
de
paramètre
de
décentrage
une volatilité non nulle, il faut que la densité de la loi de la volatilité soit nulle
4v0 κ
de décentrage
= densité
).. Ainsi
pour
en 0. Orξ la
de
la loi du
χ2 est nulle en 0, dès que le degré de liberté est strictement
σ 2 (eκt −1)
à 2,
comme
cela
est illustréintuitivement
sur figure ci-contre.
C’est on
la condition
de Feller
:
nsité desupérieur
la loi de
la
volatilité
nulle
Poursoit
comprendre
ce résultat,
peut chercher
à savoir
quel est le type
Ainsi, pour 2garantir une volatilin
>
2
⇔
2κθ
>
σ
s que le degré de liberté
deest
loistrictement
suivit par la volatilité dans ce modèle. Il est possible de montrer mathématiqueté non nulle, il faut que la densité
ci-contre. C’estdelalacondition
de Feller
:
que
lasoit
volatilité
suit, à un facteur près 1/L , une loi du χ2 décentrée à n degrés de
loi dement
la volatilité
nulle
2
2
4v0 κ
σ
en 0. Or, laliberté
densité (L
de la
du
et un paramètre de décentrage ξ = σ2 (e
(1 χ− e−κt ), n = 4κθ
= loi
κt −1) ). Ainsi pour
4κ
σ2
est nulle en 0, dès que le degré de
garantir une volatilité non nulle, il faut que la densité de la loi de la volatilité soit nulle
liberté est strictement supérieur
2
encela
0. Or
la densité
à 2, comme
est illustré
sur la de la loi du χ est nulle en 0, dès que le degré de liberté est strictement
supérieur
2, comme cela est illustré sur figure ci-contre.
C’est la condition de Feller :
figure ci-contre.
C’est laàcondition
Figure 4 : Quelques
densités de la loi du χ2 en fonction de leur degré de liberté
Quelques densités de la loi du χ2 en fonction de leur degré de liberté.
de Feller : n > 2 ⇔ 2κθ > σ 2 .
(((fin de l’encadré)))
.
(((titre))) Cas d’une option d’achat européenne
Nous allons utiliser ce modèle pour évaluer le prix des options d’achat européenn
Pour ces contrats il existe une formule ressemblant à celle obtenue à l’aide du modèle d
Black et Scholes : C(S0 , K, v0, t, T ) = St Q1 − Ke−r(T −t) Q2 . Mais, les fonctions de répart
tions de la loi normale N (d1 ) et N (d2 ) ont été remplacées par les termes Q1 et Q2 .
Il est toujours possible d’exprimer le prix d’une option d’achat européenne, sous un
forme à la ’Black et Scholes’, et cela indépendamment du modèle. En effet, en utilisant un
Figure 4 : Quelques
densités
la loi du χ2 de
en fonction
de leur
degré de
technique
dede
changement
numéraire,
on trouve
enliberté
toute généralité, mais seuleme
(((fin de l’encadré)))
.
n fonction de leur degré de liberté
(((titre))) Cas d’une option d’achat européenne
5
Nous allons utiliser ce modèle pour évaluer le prix des options d’achat européenne.
Figure
4 :formule
Quelques
densités de
la loi
du χ2 en
fonction
de leurde
degré de liberté
Pour ces contrats il existe
une
ressemblant
à celle
obtenue
à l’aide
du modèle
−r(T −t)
Q2 . Mais, les fonctions de répartiBlack et Scholes : C(S0 , K, v0, t, T ) = St Q1 − Ke
(((fin
et N (d2 ) ont été remplacées par les termes Q1 et Q
tions de la loi normale
Nde
(d1 )l’encadré)))
L a2 . r e v u e d ‘ O p u s F i n a n c e
prix des options
d’achat
N º 2 • D é csous
e m b r une
e 2013
Il est toujours
possible
d’exprimer le prix d’une option d’achat européenne,
. européenne.
47
DOSSIER TECHNIQUE
: [(SS2TT >K
−∂x
K)
Ct = e Ct = te (ST −t K)(ST=−eK) = te [(Savec
] 2 ST >K ] ∂x∂v 2
T −
t K)
∂t
∂v 2
avec
:
−r(T
−r(T
−t)
−t)
(2)
(2)
(2)
(2)
on
ionvanille,
vanille,une
uneformule
du
dutype
type
Qt Q
Ke
Q−t)
Q
: −r(T
−r(TS
−t)
−r(T
tS
1−
1−
2 2: avec
aj = κθ, bj = κ + (−ρσ)2−j , u
=
] Ke
−
[ : −t)
=formule
e−r(T −t)
T Ke
ST >K ] − Ke
ST >K
t ] [ ST >K ]
te [ST STt >K[S
t
aj = κθ, bj 2−j
= κ + (−ρσ)2−
(2)(2)
(
+
+
−r(T
−r(T
−t)
−t) (2)(2)
−r(T
−r(T
−t)
−t)
(1)
ST TT−−
aaj été
= κθ,
bj = κ +
(−ρσ)
,plusujde
= cal
−
T=
STe>K
SK)
>K S=
(2)
(2)
Le
problème
transformé.
Il
ne
s’agit
−r(T
−t)
T K)
−r(T −t)
CC
e e = S t t (1)(S
[(S
[(S
−
−
K)
K)
]
]
(S
e
t =
t =
T
T
S
S
>K
>K
t
t
T
T
= St t
− Ke
− Ke
t t
t [ST > K]
t [ST > K]
Opus Finance Research
problème aQété
transformé. Il ne s’agit plus d
S−r(T
ST
ment les Le
probabilités
T−r(T
1 et Q2 . Et cela est possible à l
−r(T
−r(T
−t)
−t) (2)(2)
−t)
−t) (2)(2)
Le
problème
a
été
transformé.
Il
ne et
s’agit
plus
de calculer
le
(j)
[S
[S
]
−
]
−
Ke
Ke
[
[
]
]
==e e
T
T
S
S
>K
>K
S
S
>K
>K
t t(1)
t −r(T
t
T T(1)
T T (2)
Q
Et cela
est possib
2 . Elles
−t)
−t) (2)
eitX
où X Q
=1 ln(S
tment
→ les probabilités
caractérisent
ψj>: K]
, Q
T ).
=TS>
[S
[S
> −r(T
K] −
Ke
=
St t [S
[S−r(T
K]
K]
−TKe
(j)
T
t T >
et
.
Et
cela
est
possible
à
l’aide
d
ment
les
probabilités
Q
t
t
t
itX
−t)
(1) ST
STune
(1) T ). Elles
(2)
e 2probabilités
, où X = ln(S
t →
caracté
ψj :itX
les1 deux
STS>K
une option(1)
vanille,
formule du−r(T
type
St (2)
Q(2)
Q2 :aléatoire
T >K
−t)
−t)
1 − Ke
(j)
sous
et
.
==StStt t
−−Ke
Ke−r(T
[S
[S
>
>
K]
K]
TT
e fait, intervenir
où
X = laln(S
→
Elles
caractérisent
compl
ψj(2): t chaque
t t
(1)
T ).
(1) est laSprobabilité
fonction
ou ses dérivées
aléatoire
sous
deux
probabilités
et (2)
.
forward-neutre,
T forward-neutre,
(2)
(2)
Oùla probabilité
forward-neutre,
que
Où
est laTS
probabilité
tandis
que (2)terme
représente
la les
probabilité
Où (1) est
tandis
que
représente
la probabilité
risque+ tandis−r(T
−r(T
−t)
−t)
(1)risque(2)
C
=
e
−
K)
[(S
−
K)
]
(S
=
e
aléatoire
sous
les
deux
probabilités
et
.
t
T
T
S
>K
et
les
coefficients
sont
affines
en
υ.
