Université de Paris I Licence dCEconomie 3Eme année Cours de

Université de Paris I
Licence d’Economie 3ème année
Cours de Microéconomie
Le risque
Exercice 1
1
Un individu a une fonction d’espérance de l’utilité de la forme u(w) = w 2 . Sa
richesse initiale s’élève à 4e. Il possède un billet de loterie qui peut valoir 12e avec la
probabilité 12 et 0e avec la probabilité 21 . Quelle est l’espérance de son utilité ? Quel
est le plus petit prix p auquel il serait disposé à vendre le billet de loterie ?
Exercice 2 - L’assurance
Un armateur s’engage à transporter de la marchandise dont la valeur est de 100 000.
Il doit prendre une décision concernant l’assurance de cette marchandise pendant le
transport. Par souci de simpli…cation on suppose qu’en cas d’accident, la marchandise
est totalement perdue. Les préférences dans le risque de l’armateur sont représentables par le modèle d’Espérance d’Utilité avec une fonction d’utilité de Von Neumann
u(x) = lnx. La capacité …nancière de l’armateur pendant cette période est de 120 000.
La probabilité de perte de la marchandise, compte tenu de l’état du navire et de la
destination est estimée à 0.05.
Remarque: à cause de la lente croissance de la fonction ln x vous devez, pour
comparer les di¤érentes propositions, conserver dans vos résultats au moins 4 chi¤res
après la virgule.
1. Une compagnie d’assurance propose à l’armateur 2 contrats :
- un contrat A qui couvre totalement sa perte en cas d’accident et dont la prime
est de 5500.
- un contrat B qui rembourse 50 000 en cas de perte de la marchandise et qui coûte
2750.
L’armateur s’assurera-t-il dans ce cas ? Si oui, quel contrat sera choisi? Pourquoi ?
2. Si, suite à de bonnes a¤aires, la capacité …nancière de l’armateur devenait de
500 000 , que pouvez vous dire sur son choix de contrat d’assurance ?
3. On suppose que la capacité …nancière de l’armateur est toujours de 120 000.
Il sait qu’en e¤ectuant une révision technique complète du navire et en installant des
équipements supplémentaires, il peut réduire la probabilité d’accident : supposons que
cette dernière puisse passer de 0.05 à 0.01. La révision coûte 1000. L’armateur va-t-il
l’entreprendre ? On suppose ici qu’il ne s’assure pas. Commenter.
Exercice 3 –La demande d’assurance (1)
Un individu dispose d’un patrimoine de 35.000 euros et risque d’encourir une perte
de 10.000 euros. La probabilité d’une telle perte est de , supposée connue de tous.
L’achat de K euros d’assurance coûte K (que le risque se produise ou non), où est
un paramètre. L’individu est doté d’une fonction VNM concave u(x):
1. On note Cd la consommation dans le cas (défavorable) où la perte se produit
et Cf la consommation dans le cas (favorable) où elle ne se produit pas. Donner les
1
valeurs de Cd et Cf en fonction de et de K. En déduire que la contrainte de budget
du consommateur a pour pente
=(1
).
2. Exprimer la condition d’équilibre du consommateur dans le cas général.
3. Quelle est l’espérance mathématique de pro…t de la compagnie d’assurance ?
Supposons qu’elle o¤re une assurance à une taux « équitable » , c’est à dire où la
valeur attendue du contrat est égale à son coût. Quelle sera alors la valeur de ?
4. En déduire que si le consommateur a de l’aversion pour le risque, il prendra une
assurance « complète » , c’est à dire qui égalise sa consommation quelles que soient les
circonstances. Quel sera le montant de l’indemnisation dans ce cas ?
Exercice 4 - La demande d’assurance (2)
Un individu, de richesse initiale W , fait face à un risque de maladie pouvant entraîner une perte monétaire de montant S. Le risque est caractérisé par la variable
aléatoire X avec P (X = S) = p. La fonction d’utilité de Von Neumann de l’agent est
notée u(x) = e x avec > 0. Une compagnie d’assurance propose par ailleurs un
contrat d’assurance caractérisé par une indemnité I versée en cas de maladie et une
prime P égale à bI avec b p:
A. 1. Calculer l’indice absolu d’aversion pour le risque. Commenter.
2. Ecrire le programme qui permet de déterminer le montant de couverture I
choisi par l’individu. Calculer le montant de couverture optimal choisi par l’agent.
Commenter.
3. Comment varie I si b augmente. Expliquer.
4. Calculer l’espérance d’utilité de l’agent lorsque l’agent peut s’assurer et lorsque
lorsque b = p:
B On suppose à présent qu’un système de dépistage est possible et permet de
déterminer avant que l’agent ne s’assure si l’agent sera malade ou non. La compagnie
d’assurance connaît le résultat du dépistage. Le déroulement temporel des décisions
est le suivant: (1) Le dépistage est e¤ectué et le résultat est observé par l’agent et la
compagnie d’assurance (2) La compagnie d’assurance peut proposer ou ne pas proposer
un contrat d’assurance à l’agent.
5. Une fois l’agent dépisté, la compagnie d’assurance est-elle prête à assurer l’agent?
6. En déduire l’espérance d’utilité de l’agent avant qu’il ne se fasse dépister. Comparer ce dernier résultat au résultat obtenu à la question 4.
Exercice 5 –Le rendement des actifs
Un consommateur dispose d’un patrimoine W et il envisage d’investir un montant
x dans un actif à risque. L’actif procure un rendement rd < 0 en cas de résultat «
défavorable » , et un rendement rf > 0 en cas de résultat « favorable » .
1. Ecrire la valeur du patrimoine du consommateur dans chacune des deux situations.
2. Supposons que la situation favorable se produise avec une probabilité et la
situation défavorable avec une probabilité 1
. Quel est le rendement attendu de
2
l’actif ? Quelle est l’utilité attendue du consommateur (en fonction de x) s’il a une
fonction d’utilité de type VNM ? Montrer qu’en cas d’aversion pour le risque, l’utilité
espérée EU(x) est une fonction concave de x.
3. Ecrire l’équation donnant le montant optimal de l’investissement pour le consommateur. A quelle condition investira-t-il un montant strictement positif ? (Application
numérique : W = 10:000 euros; rf = 20%; rd = 5%; = 21 ; a) u(W ) = lnW ; b)
u(W ) = e rW )
4. Supposons maintenant que l’individu paie des impôts à un taux t sur les rendements d’investissement : le rendement après impôts devient r(1 t), quelle que
soit la valeur de r. Soit x , la valeur de l’investissement optimal avant impôt, x t, la
valeur optimale de l’investissement après impôt, quelle est la relation entre x et x t
? En déduire qu’une taxe augmente le montant d’investissement optimal. Comment
expliquez-vous ce phénomène ?
Questions
Vous répondrez aux questions suivantes à parir du texte ci-dessous ("Insurance as a
Normal Good: Empirical Evidence for a Puzzle", de Jérôme Foncel et Nicolas Treich).
1. L’assurance est-elle un bien normal?
2. Qu’est-ce que cela implique sur la fonction d’utilité d’un individu VNM?
3. Quel paradoxe mettent en évidence les auteurs lorsqu’ils étudient les stratégies
de placement des individus?
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