Ces
indices
aident
à
t
t
T
(1)L’indice
(1)signifie
(2)(2)probabilité
−r(T
−r(T
−t)
−t)s’agit
la >
probabilité
risque-neutre.
L’indice
tK]
signifie
Les fonctions
caractéristiques
sont solutions des mê
neutre.
tK]
signifie
qu’il
d’une
probabilité
conditionnellement
à l’information
eutre. L’indice
qu’il
s’agit
d’une
conditionnellement
à l’information
==Sreprésente
K]
[S
K]
−−t)
−Ke
Ke
T T>−t)
T T>>
tSt t tt [S
(2)
(2)
t t [S[S
deviner
la forme
de
la solutioncaractéristiques
comme une exponentielle
−r(T
−r(T
−r(T
−t)
(1)
(2)
qu’il
s’agit
d’une
probabilité
conditionnellement
à
l’infordu
type
S
Q
−
Ke
Q
:
Les
fonctions
sont
d
[S
]
−
Ke
[
]
=
e
2 t. En
T ST >K
Sest
et estaffine
.à difficile
On
s’aperçoit
que chaque
termesolutions
fait interv
le changement
à exploiter
direcsponibledisponible
àt la1 date àt.laEndate
réalité
changement
de numéraire
exploiter
t le réalité
tde numéraire
T >Kdifficile
d’une
fonction
en υ dontdirecles coefficients
dépendent
(1)
(2)
Les
fonctions
caractéristiques
sont
solutions
des
mêmes
éq
mation
disponible
à
la
date
t.
1)
et STsont
.niOn
queduindices
chaqueaident
terme àfait
(1)est
connait
(1)
STniSTune
(2)une
les
affines
en lav. loi
Ces
dev
ni
: on−t)
ne
expression
de
la
solution
, pour
la Ss’aperçoit
loi
ment
: tement
on
niconnait
expression
analytique
de(1)la solution
pour
estla
la
probabilité
probabilité
forward-neutre,
forward-neutre,
tandis
tandis
que
que (2)(2)analytique
représente
représente
la
lacoefficients
probabilité
probabilité
risquerisque>K
(2)
T , du
+ne
(2)
=Research
St t t(2)
−] Ke−r(T −t) t [S
>du
K]temps.
. les
On coefficients
s’aperçoit
que
chaque
terme
faitindices
intervenir
la
[(S
(ST − K)Opus
=Finance
e−r(T(1)
T et
T − K)(2)ST >K
(1)
sont
affines
en
v.
Ces
aident
une
exponentielle
d’une
fonction
affine
en v dont les coe
STnuméraire
L’indice
L’indiceprocessus
tStTsignifie
signifie
qu’il
qu’il
s’agit
s’agit
d’une
probabilité
conditionnellement
conditionnellement
àles
àl’information
l’information
S
sous
et
.probabilité
Pour
aller
plus
loin,
il
faut
considérer
les
équations
aux
déocessus
sous
etchangement
. d’une
Pour
aller
plusest
loin,
il faut
considérer
équations
aux
déT
t
t
En
réalité,
le
de
difficile
à
ex(2) t t
les coefficients
sont
affines en v.d’une
Ces indices
aident
àendeviner
la
−r(T −t)
(hj +fj v+iφx)
une
exponentielle
affine
(2)
] −ploiter
] àK]la
−r(T
−t) dérivé
,,où
Cette
décomposition
t, φ) du
= fonction
emodèle
où
hvj dont
et fj le
s
ψdirecSla
>K
STchangement
>K
ble
e[SàT àlapartielles
date
date
t.Ke
t.partielles
En
En
réalité
réalité
le
dede
numéraire
numéraire
est
est
difficile
difficile
à(S,
àexploiter
exploiter
direcdu
produit
dérivé
v,le
t)
dans
le v,
cadre
vées
associées
àle[(1)
lachangement
du
produit
U
(S,
v,décomposition
t) U
dans
cadre
du
modèle
j (x,
directement :
ni
une
expression
ana= tSassociées
>
K]
[Svaleur
−valeur
Ke
t t on
Tne>connaît
t [ST
T rivées
(h
+f
v+iφx)
une
exponentielle
d’une
fonction
affine
en
v
dont
les
coefficients
j
j
−r(T −t)
(x,
v,
t,
φ)
=
e
,
où
h
e
décomposition
ψ
et
f
sont
des
fonctions
de
t
et
,
permet
de
se
h
une
option
vanille,
formule
du
type
Sde
−
Ke
Qpour
: j un
j
de
se
ramener
àloi
des
équations
différentielles
de type Ricc
tQ
2et
la
loidu
dujvisant
nenede
connait
connait
nini
une
expression
expression
analytique
de1la
laSsolution
solution
S
S,raisonnement
jpour
lytique
deEn
laune
solution
pour
ST,un
nianalytique
laportefeuille
loide
ducouverture
processus
sous
Heston.
considérant
de
couverture
e :Son
Heston.
En
considérant
unune
portefeuille
et un raisonnement
visant
>K
(2)
T
T ,ninila
(h les
+fjéviter
v+iφx)
Ton
−r(T
−t)
T décomposition
2e j
v,équations
t, φ) éviter
=σdes
, les
où
et fj sont
des
− Ke(1)
[ST > K]
j (x,
1de h
(2) ramener deàψ
des
différentielles
2 jtype
(1) et
(2)
t (2)
se
ramener
à
équations
différentielles
de
typ
Où
est
la
probabilité
forward-neutre,
tandis
que
représente
la
probabilité
risque.
,
ξ
,
ξ
)
=
(−
,
−ρσiφ
+
b
,
φ
−
u
iφ)).
(avec
(ξ
STSTSTsous
(2)
(2)
opportunités
trouve
d’évolution
suivante
pour
la
valeur
du produit
pportunités
d’arbitrage,
trouve
l’équation
la
du
produit
1valeur
0aux
j 2
j
sus
sous
. Pour
. on
Pour
aller
aller
plus
plus
loin,
loin,l’équation
ild’évolution
ilfaut
faut
considérer
leslespour
équations
équations
aux
dédé+ considérer
2 différentielles
−r(T
−t)on
−t) ramener
t t etet t td’arbitrage,
σ2
1 2Riccati, do
desuivante
se
à2 K)
des
équations
de
type
Riccati,
dont
les
solutions
sont
connues
(avec
[(ST(avec
−
]
(Sd’une
= e−r(T
t = e qu’il
T − K)
S
>K
ξmodèle
+
b
,
φ
− uj iφ)).
t
t
(ξdu
neutre.
L’indice
tlaC
signifie
s’agit
probabilité
conditionnellement
à2Tσ,modèle
l’information
Finance
Research
(2)Opus
1 , ξ0 ) = (− 2 ,1−ρσiφ
j
2
−r(T
−t)
2
dérivé
:
érivé
:
partielles
rtielles
associées
associées
à
à
la
valeur
valeur
du
du
produit
produit
dérivé
dérivé
U
U
(S,
(S,
v,
v,
t)
t)
dans
dans
le
le
cadre
cadre
du
2
[S−r(T
K] −r(T −t) (2)
K] −Research
Ke
nance
T >−t)
).
(2)
taller
,
ξ
,
ξ
)
=
(−
,
−ρσiφ
+
b
,
φ
−
u
iφ)).
(avec
(ξ
2
1
0
j
j
−r(T
−t)
Pour
plus
loin,
il
faut
considérer
les
équations
aux
disponible
la date t.=QEn
le [S
changement
de
numéraire est
exploiter
direc- 2
le
type
St Q1 −à Ke
2
]−
Ke
[ Sdifficile
] à éviter
e2 : réalité
T ST >K
>K
6
n.
on.du
En
En
considérant
considérant
ununportefeuille
dede
couverture
unun
raisonnement
raisonnement
visant
visant
éviter
lesles
t couverture
T Finance
2 2 et
2 t Opus
2 portefeuille
2et
∂du
dérivées
partielles
associées
à2 la
valeur
produit
dérivé
1
1
∂U
∂
∂U
∂
U
U
U
∂U
1
1
∂U
∂
∂
∂U
∂
U
U
U
∂U
,
ni
la
loi
du
tement
:
on
ne
connait
ni
une
expression
analytique
de
la
solution
pour
S
(2)
T
2
2
2
2
21
rue
des
Jeuneurs
75002
Paris
Opus
Finance
6
(2)
(2)
−r(T
−t)
rward-neutre,
tandis
que
représente
la
probabilité
risque(1)
S
+
unités
ités
d’arbitrage,
d’arbitrage,
on
on
trouve
trouve
l’équation
l’équation
d’évolution
d’évolution
suivante
suivante
pour
pour
la
la
valeur
valeur
du
du
produit
produit
−r(T −t)
=le2(1)
vSρσvS
+−r(T
+ κQ
(θ2−
−
v)
− rU
+Tune
ρσvS
v (2)
−vS
=formule
+
σ QvEn:du
κrS(θ − v)
+
+σ−t)rS
−
ST−r(T
>K
(2)
−t)
option
vanille,
formule
St Q
−
: rU
1+
U(S,
dans
cadre
du
modèle
de
Heston.
considérant
− K)
−2 Pour
K)
]l’information
(S
=
2Finance
2 2type
on
vanille,
du
Q
−
Ke
Tprocessus
Saller
=
S[(S
− Ke
[S
>∂fKe
K]∂S
S2v,Tet)une
sous
et
plus
loin,
il Opus
faut
considérer
aux
dé- Paris
6
2∂v
ttype
T >K
21 les
rue équations
des
Jeuneurs
75002
t S∂S
T
∂t
∂S∂v
∂v
∂tune
∂S
2
∂S
∂v
tT
t∂v
t2
tt .1∂S∂v
s’agit
d’une
probabilité
conditionnellement
à
j =75002
2
(2)
un portefeuille
et S
unT du
raisonnement
visant
à (S,
de Riccati)
f2(2)
+ ξdu
fjmodèle
+ ξ0 (équation
(équation
de Riccati)
21 rue
des Jeuneurs
rivées ]partielles
associées
à la
produit
dérivé
U
t)∂t
dans−t)leξ2cadre
−r(T
−t)
(2) direcj −r(T
vin
j Paris
de(2)couverture
valeur
(2)
+ v,∂f
té [S
leTchangement
de
numéraire
est
à −t)
exploiter
−r(T
−t) (2)−r(T
−
Ke
[
]
+difficile
−r(T
−t)
−r(T
=
ξ
f
+[(S
ξ1du
fT1jPour
+K)
ξ0 une
(équation
de Riccati)
S
>K
S
>K
(2)
(1)
t
T
T
−t)
2
C
=
e
−
K)
−
]
(S
=
e
∂h
j
La
condition
terminale
est
déterminée
par
la
valeur
finale
contractuelle
produit.
Pour
une
éviter
opportunités
d’arbitrage,
on
trouve
l’équation
a condition
terminale
est
déterminée
par
la
valeur
finale
contractuelle
du
produit.
∂t
j
C
=
e
−
K)
[(S
−
K)
]
(S
e
t
T
S
>K
2
2
2En
2lestconsidérant
2
2
t
t
T
t
T
T
S
>K
=
S
[S
>
K]
−
Ke
[S
>
K]
de
Heston.
un
portefeuille
de
couverture
et
un
raisonnement
visant
éviter
les
t
TT
t∂UtU T1
t
=
−af
−
riφ
1
∂U
∂U
∂U
∂
∂
∂
∂U
∂U
∂
∂
U
U
U
U
∂U 1 1 analytique
,
ni
la
loi
du
expression
de
la
solution
pour
S
∂h
j
j
2 2
2 2duTproduit
∂t
(2)
(2) −
d’évolution
suivante
pour
la
valeur
dérivé :
T −ST >K
(2)
=−t)
riφl’on
−r(T
−t)
option
vanille
on
sait,
via
l’argument
changement
numéraire,
que
peut exprimer
ption
vanille
on
sait,
via
l’argument
de
de++
numéraire,
que
l’on
exprimer
==
vS
+Ke
+
σ−r(T
σvchangement
κ κ(θ(θ−de
−v)
−−af
rU
rU
−
+(2)
+ρσvS
ρσvS
v−t)2 2(2)
+de
+
rS
rS
j peut
−r(T
−r(T
−r(T
−t)
−t)
opportunités
d’arbitrage,
on
l’équation
pour
la−
valeur
produit
∂tv)
−vS
>
K]
2(1)
2t il tfaut
[S[S
] trouve
− −t)
[d’évolution
]ST >Ksuivante
=
eKe
[S
]
−
Ke
[ Sdu
]
=
e
Pour
aller
plus
loin,
les
équations
aux
déT Tconsidérer
S∂S∂v
>K
S
>K
T
(2)
∂t
∂t
2
2
∂S
∂S
2
2
∂v
∂v
∂S
∂v
∂v
t
T ∂S∂v
T∂S
t
t la probabilité
T >K
−r(T
−t)
−r(T
S
Où
est
la
probabilité
forward-neutre,
tandis
que
représente
T
sousSlatU
v, t)Stdans
Q1 −e
KQ
le
dede
S
(S,
Finalement,
à partir
des
expressions
onlnobtient
ψj . Puis par
(S, v, dérivé
t)duU
sous
la t)
forme
Qforme
KQ
effectuant
le
changement
de variable
xvariable
=frisqueln
S hxj =
: v,
du
∂fjchangement
2 . Eneffectuant
j et
1 −e
2 . En
valeur
produit
(S,
le cadre
modèle
=partir
ξ2 fj2 +
ξ1àexpressions
fjl’information
+ ξ0f(équation
de
Riccati)
(1) dérivé
ST ST >K
Finalement,
à
partir
des
expressions
de
hjfj eton
obtient
Finalement,
à
des
hj on
obtient ψjj. . Puis par i
(1)
S
(2)
(2)
∂t
j etde
−r(T
−t)
−r(T
−t)
neutre.
L’indice
t
signifie
qu’il
s’agit
d’une
probabilité
conditionnellement
T
S
>K
(2)
Tcontractuelle
−r(T
−t)
et
en
injectant
cette
expression
dans
l’équation
d’évolution,
on
obtient
deux
équations
pour
peuvent
être
calculées
et incl
la
transformée
de
Fourier
les
probabilités
Q
en
injectant
cette
expression
dans
l’équation
d’évolution,
on
obtient
deux
équations
pour
dition
tion
terminale
terminale
est
est
déterminée
déterminée
par
par
la
la
valeur
valeur
finale
finale
contractuelle
du
du
produit.
produit.
Pour
Pour
une
une
∂h
[S
>
K]
>
K]
−
Ke
=
S
−
Ke
[S
>
K]
2
2
2
j
T et un
T1 éviter
= S∂t laU
− Fourier
Ke
>laK]
t ∂U t
tvisant
ortefeuille det couverture
raisonnement
lesde
T de
1S
∂U
∂UPuis parles
= [S
−af
riφ
inversion
transformée
de Fourier
les probabitle
tdifficile
j −
être
calculées et inclu
transformée
probabilités
Qj jpeuvent
2∂ U
2S ∂ U de
∂t
disponible
à
la
t.
En
réalité
changement
numéraire
est
à
exploiter
direcT date
=
vS
+
σ
+
κ
(θ
−
v)
−
rU
+
ρσvS
+
rS
v
−
T
et
Q
typesuivante
: 2 dedepour
Q
formule
à numéraire,
la2’Black et
Scholes’
: être
Qon
du
type
anille
vanille
sait,
via
via
l’argument
l’argument
changement
changement
dedenuméraire,
que
que
l’on
l’on
peut
peut
exprimer
exprimeret incluses dans une formule
1 sait,
2: du
1 et l’équation
2 on
ouve
d’évolution
la
valeur
peuvent
lités
∂S
2du produit
∂S
∂v calculées
(2)formule
(1)∂t: on 2ne connait
(2)
j des expressions
−r(T
la∂v
’Black−r(T
et
: pour
, ni la loi du
ni−t)
une∂S∂v
expression
de
la Qsolution
ST de
Finalement,
à Scholes’
partir
−r(T
−r(T
−t)
−t)
(1)T > K]à analytique
(2)
orward-neutre,
que
représente
laeffectuant
probabilité
risque−t)
=tement
St ttandis
>
K]
−
Ke
[S
t
t)
sous
souslalaforme
forme
StS[S
Qt TQ
−e
−e
KQ
KQ
.
En
.
En
effectuant
le
le
changement
changement
de
de
variable
variable
x
x=
=lnlnSfSj et hj on obtient ψj . Puispar inversion
à la
« Black
et
Scholes » :
1 21
2(2)St t 2 [ST2 > K] − 2Ke
>lesK]
(1)
équations
T probabilités
2 et
t [S
2 2=
∞∂Q
−iφ
K être calculées
et inclues dans u
la
transformée
de
Fourier
les
processus
S
sous
.
Pour
aller
plus
loin,
il
faut
considérer
auxln
déil
s’agit
d’une
probabilité
conditionnellement
à
l’information
∂Q
1
∂
1
∂
∂
∂Q
∂Q
Q
Q
Q
∂Q
1
∂
1
∂
∂
∂Q
Q
Q
Q
T
Q
La
condition
terminale
est
par
finale
produit.
Pour
une
t déterminée
1j ∞ pour
epeuvent
1du
j j dans
j jt
jcontractuelle
j j (x, v, t, , φ)
j
j expression
j 2 on
j j−iφ
2 jla valeur
ectant
jectant
cette
cette
expression
dans
l’équation
l’équation
d’évolution,
d’évolution,
on
obtient
obtient
deux
deux
équations
équations
pour
ln K ψ
2
−
=
v
+
σ
+
(a
+
ρσv
v
+
(r
+
u
v)
−
b
v)
(1) ∂ 2
(2)
=
v
+
σ
+
(a
+
ρσv
v
+
(r
+
u
v)
−
b
v)
formule
à
la
’Black
et
Scholes’
:
1
e
1
ψ
(x,
v,
t,
,
φ)
+
dφ
Q
R
=
j
j
j
j
j
j
1
∂U
∂U
∂
U
U
j
rivées
partielles
associées
à
la
valeur
du
produit
dérivé
U
(S,
v,
t)
dans
le
cadre
du
modèle
j
est
la
probabilité
forward-neutre,
tandis
que
représente
la
probabilité
risquelité
le−
changement
de
numéraire
est
difficile
à
exploiter
direc2
2sait,
22
option
on
via∂x
l’argument
de −
changement
de2 numéraire,
que
l’on
peut
exprimerla∂v
∂v
∂t
∂x
∂x∂v
2∂x∂v
∂v
∂x
dφ
Q
R∂v
+
σ 2 v2 ∂t
+
κ la
(θ−r(T
− v)
rU
+
rS2 (1)
π(2)
2+ ∂x
iφ risqueOù
est
probabilité
forward-neutre,
tandis
probabilité
QσvS
dutype
type
:de
: vanille
j = que
0représente
2du
−t)
2
Heston.
En
considérant
un
portefeuille
de
couverture
et
un
raisonnement
visant
éviter
les
∞
L’indice
t
signifie
qu’il
s’agit
d’une
probabilité
conditionnellement
à
l’information
ni effectuant
la loi du le changement
ne expression
de ∂S
la
solution
pour
ST2 ., En
ln KS
∂S∂v
∂vla forme
∂v
π 1variable
2 1 de
KQ
xe−iφ
= ln
U (S, v,2t)analytique
sous
St Q
1 −e
0
ψj (x,iφ
v,àt,l’information
, φ)
neutre.
L’indice
signifie
qu’il s’agit
d’uneà probabilité
avec
:
vec
: laetdate
+ conditionnellement
Qjj = pour
R
dφ
opportunités
d’arbitrage,
ontdans
trouve
l’équation
d’évolution
suivante
la
valeur
du
produit
ble
à
t.
réalité
le
de
est
difficile
exploiter
direc2 2Enloin,
2 changement
2 considérer
2 l’équation
2numéraire
en
injectant
cette
expression
d’évolution,
on
obtient
deux
équations
pour
j
.
Pour
aller
plus
il
faut
les
équations
aux
dé2 (−1)
π∂Q
iφ à exploiter direc∂Q
1 1la∂ ∂
1 2 2du
∂QQ
∂ t.
∂Q
∂Q
∂Q
∂Q
∂Q
QQ
Q
rminée
valeur
finale∂contractuelle
produit.
Pour
une
j j par
j j disponible
j àj la1 date
j j réalité
j j (−1)
j0 j est difficile
En
le
changement
de
numéraire
2−j
2−j
dérivé
:+
,−
: valeur
on ne
connait
ni
une
de
solution
condition
terminale
est
par
la
finale
=
=
vQLa2 2du
+
σv=κθ,
(aT(a
+
ρσv
ρσv
vκl’on
(rla
(r
+valeur
+
umodèle
v)
v)
v) du
etv
type
Qde
at)janalytique
=
b+
=
κ
+
=bla
a−
produit
dérivé
U (S,
v,+
le+
du
a:expression
=
κθ,
bσdéterminée
,(−ρσ)
ujpour
=+
−,+S
ju
j v)
ju
jni−
jb−
j loi
1du
j+
jnuméraire,
jdans
2 (2)
2 cadre
2(−ρσ)
ument
de
que
peut
exprimer
(1)
∂t
2 changement
2 de
∂x
∂x
∂x∂v
∂x∂v
2Pour
2connait
∂v∂v
∂x∂x
∂v
2∂v
tement
:
on
ne
ni
une
expression
analytique
de
la solution pour ST , ni la loi du
2
contractuelle
du
produit.
une
option
vanille
on
sait,
us
S∂t
sous
et
.
Pour
aller
plus
loin,
il
faut
considérer
les
équations
aux
déportefeuille
couverture
et
un
raisonnement
visant
éviter
les
2
2
2
−r(T
−t)
T KQ . tEn effectuant
t ∂U
∂U
∂1 U(2)∂x
∂ U
∂U
∂ U ∂ 2 Qde
21 changement
2 1
le
= ln
S
(1) variable
2
2
2
∂Q
1
∂
∂Q
∂Q
Q
Q
jdérivé
j+
jà
jdu
jσl’on
via
l’argument
changement
dets’agit
numéraire,
que
peut
processus
S+Ttransformé.
sous
et
.s’agit
Pour
aller
plus
loin,
ille
faut
considérer
lesmais
équations
2U
Le
problème
a
été
Il
ne
de
calculer
prix
de
l’option,
seule- aux déLe
problème
a
été
transformé.
Il
plus
de
calculer
le
prix
de
l’option,
mais
=de
vS
+
κ(a
(θ
−MODÈLE
v)v)
−j rU
+neρσvS
vplus
+
rS
−
artielles
associées
la
valeur
produit
(S,
v,
t)
dans
le
cadre
du
modèle
rouve
l’équation
d’évolution
suivante
pour
la
valeur
du
produit
t
AU-DELÀ
DU
DEseuleHESTON
−
=
v
+
σ
+
ρσv
v
+
(r
+
u
v)
−
b
2
2
dans l’équation d’évolution,
on obtient
deux ∂S∂v
équations
pour
jj j ∂S
j
j ∂v
∂t
2
∂S
2
∂v
2
2
—r(T—t)
(−1)
(−1)
∂t
2
∂x
∂x∂v
2
∂v
∂x
∂v
exprimer
U(S,
v,
t)
sous
la
forme
S
Q
—
e
KQ
.
rivées
partielles
associées
à
la
valeur
du
produit
dérivé
U
(S,
v,
t)
dans
le
cadre
du modèle
2−j
2−j
on.
un
portefeuille
couverture
et
raisonnement
éviter
Q2t.est
possible
àvisant
l’aide
des les
fonctions
caractéristiques
ment
les
Q
. κde
Et
cela
possible
à2−
l’aide des
fonctions
caractéristiques
entEn
lesconsidérant
probabilités
Qκθ,
1Et
1κ
1 etb Q
ajaprobabilités
κθ,
b=2=
+et
+(−ρσ)
(−ρσ)
,cela
, un
ujuest
−
=
j=
j==
(j) itX j j
(j) itX
La
condition
terminale
est
déterminée
par
la
valeur
finale
contractuelle
du
produit.
Pour
une
nités
d’arbitrage,
trouve
d’évolution
pour
valeur
du produit
avec
: : t e→onde
2la
2deLe
Heston.
unsuivante
portefeuille
couverture
et
raisonnement
visantenéviter
les
modèle
delaHeston
certes
compte
eXl’équation
,En
où considérant
X
ln(S
Elles
caractérisent
complètement
la variable
loi
de de
la prendre
variable
=
ln(S
: t →
complètement
loiundepermet
la
T ).
T ).=Elles
j
1 2effectuant
∂Ucaractérisent
∂ 2ψ
∂,2 Uoù on
∂U
Ujoption
2
(−1)
2vanille
En
lerS
changement
de
variable
x∂Q
=rU
ln S2−j
et(2)
en in- del’effet
sait,
via
l’argument
de
changement
numéraire,
que
l’on
peut
exprimer
1
∂
∂Q
∂
Q
Q
(1)
(1)
(2)
de
levier
et
les
clusters
de
volatilité.
Cela
est-il
suf+
σ
+
κ
(θ
−
v)
−
ρσvS
v
+
opportunités
d’arbitrage,
on
trouve
l’équation
d’évolution
suivante
pour
la
valeur
du
produit
j
j
j
j
2été
problème
oblème
a aσété
transformé.
Il
s’agit
s’agit
plus
de
decalculer
prix
l’option,mais
maisseuleseuleaIlne
=dans
κθ,
= b∂v
κ
+
(−ρσ)
,le.leobuprix
−del’option,
sous
les
deux
probabilités
et on
éatoire
sous
les
deux
et
. calculer
2
j ne
j =de
−t)
+aléatoire
(abplus
vjectant
+
(rprobabilités
+
−
∂S∂v
2transformé.
∂v
∂S
j v)
jj−r(T
j v)
expression
d’évolution,
−e
KQ
le changement
variable
x = ln S des marchés à
U (S,
v,
sous
la:uforme
St Q+1l’équation
2 Existe-t-il de
2t)cette
2 . En effectuant
fisant ?
d’autres
comportements
2Q
2 cela
2
2
∂v
∂x
∂v
dérivé
et
et
Q
Q
.
.
Et
Et
cela
est
est
possible
possible
à
à
l’aide
l’aide
des
des
fonctions
fonctions
caractéristiques
caractéristiques
s∂x∂v
probabilités
probabilités
Q
1et tient
1 et
∂U on obtient deux équations pour
∂ dans
∂U
U
U type :
∂U
1deux
1
2 2 ∂ Upour Q
équations
du
2 ∂ injectant
2 Q
en
cette
expression
l’équation
d’évolution,
1σ vIldu
2neproduit.
prendre
en
compte
dans
un
modèle
d’évaluation des proLe
problème
a
été
transformé.
s’agit
plus
de
calculer
le
prix
de
l’option,
mais
seulevS
+
+
κ
(θ
−
v)
−
rU
+
ρσvS
+
rS
− (j)(j)=itX
erminée
par
la
valeur
finale
contractuelle
Pour
une
2caractéristiques
2 2 sont ∂S
2
2 loi
e e2itX
, et
où
,∂S
où
XX
==
ln(S
ln(S
→ Les
).
Elles
Elles
caractérisent
complètement
complètement
ladérivés ?
la
loi
de
de
laréponse
la
variable
variable
Les
fonctions
caractéristiques
solutions
des
mêmes
équations
que
les
probabilités
∂t ment
∂S∂v
2sont
∂v
∂v
fonctions
solutions
des
mêmes
équations
que
les
probabilités
T ).
T
j.1caractérisent
1
∂U
∂
∂
∂U
U
∂
U
U
∂U
Q
du
type
:
Q
duits
La
est
oui !
et
Q
Et
cela
est
possible
à
l’aide
des
fonctions
caractéristiques
les
probabilités
Q
1
2
gument (2)
de(1)changement
de
numéraire,
2
1 (−1)2 que2 l’on peut exprimer
2−j
., itX
j s’aperçoit
(2)
(1)(1)= que
(2)(2) chaque
vS
+intervenir
σfonction
κ
(θses
− v)
− rU
+fait
ρσvS
v 2 la
+ ou
rS ses +
−
(j)
,ition
b
=
κ
+
(−ρσ)
u
=
−
et
On
terme
fait
fonction
ou
dérivées
et
et
.
On
s’aperçoit
que
chaque
terme
intervenir
la
dérivées
et
−r(T
−t)
e1)
sous
sous
les
les
deux
deux
probabilités
probabilités
et
et
.
.
j
2
terminale
esteffectuant
déterminée
par
valeur
contractuelle
produit.
Pour
e
, où
X
: t 2→
Elles
caractérisent
complètement
la une
loi ∂S
de la variable ∂v
ψjKQ
e
. En
le changement
de
variable
x =2∂S∂v
ln S du
∂t
2 T ).
∂S
2
∂v
2 =
2finale
2la ln(S
∂Q
1
∂
1
∂
∂
∂Q
∂Q
Q
Q
Q
j sont
jCesen
j aident
j
jla forme
j
2
les
coefficients
affines
v.
Ces
indices
aident
à
deviner
de
la
solution
comme
s
coefficients
sont
affines
en
v.
indices
à
deviner
la
forme
de
la
solution
comme
Nous
retraçons
brièvement
comment
ce
modèle
a
été perfec(1)
(2)
vanille
on
sait, plus
via
l’argument
de
changement
de
que
exprimer
n dans
l’équation
onprix
obtient
deuxet
équations
pour
−d’évolution,
= vprobabilités
+numéraire,
σ. vseule+ (aj − bj v)
+ de
ρσvl’option,
+ (rl’on
+ upeut
aléatoire
sous
lescalculer
deux
j v)
mé.
Il ne
s’agit
de
le
mais
2terminale
2 par la valeur
La
condition
est
déterminée
finale
contractuelle
du
produit.
Pour une
∂t
2
∂x
∂x∂v
2
∂v
∂x
∂v
−r(T
−t)
tionné
à
la
suite
des
travaux
de
Heston.
Le
tableau
ci-dessous
exponentielle
d’une
fonction
affine
en
dont
les
dépendent
temps. Cette
ne
exponentielle
fonction
en des
vcaractéristiques
dont
lesv coefficients
dépendent
du
Cette
onctions
caractéristiques
caractéristiques
sont
sont
solutions
des
mêmes
équations
équations
que
queles
probabilités
)fonctions
laune
forme
St Qd’une
KQ
.affine
En effectuant
lemêmes
changement
de coefficients
variable
xles
=probabilités
ln
S temps.du
1 −eà l’aide
2solutions
. sous
Et
cela
est
possible
des
fonctions
(h
+f
v+iφx)
(h
+f
v+iφx)
option
vanille
on
sait,
via
l’argument
de
changement
de
numéraire,
que
l’on
peut
(2)
(2)
fournit
un
panorama
des
grandes
classes
de
modèles
utilisés
j
j
j
j
avec
jectant
cette
expression
dans
l’équation
obtient
deux
pour
(x,
v,
φ)
=d’évolution,
efait
h
etdes
féquations
sont
t et φ, permetexprimer
décomposition
ψφ)
v,que
t,
=
e t,terme
,solutions
où
hlaj on
et,des
foù
sont
fonctions
de
φ,etde
permet
écomposition
ψ: j2(x, que
.2T.On
s’aperçoit
s’aperçoit
chaque
terme
fait
intervenir
intervenir
lajfonction
fonction
ououdes
ses
ses
dérivées
dérivées
et
Les
fonctions
caractéristiques
sont
mêmes
que
lest et
probabilités
jchaque
j équations
j la
j fonctions
n(S
).On
Elles
caractérisent
complètement
la
loi
de
variable
−r(T −t)
(−1)
pour
la
valorisation
des
produits
dérivés :
le
modèle
de
1
∂
∂
∂Q
∂Q
Q
Q
KQ
En
effectuant
leses
changement
de variable
ln S
(2) U
j (1) :
j (S, v, t) sous laj forme St Q1 −e j
2affines
duramener
type
2 se
de
des
équations
différentielles
de
type
dont
solutions
sont
connuesx =réféetse
. On
que
chaque
intervenir
fonction
oules
dérivées
et
ecients
àvramener
des
équations
différentielles
Riccati,
les
solutions
sont
connues
fficients
sont
sont
en
ens’aperçoit
v.
Ces
Ces
indices
indices
aident
aident
àde
àdeviner
deviner
la2−j
la
forme
forme
de
lalasolution
solution
comme
comme
aj =+
κθ,
bjterme
κtype
+fait
(−ρσ)
, 2 .dont
uRiccati,
=de
−
(1)
(2)
+
σaffines
(a
σv
+
(ràv.+
uj v)
bj=
v)
jla
j −
ités
et
.
2
2
rence
de
Black
et
Scholes,
les
modèles
à
volatilité
stochas2
2
σ
1
et
en
injectant
cette
expression
dans
l’équation
d’évolution,
on
obtient
deux
équations
pour
∂x∂v
2
∂v
∂x
∂v
σ
1
2
2
les(avec
coefficients
affines
indices
aident
deviner
la forme
detemps.
la solution
comme
,(−
ξ1sont
, ξ2 0∂,)2−ρσiφ
=affine
(− 12en
, en
−ρσiφ
+les
bules
φ −∂Q
uàj iφ)).
,∂d’une
ξ20Q
)(ξ=2fonction
+
bv.jv,Ces
−
vec
ponentielle
nentielle
fonction
affine
en
coefficients
coefficients
dépendent
dépendent
dudu
temps.
Cette
Cette
2v
jj,iφ)).
2s’agit
2dont
tique, àle
sauts
lesl’option,
modèles
àmais
corrélation
∂Qj(ξ2 , ξ11d’une
∂Q
Qa(h
Qφdont
j été
j
j de calculer
j etde
Lej problème
transformé.
Ilen
ne
plus
prix
seule-stochastique.
2 ∂ Finance
et
Q
du
type
:
Q
(h
v+iφx)
v+iφx)
Research
Research
1
2
une
exponentielle
d’une
affine
v
dont
les
coefficients
dépendent
du
temps.
Cette
j +f
j +f
jfonction
j Opus
−sition
=
v
+
σ
+
(a
+
ρσv
v
+
(r
+
u
v)
−
b
v)
jjsont
j
j
(x,
(x,
v,
v,
t,
t,
φ)
φ)
=
=
e
e
,
,
où
h
h
et
et
f
f
sont
des
des
fonctions
fonctions
de
de
t
t
et
et
φ,
φ,
permet
permet
osition
ψ
ψ
joù
es
sont
solutions
des
mêmes
équations
que
les
probabilités
j
j
j
j
j
2
2
∂t décomposition
2 ment
∂x
∂x∂v
2Q(−1)
∂x
∂v fonctions
avecles
: probabilités
Q
Et cela
est
à l’aide
des
caractéristiques
j +f
1 et
2 .j v+iφx)
2−j
t, la
φ)
=
e(h∂v
où
hj 2possible
et dont
fetdont
des
fonctions
de connues
t connues
et
φ,extensions
permet des modèles à volatiψ(j)
j,(x,
j sont
différentielles
θ,
bjà=àdes
κdes
+équations
(−ρσ)
uv,
−fonction
2ou
2
mener
mener
équations
différentielles
de
de
type
type
Riccati,
les
les
solutions
solutions
sont
sont
chaque
terme
fait intervenir
ses,6Riccati,
dérivées
j =
Pourquoi
développer
des∂Q
Opus
Finance
6
www.opus-finance.com
pus
Finance
itX
∂Q
1
∂
1
∂
∂
∂Qj
Q
Q
Q
j
j
j
j
jla variable
eéquations
,Finance
où
X
=
ln(S
).
Elles
caractérisent
complètement
la
loi
de
ψramener
2
2
2
Opus
Research
rch
j :σt2σ→
T
de
se
à
des
différentielles
de
type
Riccati,
dont
les
solutions
sont
connues
1
1
2=2 vde −r(T
−
+
σ[email protected]
(aQsauts
+(1)Q
ρσv:comme
[email protected]
(r
+enu−
vdustochastique
j
−r(T+
−t)
−t)
lité
intégrant
des
21=(−
rue
des
Jeuneurs
75002
Paris
.2rue
Ces
aident
à Paris
deviner
la
forme
la1 2solution
des
75002
jyv)
j −: bou
j v)en les rendant
2jb
ξ,nille,
ξ
,
,
ξ
)
)
=
(−
,
−ρσiφ
,
−ρσiφ
+
+
b
,
,
φ
φ
−
−
u
u
iφ)).
iφ)).
1ξ,1ξ
0indices
0Jeuneurs
j
j
j
(2)
(−1)
2
σ
une
option
vanille,
une
formule
type
S
Q
Ke
2
une
formule
du
type
S
Q
−
Ke
2ξ
2 , ξsous
t 1
t2le2probabilités
1prix
2mais
2−j
2+de
∂x∂v
2 multidimensionnels ?
∂v
∂xquelques 2pistes : ∂v
aléatoire
lesbjdeux
et
.
Il(avec
neens’agit
plus
de
seule=calculer
(−
,∂t
−ρσiφ
bj∂x
,l’option,
φ, −temps.
iφ)).
2, a
1
0)
κθ,
(−ρσ)
uu
2= κ +
2 du
Voici
j =
j j= − Cette
nmé.
affine
v(ξdont
les
coefficients
dépendent
2
Q(h2 .j +f
Etj v+iφx)
cela ,est
possible
à
l’aide
des
fonctions
caractéristiques
fj sont
−r(T−r(T
(2) (2)
avec
:
+ −r(T −t)
+ fonctions
oùdu
hj(2)
et
des
de
et(2)φ,
permet
−r(T −t)
−t):j
−r(T −t)
−t)tune
option
vanille,
formule
du
type(S
S] tTéquations
Q
−
Ke
Qprobabilités
une
formule
type
Q
−
Ke=
Q
:C
=
evariable
−
K)
[(ST −constat
K) Ss’im]
= des
e−r(T
C
e).Opus
K)
[(S
− des
K)
(SS
e −t)
1
2
t−
1
2loi
nance
nce
6 6de
roblème
aElles
été
transformé.
Il complètement
ne
s’agit
plus
calculer
le
de mêmes
l’option,
mais
seuleLes
caractéristiques
sont
que
les
tsolutions
t =T
Tune
Tprix
ln(S
caractérisent
la
la
(−1)
t ST●>K
t premier
t fonctions
tde
T >K
Finance
6
Pourquoi
intégrer
sauts ?
Un
2−j
différentielles
type
sont
connues
(1)de
(2)Riccati, dont les solutions
a
=
κθ,
b
=
κ
+
(−ρσ)
,
u
=
−
Jeuneurs
s Jeuneurs
75002
75002
Paris
Paris
j
j
j
(1)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
et
Q
.
Et
cela
est
possible
à
l’aide
des
fonctions
caractéristiques
s
probabilités
Q
21
rue
des
Jeuneurs
75002
Paris
et1.
. 2On s’aperçoit
que
terme−r(T
fait
la fonction
ou−r(T
ses(2)2
dérivées et
et imprévisibles du
[email protected]
[email protected]
1−r(T
intervenir
] −−r(T
−t)
[email protected]
−t)
−r(Tchaque
−t) −r(T
bilités
(2)
pose.
mouvements
soudains
(2)
+ Les
+−r(T
b=
, −t)
φ2 −et
uj iφ)).
−t)
−t) ne(2)s’agit
j(j)
[S
−deKe
[ K)
=−t)
ede
[SK)
[−
]S−t)
T la
>Ke]−r(T
ST >K ]
S+
SK)
>K
2e itXlesLe
tTla
tcomme
tX
problème
asont
été
transformé.
plus
T
T >K
Taident
CttCes
= [(S
etindices
K)
[(S
] à tra(S
=
] −loi
e Ke
affines
en Ilv.
à deviner
forme
la solution
T −pour
T −
Tcomplètement
e t , coefficients
où
= Tln(S
→e
Elles
caractérisent
de Sla
variable
tcalculer
t
T >K
T >K
T ).=
sous-jacent
sont
difficiles
à
capter
unSmodèle
(S
Le
problème
a
été
transformé.
Il
ne
s’agit
plus
de
calculer
le
prix
de
l’option,
mais
seulele
prix
de
l’option,
mais
seulement
les
probabilités
Q
et
(1)
(2)
(2)
(2)
(2) exponentielle
(2)
(1)
ST Sjectoires
ST des
une
d’une
fonction
affine
en
v dont(1)
les
Cette
1 coefficients
ST >K
(2) à payer
(2)
eesous
les deux
probabilités
et
.
continues :
le temps.
prix
est un paramétrage
−r(T
−t)
−r(T
−t) du
−r(T
−t)
−r(T
−t)
ques
sont
solutions
mêmes
équations
que
les
probabilités
T >K dépendent
−r(T
−t)
−r(T
−t)
[ST est
] − fonctions
Ke
[ φ,S[S
] K]
−
[1fonctions
Scaractéris−àKe
= St tdécomposition
−Ke
Ket,àφ)l’aide
[S
>=2,]K]
et
Q
.où
Et
cela
possible
l’aidededes
caractéristiques
ment
les
probabilités
+f
v+iφx)
ST >K
>K
T cela
S >K
ST
Q6[S
. Et
est]ψ
possible
des
t
T >
j=
je
tt ettfonctions
Tpermet
tQ
T >K
=et(h
des
2
j (x, v,
du modèle ;
par
exemple,
une valeur très élevée
ue chaque
fait
la fonction
ou
ses
dérivées
et fj sont
STTintervenir
thtj et
STirréaliste
(j)
tterme
itX
[email protected]
e (2) ,de
,des
où
= (1)
ln(S
tà→
). Elles
complètement
la loi de la variable
où
XX
= ln(S
). de
STTtype
S
de
seSaident
des
équations
Riccati,
les
solutions
connues
de dont
laprobabilités
volatilité
de
la volatilité.
T tiques
>Kψj à: deviner
(2)
T équations
fonctions
caractéristiques
sont
solutions
quecaractérisent
les
v. Ces(1)indices
la−t)
forme
la
solution
comme
−r(T
−t)
Tramener
−r(T
(2) sont
(1)ST >K
(2)différentielles
(1)
−r(T
−t)
−r(T
S
−
Ke
[S
>T K]
−
Ke
S
>mêmes
K]
σ 2 −t)t [S[S
1t K]
2t = St
(1)
(2)
T [S
t =
T=
[S
>
K]
−
Ke
>
K]
[S
>
K]
−
Ke
>
t
t St t(avec
(2)
T
T
T
t
t
,
ξ
,
ξ
)
=
(−
,
−ρσiφ
+
b
,
φ
−
u
iφ)).
(ξ
t
aléatoire
sous
les
deux
probabilités
et
.
1 coefficients
0chaque terme
jdu
On s’aperçoit
fait intervenir
laj fonction
ion .affine
en vSdont
les
Cette
ST ou ses dérivées et
2 dépendent
2 temps.
T 2 que
complètement
laàloi
de
la variable
aléaj v+iφx) Elles caractérisent
Ce−r(T
constat
a(2)
été souligné par certains auteurs pour justifficients
Ces
indices
aident(1)
deviner
forme
de la solution
e(hj +f
, où hjenetv.fj−r(T
sont
des(2)fonctions
de
t(2)
et
(1)φ,lapermet
(1) sont affines
−t)comme
−t)
(2)
=
S
[S
>
K]
−
Ke
[S
> K]
[S
>
K]
−
Ke
[S
>
K]
Sdifférentielles
Où
est
la
probabilité
forward-neutre,
tandis
queà trajectoires
représente
la probabilité risq
tonentielle
la
forward-neutre,
tandis
que
représente
la
probabilité
risqueet
.
Les
fonctions
toire
sous
les
deux
probabilités
t
T
T
t probabilité
T
fier
l’utilisation
deTwww.opus-finance.com
modèles
t
t
t
Opusde
Finance
6sont
d’une
fonction
affine
ent v dont
les coefficients
dépendent
du temps.
Cette
type Les
Riccati,
dont
lescaractéristiques
solutions
sont connues
fonctions
solutions
des mêmes
équations
que
les discontinues :
probabilités
caractéristiques
sont
des
solutions
des
mêmes
équations
(h
+f
v+iφx)
1
2
In
a
diffusion
model
the
notion
of
a
sudden,
unpredict21
rue
des
Jeuneurs
75002
Paris
j
j
(1)
(2)
t des
signifie
qu’il
d’une
probabilité
conditionnellement
à l’informat
ce
s’agit
probabilité
conditionnellement
l’information
[email protected]
φ) =
e et d’une
,(1)
oùs’aperçoit
hj L’indice
et fj sont
fonctions
des’agit
tàfait
et
φ,intervenir
permet
osition
φ +tbjsignifie
,ψ
φ(x,−v,uqu’il
. neutre.
On
que
chaque
terme
la (2)
fonction
ou ses dérivées et
jt,iφ)).
2j
Où
est
la(2)
probabilité
forward-neutre,
tandis
que[...]
représente
la difficile
probabilité
risque- di
robabilité
forward-neutre,
tandis
que
la
probabilité
risqueque
les probabilités
etde
. représente
On
s’aperçoit
que
able
market
move
isnuméraire
difficult
to capture
and thisàisexploiter
disponible
à
la
date
t.
En
réalité
le
changement
de
est
a dateàt.des
En
réalité
le
changement
numéraire
est
difficile
à
exploiter
direcmener
équations
différentielles
de
type
Riccati,
dont
les
solutions
sont
connues
les coefficients
sont affines en v. Ces indices aident à deviner la forme de la solution comme
2
σ
1
2
neutre.
L’indice
twww.opus-finance.com
signifie
qu’il ni
s’agit
d’une
àpour
l’information
signifie
qu’il
d’une
à l’information
, ξ0 ) =
(−ni2s’agit
+
bj , probabilité
φ tement
−
uj iφ)).
:conditionnellement
on
ne laconnait
une
expression
analytique
de la solution
ST , ni la loi
niprobabilité
la loi
du conditionnellement
ne
une
expression
analytique
de
solution
pour
ST , les
2 , ξ1connait
6, −ρσiφ
2
une
exponentielle
d’une
fonction
affine en
v dont
coefficients
dépendent
du temps.
Cette
7 est difficile à exploiter direc(1) v+iφx)
(2)
(2) changement
àloin,
la date
t.est
Endifficile
réalité
changement
de
esous
t. En(1)
réalité
deψnuméraire
àle
exploiter
direcprocessus
Pour
aller
plusnuméraire
loin,fonctions
il faut
considérer
équations aux
et tle. décomposition
Pourdisponible
aller [email protected]
plus
les
équations
dét,Tfaut
φ)sous
=considérer
e(htj +fjet
hj et
fjaux
sont
des
de t et φ, les
permet
t , . où
t
j (x, v,ilS
,
ni
la loidu
dumod
tement
:
on
ne
connait
ni
une
expression
analytique
de
la
solution
pour
S
,
ni
la
loi
du
nnait
ni
une
expression
analytique
de
la
solution
pour
S
ance
6
L
a
r
e
v
u
e
d
‘
O
p
u
s
F
i
n
a
n
c
e
L
a
r
e
v
u
e
d
‘
O
p
u
s
F
i
n
a
n
c
e
T
T
rivées
associées
à lalevaleur
produit
dérivé
U (S, v, t)sont
dans
le cadre
es(1)48
associées
à la valeurramener
du produit
dérivé
U (S,
v, (2)
t) dans
cadre
du
modèledont
à despartielles
équations
de
typedu
Riccati,
les solutions
connues
(1) différentielles
(2) Paris deNse
Jeuneurs 75002
23
º
2
•
D
é
c
e
m
b
r
e
2
0
1
[email protected]
σ
1
2un portefeuille
S=
sous,considérer
et +
plus
loin,
illesfaut considérer
les équationsvisant
aux déet t . Pour
allerprocessus
plus
ilT (−
faut
équations
aux éviter
déEn
de couverture
et un raisonnement
éviter
t considérant
tbles
n considérant
un portefeuille
de
et
un
raisonnement
visant
t
, ξ loin,
,de
ξ couverture
)Heston.
−ρσiφ
,. Pour
φ
− aller
u iφ)).
(avec
(ξ
●
Ensuite, ces modèles ne permettent pas de traiter le cas
important de produits portant sur plusieurs sous-jacents.
Ils ne permettent pas de répondre à des questions du
type : comment valoriser une option sur panier ?
Pour traiter ce type de problème, il faut modéliser la corrélation entre les sous-jacents. Les modèles à corrélation
stochastique permettent d’y faire face.
Modèle
La modélisation de la corrélation pose la même question
que la modélisation de la volatilité : qu’observe-t-on sur
les marchés ?
Il a été montré2 que la corrélation répond de façon asymétrique aux chocs à la hausse ou à la baisse du sous-jacent :
par analogie avec l’effet observé sur la volatilité ce phénomène est appelé effet de levier. Le modèle WASC permet
de capter à la fois l’effet de levier sur la volatilité et sur la
corrélation.
Equation de diffusion
Phénomènes captés
Retour
Black-Scholes
Le modèle WASC, pour Wishart Affine Stochastic Correlation, fait partie de cette classe de modèles. Un regard attentif permet de remarquer qu’en dimension un, il s’agit en
fait du modèle de Heston.
dSt
St
DOSSIER TECHNIQUE
where jumps are helpful1. Les modèles à sauts comme
le modèle exponentiel de Lévy ou le modèle de Bates
ont été introduits pour pallier cette lacune. Le premier
est une généralisation du modèle de Black-Scholes et le
deuxième est une généralisation du modèle de Heston
avec l’ajout de sauts.
Clusters
Marché
Effet
Sauts
Effet de
à la
de
de
du sous-
levier sur la
moyenne
volatilité
levier
jacent
correlation
Action
Taux
“ rdt ` σdWt
Change
Modèles à volatilité stochastique
dFt
Ft
SABR
“ αt Ftβ´1 dWt1
dW t2 dWt2 “ ρdt
?
dSt
1
St “ rdt ` vt dWt
Heston
dσt “ νσt dWt2
2
?
dvt “ κ pθ ´ vt q dt ` σ vt dWt2
dWt1 dWt2
“ ρdt
Modèles à sauts
Modèle
exponentiel
de Levy
Modèle
de
Bates
dSt
St
“ rdt ` σdWt ` dZt
Zt est un processus
de Poisson composé
?
dSt
2
St “ rdt ` vt dWt ` dZt
?
dvt “ κ pθ ´ vt q dt ` σ vt dWt2
dWt2 dWt2
“ ρdt
Modèle multi sous-jacents
Modèle
WASC
˘
`
?
dSt “ diagrSt s r1dt ` Σt dZt
˘
`
dΣt “ ΩΩT ` M Σt ` Σt M T dt
?
?
` Σt dWt Q ` QT pdWt qT Σt
b
dZtk “ 1 ´ T rrrk RkT sdBtk
`T rrRk dWtT s, k “ 1, . . . , n
CONCLUSION
Nous avons montré dans cet article comment le modèle
de Heston permet de reproduire les clusters de volatilité et
l’effet de levier. S’il reste dans des cas unidimensionnels
un outil intéressant de modélisation, son extension multidimensionnelle, le modèle WASC, pourrait être extrêmement intéressante pour des modèles de risque de marché
comme alternative aux modèles gaussien souvent utilisés
en pratique.
1. Financial modelling with jump processes, Rama Cont et Peter Tankov, Chapman & Hall - 2. Modeling Asymmetric Comovements of Asset Returns, Kenneth F. Kroner et
Victor K. Ng.
La revue d‘Opus Finance
49

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